279. Calcule a integral indefinida de ∫ 1/(sin(x) - cos(x)) dx. Resposta: Podemos usar a substituição trigonométrica u = tan(x/2), então du = 1/2 ...

279. Calcule a integral indefinida de ∫ 1/(sin(x) - cos(x)) dx.

Resposta: Podemos usar a substituição trigonométrica u = tan(x/2), então du = 1/2 sec^2(x/2) dx. Reescrevendo sin(x) - cos(x) em termos de tan(x/2), obtemos 1/2 sec^2(x/2) = 1/2 (1 + tan^2(x/2)) = 1/2 (1 + u^2). Portanto, a integral se torna ∫ 1/(1/2 (1 + u^2)) du = 2 ∫ 1/(1 + u^2) du = 2 arctan(u) + C = 2 arctan(tan(x/2)) + C = 2 arctan(tan(x/2)) + C, onde C é a constante de integração.