Matematica avancaçada-105

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\lim_{x \to \infty} \frac{x + 10x - x}{x\sqrt{1 + \frac{10}{x}}} = \lim_{x \to \infty} 
\frac{10x}{x\sqrt{1 + \frac{10}{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{10}{\sqrt{1 + 0}} = 10\). 
 
275. Encontre a solução para a equação \(16^x = 65536\). 
 - Resposta: Podemos reescrever \(65536\) como \(16^3\), então a equação se torna 
\(16^x = 16^3\). Assim, \(x = 3\). 
 
276. Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 - 10x^2 + 17x)\). 
 - Resposta: Aplicando a regra da cadeia, a derivada é \(f'(x) = \frac{1}{x^3 - 10x^2 + 17x} 
\cdot (3x^2 - 20x + 17)\). 
 
277. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^9 + y^9}{xy}\). 
 - Resposta: Vamos reescrever a equação como \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^8}{y} + 
\frac{y^8}{x}\). Esta é uma equação diferencial separável. 
 
 Separando as variáveis, obtemos \(\frac{dy}{y^8} = (\frac{x^8}{y} + \frac{y^8}{x}) dx\). 
Integrando ambos os lados, chegamos a \(-\frac{1}{11y^9} = \frac{x^9}{9} + \frac{y^9}{9x} + 
C\), onde \(C\) é uma constante de integração. Portanto, a solução geral é \(11y^9 = -
\frac{1}{\frac{x^9}{11} - \frac{y^9}{11x} - C}\). 
 
278. Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{9^x}{x^9}\). 
 - Resposta: À medida que \(x\) se aproxima do infinito, \(9^x\) cresce exponencialmente, 
enquanto \(x^9\) cresce apenas nonavicamente. Portanto, o limite é \(+\infty\). 
 
279. Calcule a integral indefinida de \(\int \frac{1}{\sin(x) - \cos(x)} \, dx\). 
 - Resposta: Podemos usar a substituição trigonométrica \(u = \tan(\frac{x}{2})\), então 
\(du = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2}) dx\). Reescrevendo \(\sin(x) - \cos(x)\) em termos de 
\(\tan(\frac{x}{2})\), obtemos \(\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} (1 + 
\tan^2(\frac{x}{2})) = \frac{1}{2} (1 + u^2)\). Portanto, a integral se torna \(\int 
\frac{1}{\frac{1}{2} (1 + u^2)} \, du = 2 \int \frac{1}{1 + u^2} \, du = 2 \arctan(u) + C = 2 
\arctan(\tan(\frac{x}{2})) + C = 2 \arctan(\tan(\frac{x}{2})) + C\), onde \(C\) é a constante de 
integração. 
 
280. Encontre a solução para a equação \(17^x = 131072\). 
 - Resposta: Podemos reescrever \(131072\) como \(17^3\), então a equação se torna 
\(17^x = 17^3\). Assim, \(x = 3\).