Ao calcular limite, indeterminações do tipo ∞/∞ podem acontecer. Esse é o caso da função f(x) = ex/x2, quando x→∞. Sabendo dessa indeterminação, encontre o

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Ao calcular limite, indeterminações do tipo ∞/∞ podem acontecer. Esse é o caso da função  f(x) = ex/x2, quando x→∞.     Sabendo dessa indeterminaçã...

Ed · Answer

Para resolver a indeterminação do tipo ∞/∞ da função $ f(x) = \frac{e^x}{x^2} $ quando $ x \to \infty $, podemos aplicar a regra de L'Hôpital. Essa regra afirma que, se temos uma indeterminação do tipo ∞/∞ ou 0/0, podemos derivar o numerador e o denominador.

1. **Derivadas**:
   - Derivada do numerador $ e^x $ é $ e^x $.
   - Derivada do denominador $ x^2 $ é $ 2x $.

2. **Aplicando a regra de L'Hôpital**:
   $$
   \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2x}
   $$

3. **Verificando novamente a indeterminação**:
   Quando $ x \to \infty $, ainda temos uma indeterminação do tipo ∞/∞. Portanto, aplicamos a regra de L'Hôpital novamente.

4. **Derivadas novamente**:
   - Derivada do numerador $ e^x $ é $ e^x $.
   - Derivada do denominador $ 2x $ é $ 2 $.

5. **Aplicando a regra de L'Hôpital novamente**:
   $$
   \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2} = \infty
   $$

Portanto, o limite $ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} = \infty $. Isso significa que a função cresce sem limites à medida que $ x $ se aproxima do infinito.

Ed · Answer

Quando nos deparamos com uma indeterminação do tipo ∞/∞ ao calcular limites, como no caso da função f(x) = ex/x^2 quando x→∞, podemos utilizar a regra de L'Hôpital para resolver. Nesse caso, ao aplicar a regra, derivamos o numerador e o denominador separadamente. Assim, ao derivar ex, obtemos ex, e ao derivar x^2, obtemos 2x. Substituindo esses valores na expressão original, obtemos o limite de f(x) = ex/x^2 quando x→∞.

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