Sabe-se que o ângulo entre os vetores u(p, p - 4,0) e v(2, 0,-2) vale 45 Determine o valor dep real. A 3 B 2 c) 4 D 1

Para determinar o valor de \( p \), podemos usar a fórmula do produto escalar entre dois vetores \( u \) e \( v \): \[ \cos(\theta) = \frac{u \cdot v}{\lVert u \rVert \cdot \lVert v \rVert} \] Dado que o ângulo entre os vetores é de 45 graus, temos: \[ \cos(45^\circ) = \frac{u \cdot v}{\lVert u \rVert \cdot \lVert v \rVert} \] Calculando o produto escalar e as normas dos vetores, obtemos: \[ \frac{p \cdot 2 + (p - 4) \cdot 0 + 0 \cdot (-2)}{\sqrt{p^2 + (p - 4)^2 + 0} \cdot \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2}} = \frac{2p}{\sqrt{2p^2 - 8p + 16} \cdot 2} = \frac{p}{\sqrt{2p^2 - 8p + 16}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Resolvendo a equação acima, encontramos que \( p = 4 \). Portanto, a alternativa correta é: C) 4