Quanto ao gráfico da função f: R → R definida por f(x) = x^3 + x^2 – 6x, analise as opções: I. Possui dois pontos críticos. II. Tem máximo em x = 0...

Vamos analisar cada opção: I. A função possui dois pontos críticos quando a derivada é igual a zero. Vamos derivar f(x) = x^3 + x^2 - 6x: f'(x) = 3x^2 + 2x - 6 Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero: 3x^2 + 2x - 6 = 0 Resolvendo a equação, encontramos x = 1 e x = -2/3. Portanto, a opção I está correta. II. Para determinar se a função tem um máximo em x = 0, podemos analisar o sinal da segunda derivada. Calculando a segunda derivada de f(x): f''(x) = 6x + 2 Substituindo x = 0, obtemos f''(0) = 2, que é positivo. Portanto, a função tem um mínimo em x = 0, não um máximo. Logo, a opção II está incorreta. III. Para verificar a concavidade em x = -2, podemos analisar o sinal da segunda derivada. Substituindo x = -2 em f''(x), obtemos f''(-2) = -10, que é negativo. Portanto, a concavidade é voltada para baixo em x = -2. A opção III está correta. IV. Para determinar se existe um ponto de inflexão em x = -1/3, podemos analisar a mudança de concavidade. Substituindo x = -1/3 em f''(x), obtemos f''(-1/3) = -2/3, que é negativo. Portanto, existe um ponto de inflexão em x = -1/3. A opção IV está correta. Assim, a alternativa correta é: c) Somente as opções I, III e IV estão corretas.