Problemas de Cálculo Avançado

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49. **Problema:** Determine a solução geral do sistema de equações diferenciais: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 \frac{dx}{dt} = 2x + y \\ 
 \frac{dy}{dt} = x + 2y 
 \end{cases} 
 \] 
 **Resposta:** \( x = (C_1 + C_2t)e^{3t} \) e \( y = (C_1 - C_2t)e^{3t} \), onde \( C_1 \) e \( 
C_2 \) são constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos as equações diferenciais separadamente e combinamos 
as soluções. 
 
50. **Problema:** Determine o raio de convergência da série \( \sum_{n=0}^{\infty} 
\frac{n!}{n^n}x^n \). 
 **Resposta:** O raio de convergência é \( e \). 
 **Explicação:** Utilizamos o teste da razão ou o teste da raiz para encontrar o raio de 
convergência. 
 
51. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = \sinh(x) \). 
 **Resposta:** \( y = (C_1 + C_2x)e^{2x} - \frac{1}{2}\sinh(x) \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) 
são constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos a equação homogênea e adicionamos uma solução 
particular. 
 
52. **Problema:** Determine a derivada de segunda ordem da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) 
\). 
 **Resposta:** \( f''(x) = \frac{2}{x^2 + 1} - \frac{4x^2}{(x^2 + 1)^2} \). 
 **Explicação:** Aplicamos a regra do quociente e a regra da cadeia para encontrar a 
segunda derivada. 
 
53. **Problema:** Calcule a integral tripla de \( \iiint (x^2 + y^2 + z^2) \, dV \) sobre a 
esfera de raio \( r \). 
 **Resposta:** A integral é \( \frac{4}{3}\pi r^5 \).