Para resolver a questão, primeiro precisamos encontrar a representação fracionária de \( x = 1,123123...\). Podemos escrever \( x \) como: \[ x = 1 + 0,123123... \] Agora, vamos focar na parte decimal \( 0,123123... \). Vamos chamar essa parte de \( y \): \[ y = 0,123123... \] Multiplicando \( y \) por 100 (para mover a vírgula duas casas para a direita): \[ 100y = 12,3123... \] Agora, subtraímos \( y \) de \( 100y \): \[ 100y - y = 12,3123... - 0,123123... \] \[ 99y = 12,2 \] Assim, podemos resolver para \( y \): \[ y = \frac{12,2}{99} \] Convertendo \( 12,2 \) para fração: \[ 12,2 = \frac{122}{10} \] Portanto: \[ y = \frac{122}{10 \cdot 99} = \frac{122}{990} \] Agora, somando \( 1 \) a \( y \): \[ x = 1 + \frac{122}{990} = \frac{990}{990} + \frac{122}{990} = \frac{1112}{990} \] Agora, temos a representação fracionária de \( x \) como \( \frac{1112}{990} \). A diferença entre o numerador e o denominador é: \[ 1112 - 990 = 122 \] No entanto, parece que não temos essa opção. Vamos verificar as opções novamente: A) 123 B) 999 C) 321 D) 112 E) 1122 Parece que houve um erro na interpretação da questão. A diferença correta entre o numerador e o denominador é 122, que não está nas opções. Porém, se considerarmos a diferença entre \( 1112 \) e \( 990 \) como \( 122 \), e se a questão se referir a outra interpretação, a opção mais próxima que poderia ser considerada é a D) 112, mas não é a resposta correta. Portanto, a resposta correta não está listada nas opções fornecidas.