Equações de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes

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UFCG - UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA - UAMat
DISCIPLINA: Equac¸o˜es Diferenciais Lineares
PROFESSOR: Aparecido J. de Souza
Aluno(a): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista de Exerc´ıcios n06 - Equac¸o˜es de Segunda Ordem
01. Determine os intervalos em que e´ certo existir uma soluc¸a˜o u´nica para
cada uma das seguintes equac¸o˜es diferenciais lineares, satisafzendo as
condic¸o˜es iniciais y(t0) = y0, y
′(t0) = y1 para o t0 dado. Na˜o resolva as
(a) ty′′ + 3t = t, t0 = 1; (b) y′′ + 6y′ + 7y = 2tg(t), t0 = 0;
(c) t(t−1)y′′+3ty′+4y = 2, t0 = 1/2; (d) cos(t)y′′+y = 0, t0 = 1.
(e) (1− t2)y′′ + 4y′ = et, t0 = 0; (f) ety′′ + t2y′ + y = tg(t), t0 = −1.
02. Determine o conjunto fundamental de soluc¸o˜es {y1, y2} tal que y1(t0) =
1, y′1(t0) = 0 e y2(t0) = 0, y
′
2(t0) = 1, para as equac¸o˜es diferenciais a
seguir com o t0 dado.
(a) y′′ + y′ − 2y = 0 , t0 = 0 ,
(b) y′′ + 4y = 0 , t0 = 0 ,
(c) y′′ + 4y′ + 4y = 0 , t0 = −1 .
03. Nos itens a seguir encontre a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es diferenciais
dadas.
(a) y′′ + 2y′ − 3y = 0 , (b)4y′′ + 12y′ + 9y = 0 , (c)y′′ + 2y′ − 8y = 0 ,
(d)y′′ + 6y′ + 13y = 0 , (e)y′′ + 2y′ + 2y = 0 , (f)y′′ − 6y′ + 9y = 0 .
04. Nos itens a seguir, resolva o problema de valor inicial, esboce o gra´fico
da soluc¸a˜o e descreva o comportamento da soluc¸a˜o quando t→∞.
(a) y′′ + 4y′ + 4y = 0 , y(−1) = 2, y′(−1) = 1 ,
(b) y′′ + y′ + 1, 25y = 0 , y(0) = 3, y′(0) = 1 ,
(c) y′′ + 3y′ = 0 , y(0) = −2, y′(0) = 3 ,
(d) y′′ + 2y′ + 2y = 0 , y(pi/4) = 2, y′(pi/4) = −2 ,
(e) y′′ + y′ − 2y = 0 , y(0) = 1, y′(0) = 1 ,
(f) y′′ − 6y′ + 9y = 0 , y(0) = 0, y′(0) = 2 .
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05. Determine a soluc¸a˜o do problema de valor incial
2y′′ − 3y′ + y = 0 , y(0) = 2, y′(0) = 1/2 .
Depois determine o valo ma´ximo que a soluc¸a˜o assume e encontre
tambe´m o ponto onde a soluc¸a˜o se anula. Em seguida esboce o gra´fico
da soluc¸a˜o.
06. Seja α uma constante. Determine a soluc¸a˜o do problema de valor incial
y′′ − y′ − 2y = 0 , y(0) = α, y′(0) = 2 .
Depois determine valores de α de modo que a soluc¸a˜o tenda a zero
quando t→∞.
07. Seja α uma constante. Determine os valores de α, se existirem, para
os quais todas as soluc¸o˜es tendem a zero quando t → ∞; determine
tambe´m os valores de α, se existirem, para os quais todas as soluc¸o˜es
na˜o nulas tornam-se ilimitadas quando t→∞,
(a) y′′− (2α−1)y′+α(α−1)y = 0 , (b) y′′+(3−α)y′−2(α−1)y = 0 .
08. Considere o PVI 3y′′ − y′ + 2y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 0. Determine a
soluc¸a˜o deste problema e tambe´m o primeiro istante t tal que |y(t)| =
10.
09. Considere o PVI y′′ + 2y′ + 6y = 0, y(0) = 2, y′(0) = α ≥ 0.
(a) Determine a soluc¸a˜o deste problema;
(b) Determine α tal que y(1) = 0;
(c) Determine o menor valor positivo de t, em func¸a˜o de α, para o
qual y(t) = 0;
(d) Determine o limite da expressa˜o encontrada no item (c) quando
α→∞.
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10. Considere o PVI 4y′′ + 12y′ + 9y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −4.
(a) Determine a soluc¸a˜o deste problema e fac¸a o gra´fico de sua soluc¸a˜o
para 0 ≤ t ≤ 5;
(b) Determine o valor de t tal que y(t) = 0;
(c) Determine as coordenadas (t0, y0) onde a soluc¸a˜o tem um ponto
de mı´nimo;
(d) Fac¸a y′(0) = b (b constante) e determine a soluc¸a˜o em termos
de b; depois determine o valor de b que separa as soluc¸o˜es que
permanecem positivas das que acabam se tornando negativas.
11. Use o me´todo da reduc¸a˜o de ordem, fazendo y2(t) = v(t)y1(t), para
encontrar uma segunda soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial dada.
(a) ty′′ − 4ty′ + 6y = 0 , t > 0 , y1(t) = t2 ,
(b) t2y′′ + 2ty′ − 2y = 0, t > 0 , y1(t) = t ,
(c) (t− 1)y′′ − ty′ + y = 0 , t > 1 , y1(t) = et ,
(d) t2y′′ − (t− 0, 1875)y = 0 , t > 0 , y1(t) = t1/4 e2
√
t .
Boa Prova!
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