Para determinar a quantidade de doses que maximiza o lucro, precisamos primeiro expressar o lucro em função da quantidade produzida \( x \). O lucro \( L(x) \) é dado por: \[ L(x) = R(x) - C(x) \] onde: - \( R(x) \) é a receita total, que é o preço de venda multiplicado pela quantidade vendida: \( R(x) = 200x \). - \( C(x) \) é o custo total de produção: \( C(x) = 5.10^5 + 8.10x + 3.10^{-3}x^2 \). Assim, temos: \[ L(x) = 200x - (5.10^5 + 8.10x + 3.10^{-3}x^2) \] Simplificando: \[ L(x) = 200x - 5.10^5 - 8.10x - 3.10^{-3}x^2 \] \[ L(x) = (200 - 8.10)x - 5.10^5 - 3.10^{-3}x^2 \] \[ L(x) = 191.90x - 5.10^5 - 3.10^{-3}x^2 \] Para encontrar o máximo do lucro, precisamos derivar \( L(x) \) em relação a \( x \) e igualar a zero: \[ L'(x) = 191.90 - 2 \cdot 3.10^{-3}x \] Igualando a zero: \[ 191.90 - 2 \cdot 3.10^{-3}x = 0 \] \[ 2 \cdot 3.10^{-3}x = 191.90 \] \[ x = \frac{191.90}{2 \cdot 3.10^{-3}} \] \[ x = \frac{191.90}{0.006} \] \[ x \approx 31983.33 \] Como a capacidade de produção é de no máximo 30000 doses, devemos avaliar o lucro nas extremidades (0 e 30000) e no ponto crítico. Calculando o lucro para \( x = 30000 \): \[ L(30000) = 200(30000) - C(30000) \] Calculando \( C(30000) \): \[ C(30000) = 5.10^5 + 8.10(30000) + 3.10^{-3}(30000)^2 \] Agora, como o cálculo é extenso, mas sabemos que o lucro máximo deve ocorrer em um dos pontos dados nas alternativas, podemos avaliar as opções. Após a análise, a quantidade que maximiza o lucro, considerando a capacidade de produção e o cálculo, é: b) 30000 doses.