Determine os pontos de máximo e mínimo da função f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2.

Para determinar os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 \), primeiro calculamos a derivada da função. \( f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x \) Em seguida, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: \( 4x^3 - 12x^2 + 8x = 0 \) Fatorando, obtemos: \( 4x(x^2 - 3x + 2) = 0 \) Isso nos dá os valores de x = 0, x = 1 e x = 2 como os pontos críticos. Para determinar se são pontos de máximo ou mínimo, podemos usar o teste da derivada segunda. Calculando a derivada segunda da função: \( f''(x) = 12x^2 - 24x + 8 \) Avaliando a concavidade nos pontos críticos, temos: Para x = 0: \( f''(0) = 8 \) (positivo, ponto de mínimo) Para x = 1: \( f''(1) = -4 \) (negativo, ponto de máximo) Para x = 2: \( f''(2) = 16 \) (positivo, ponto de mínimo) Portanto, os pontos de máximo e mínimo da função são: - Ponto de máximo em x = 1 - Ponto de mínimo em x = 0 e x = 2