52. Problema: Determine a derivada de segunda ordem da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). Resposta: \( f''(x) = \frac{2}{x^2 + 1} - \frac{4x^2...

Para determinar a derivada de segunda ordem da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), primeiro precisamos encontrar a primeira derivada e então derivar novamente. Vamos lá: 1. Encontrando a primeira derivada: \( f'(x) = \frac{d}{dx}[\ln(x^2 + 1)] \) \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) \) \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) 2. Agora, vamos encontrar a segunda derivada: \( f''(x) = \frac{d}{dx}[\frac{2x}{x^2 + 1}] \) \( f''(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} \) \( f''(x) = \frac{2}{x^2 + 1} - \frac{4x^2}{(x^2 + 1)^2} \) Portanto, a derivada de segunda ordem da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) é \( f''(x) = \frac{2}{x^2 + 1} - \frac{4x^2}{(x^2 + 1)^2} \).