Determine a série de Taylor da função f(x) = cos(x) em torno de x = 0.

a) cos(x) ≈ 1 - x^2/2 + x^4/24
Encontre a solução para a equação diferencial y'' - 2y' + y = 0 com condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 2.

a) y(x) = (1 + 2x) e^{2x}
b) y(x) = e^{x} + x e^{x}
c) y(x) = rac{1}{2} e^{x} + rac{3}{2} e^{-x}

Question

Determine a série de Taylor da função f(x) = cos(x) em torno de x = 0.

a) cos(x) ≈ 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}
b) cos(x) ≈ 1 + \frac{x^2}{2...

Ed · Answer

Para determinar a série de Taylor da função $ f(x) = \cos(x) $ em torno de $ x = 0 $, utilizamos a fórmula da série de Taylor:

$$
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \ldots
$$

Calculando as derivadas da função $ \cos(x) $:

- $ f(0) = \cos(0) = 1 $
- $ f'(x) = -\sin(x) $ então $ f'(0) = 0 $
- $ f''(x) = -\cos(x) $ então $ f''(0) = -1 $
- $ f'''(x) = \sin(x) $ então $ f'''(0) = 0 $
- $ f^{(4)}(x) = \cos(x) $ então $ f^{(4)}(0) = 1 $

Substituindo na fórmula da série de Taylor, obtemos:

$$
\cos(x) \approx 1 + 0 \cdot x - \frac{1}{2}x^2 + 0 \cdot x^3 + \frac{1}{24}x^4
$$

Portanto, a série de Taylor até o termo $ x^4 $ é:

$$
\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}
$$

Analisando as alternativas:

a) $ \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} $ - Correta.
b) $ \cos(x) \approx 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} $ - Incorreta.
c) $ \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} $ - Incorreta.

A alternativa correta é: **a)** $ \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} $.

Ed · Answer

Para determinar a série de Taylor da função $ f(x) = \cos(x) $ em torno de $ x = 0 $, podemos usar a expansão em série de Taylor da função cosseno. A série de Taylor da função cosseno é dada por:

$$ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots $$

Analisando as opções fornecidas:
a) $ \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} $ - Esta opção está correta, pois corresponde à expansão correta da série de Taylor para $ \cos(x) $ em torno de $ x = 0 $.

b) $ \cos(x) \approx 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} $ - Esta opção não corresponde à expansão correta da série de Taylor para $ \cos(x) $ em torno de $ x = 0 $.

c) $ \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} $ - Esta opção também não corresponde à expansão correta da série de Taylor para $ \cos(x) $ em torno de $ x = 0 $.

Portanto, a alternativa correta é: a) $ \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} $.

Cálculo Numérico

calculo cx

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

calculo cx