65. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo local da função f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x.

Para determinar os pontos de máximo e mínimo local da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \), primeiro calculamos a derivada da função e igualamos a zero para encontrar os pontos críticos. \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \) Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos a equação: \( 3x^2 - 6x + 2 = 0 \) Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos os valores de x: \( x = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 - 4*3*2}}{2*3} \) \( x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} \) \( x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} \) \( x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} \) Assim, os pontos críticos são \( x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \). Agora, para determinar se esses pontos são de máximo ou mínimo, podemos usar o teste da derivada segunda. Calculando a derivada segunda: \( f''(x) = 6x - 6 \) Avaliando a derivada segunda nos pontos críticos, temos: \( f''(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = 6(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) - 6 = 6 + 2\sqrt{3} - 6 = 2\sqrt{3} > 0 \) Portanto, \( x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \) é um ponto de mínimo local. Analogamente, \( f''(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = 6(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) - 6 = 6 - 2\sqrt{3} - 6 = -2\sqrt{3} < 0 \) Assim, \( x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \) é um ponto de máximo local. Portanto, o ponto de máximo local é \( x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \) e o ponto de mínimo local é \( x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \).