08. Considere o PVI 3y′′ − y′ + 2y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 0. Determine a solução deste problema e também o primeiro istante t tal que |y(t)| = 10.

Question

08. Considere o PVI 3y′′ − y′ + 2y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 0. Determine a solução deste problema e também o primeiro istante t tal que |y(t)| = 1...

Ed · Answer

Para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial $3y'' - y' + 2y = 0$ com as condições iniciais $y(0) = 2$ e $y'(0) = 0$, vamos seguir os passos abaixo:

1. **Encontrar a equação característica**: A equação característica associada é $3r^2 - r + 2 = 0$.

2. **Resolver a equação característica**: Usamos a fórmula de Bhaskara:
   $$
   r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 24}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{-23}}{6}
   $$
   Isso nos dá raízes complexas:
   $$
   r = \frac{1}{6} \pm \frac{\sqrt{23}}{6}i
   $$

3. **Escrever a solução geral**: A solução geral da equação diferencial é dada por:
   $$
   y(t) = e^{\frac{1}{6}t} \left( C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{23}}{6}t\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{23}}{6}t\right) \right)
   $$

4. **Aplicar as condições iniciais**:
   - Para $y(0) = 2$:
     $$
     y(0) = e^{0} \left( C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) \right) = C_1 = 2
     $$
   - Para $y'(0) = 0$, precisamos calcular $y'(t)$:
     $$
     y'(t) = e^{\frac{1}{6}t} \left( \frac{1}{6} \left( C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{23}}{6}t\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{23}}{6}t\right) \right) - C_1 \frac{\sqrt{23}}{6} \sin\left(\frac{\sqrt{23}}{6}t\right) + C_2 \frac{\sqrt{23}}{6} \cos\left(\frac{\sqrt{23}}{6}t\right) \right)
     $$
     Avaliando em $t = 0$:
     $$
     y'(0) = \frac{1}{6} \cdot 2 + C_2 \cdot \frac{\sqrt{23}}{6} = 0 \implies C_2 = -\frac{2}{\sqrt{23}}
     $$

5. **Solução particular**: Assim, a solução particular é:
   $$
   y(t) = e^{\frac{1}{6}t} \left( 2 \cos\left(\frac{\sqrt{23}}{6}t\right) - \frac{2}{\sqrt{23}} \sin\left(\frac{\sqrt{23}}{6}t\right) \right)
   $$

6. **Encontrar o primeiro instante $t$ tal que $|y(t)| = 1$**: Para isso, precisamos resolver a equação:
   $$
   |y(t)| = 1
   $$
   Isso pode ser feito substituindo a expressão de $y(t)$ e resolvendo a equação resultante, que pode ser complexa e pode exigir métodos numéricos ou gráficos para encontrar o primeiro $t$ que satisfaça essa condição.

Se precisar de mais detalhes sobre como resolver essa última parte, é só avisar!

Ed · Answer

Para resolver esse problema, primeiro precisamos encontrar a solução da equação diferencial dada. Em seguida, podemos determinar o instante em que |y(t)| = 1.

A solução da equação diferencial 3y′′ − y′ + 2y = 0, com as condições iniciais y(0) = 2 e y′(0) = 0, é y(t) = 2e^t.

Para encontrar o primeiro instante t em que |y(t)| = 1, substituímos y(t) na equação |y(t)| = 1:

|2e^t| = 1
2e^t = 1
e^t = 1/2
t = ln(1/2)

Portanto, o primeiro instante t em que |y(t)| = 1 é t = ln(1/2).

Equações Diferenciais

Equações de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes

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05. Determine a solução do problema de valor incial 2y′′ − 3y′ + y = 0 , y(0) = 2, y′(0) = 1/2 . Depois determine o valo máximo que a solução assume e encontre também o ponto onde a solução se anula. Em seguida esboce o gráfico da solução.

06. Seja α uma constante. Determine a solução do problema de valor incial y′′ − y′ − 2y = 0 , y(0) = α, y′(0) = 2 . Depois determine valores de α de modo que a solução tenda a zero quando t→∞.

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