Para resolver essa questão, vamos seguir os passos: 1. Frequência natural inicial: \( \omega_n = 10 \, \text{rad/s} \). 2. Aumento desejado: 20% de 10 rad/s é \( 10 \times 0,2 = 2 \, \text{rad/s} \). 3. Nova frequência natural: \( \omega_n' = 10 + 2 = 12 \, \text{rad/s} \). A frequência natural de um sistema mecânico é dada por: \[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} \] onde \( k \) é a constante elástica da mola e \( m \) é a massa do sistema. 4. Relação entre as frequências: \[ \frac{\omega_n'}{\omega_n} = \sqrt{\frac{k'}{k}} \] Substituindo os valores: \[ \frac{12}{10} = \sqrt{\frac{k'}{k}} \] 5. Elevando ao quadrado: \[ \left(\frac{12}{10}\right)^2 = \frac{k'}{k} \] \[ \frac{144}{100} = \frac{k'}{k} \] \[ k' = k \cdot \frac{144}{100} = 1,44k \] 6. Relação da constante elástica com o número de espiras: A constante elástica da mola é dada por: \[ k = \frac{Gd^4}{8D^3N} \] onde \( N \) é o número de espiras. Se mantivermos \( G \), \( d \) e \( D \) constantes, temos: \[ k' = \frac{Gd^4}{8D^3N'} \] 7. Substituindo \( k' \): \[ 1,44k = \frac{Gd^4}{8D^3N'} \] 8. Substituindo \( k \): \[ 1,44 \cdot \frac{Gd^4}{8D^3N} = \frac{Gd^4}{8D^3N'} \] 9. Cancelando os termos comuns: \[ 1,44 \cdot \frac{1}{N} = \frac{1}{N'} \] 10. Isolando \( N' \): \[ N' = \frac{N}{1,44} \] 11. Substituindo \( N = 14,4 \): \[ N' = \frac{14,4}{1,44} = 10 \] Portanto, o número de espiras necessárias à nova mola é 10 espiras.