A solução geral da EDO 2y′′−5y′−3y=0 é igual a: a. y=c1e−x+c2e3x b. y=c1ex2+c2ex c. y=c1e−x2+c2e3x d. y=e−x2−ex e. y=c1e5x+c2e3x

Para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada, \(2y'' - 5y' - 3y = 0\), precisamos encontrar a solução geral. Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão: \[ y'' - \frac{5}{2}y' - \frac{3}{2}y = 0 \] Agora, vamos encontrar a equação característica associada a essa EDO, que é dada por: \[ 2r^2 - 5r - 3 = 0 \] Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \(a = 2\), \(b = -5\) e \(c = -3\): \[ r = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} \] \[ r = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} \] \[ r = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ r = \frac{5 \pm 7}{4} \] Isso nos dá as raízes: \[ r_1 = 3 \quad \text{e} \quad r_2 = -\frac{1}{2} \] Assim, a solução geral da EDO é dada por: \[ y = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-\frac{1}{2}x} \] Agora, analisando as alternativas: a) \(y = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x}\) b) \(y = c_1 e^{x^2} + c_2 e^{x}\) c) \(y = c_1 e^{-x^2} + c_2 e^{3x}\) d) \(y = e^{-x^2} - e^{x}\) e) \(y = c_1 e^{5x} + c_2 e^{3x}\) Nenhuma das alternativas corresponde exatamente à solução que encontramos. No entanto, a alternativa que mais se aproxima da forma correta, considerando a estrutura da solução, é a: a) \(y = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x}\) Entretanto, a raiz correta não é \(e^{-x}\), mas sim \(e^{-\frac{1}{2}x}\). Portanto, parece que não há uma alternativa correta entre as opções dadas. Você pode querer verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da questão.