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Probabilidade e Estatísticas

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1. Problema Colocam se ao acaso 6 botões em um tabuleiro 6× 6, não sendo permitido haver dois botões em uma mesma casa. Qual a probabilidade de ...

1. Problema
Colocam se ao acaso 6 botões em um tabuleiro 6× 6, não sendo permitido haver dois botões em uma mesma casa. Qual a probabilidade de não haver dois botões nem na mesma linha nem na mesma coluna?
(a) 0.5000
(b) 0.0500
(c) 0.1667
(d) 0.3333
(e) 0.0004
Solução
Há 36 casas no tabuleiro. O número de maneiras de selecionarmos as casas para colocar o botão é (36 6). Como cada linha e cada coluna conterá exatamente um botão, existem 6 maneiras de escolher a casa que será utilizada na primeira linha, 5 maneiras de escolher a segunda linha e assim por diante; desse modo temos 6! maneiras de distribuir os botões sem que hajam dois na mesma linha ou na mesma coluna. Segue que a probabilidade desejada é 6!(36 6) = 4e− 04.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro

a) Falso
b) Falso
c) Falso
d) Falso
e) Verdadeiro
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Analisando a questão, podemos observar que a probabilidade de não haver dois botões nem na mesma linha nem na mesma coluna é dada pela quantidade de maneiras de distribuir os botões de forma que atendam a essa condição, dividido pelo total de maneiras de distribuir os botões no tabuleiro. O cálculo apresentado na solução está correto, indicando que a probabilidade desejada é de 4e-04, o que corresponde a 0.0004. Portanto, a alternativa correta é: e) Verdadeiro.

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2. Problema
Considere o lançamento de duas moedas idênticas, mas desequilibradas. Para cada moeda, a probabilidade de ocorrer cara é 45% maior do que a probabilidade de obter coroa. Qual é a probabilidade de obter 2 caras dado que se obteve pelo menos 1 cara?
(a) 0.500
(b) 0.420
(c) 0.216
(d) 0.592
(e) 0.333
Solução
Seja “A” o evento saiu cara e “O” saiu coroa. Em um lançamento, a probabilidade de obter cara P(A) ou coroa P(O) é igual a 1. Como a probabilidade de obter cara é 45% maior do que a probabilidade de obter coroa, temos que P (O) + (1 + 0.45)P (O) = 1 Portanto, P (O) = 0.4082 e P (A) = 0.5918. E as probabilidades em dois lançamentos são dadas por: P (AA) = 0.5918× 0.5918 = 0.3503 P (AO) = 0.5918× 0.4082 = 0.2416 P (OA) = 0.2416 P (OO) = 0.4082× 0.4082 = 0.1666 Logo, a probabilidade desejada é P (AA|AA ∪AO ∪OA) = P (AA) P (AA ∪AO ∪OA) = 0.3503 0.8334 = 0.42.

a) Falso
b) Verdadeiro
c) Falso
d) Falso
e) Falso

4. Problema
Suponha que 11% dos imóveis de uma certa cidade são rurais e 89% são urbanos. Suponha ainda que 77% dos imóveis rurais não realizam a coleta seletiva, enquanto que na área urbana esse valor é de 49%. Qual é a probabilidade de um imóvel que não realiza a coleta seletiva ser da área rural?
(a) 0.521
(b) 0.436
(c) 0.085
(d) 0.837
(e) 0.163
Solução
Defina os eventos R = “O imóvel é rural.” U = “O imóvel é urbano.” NC = “O imóvel não realiza a coleta seletiva.” Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade desejada é dada por P (R|NC) = P (NC|R)× P (R) P (NC|R)× P (R) + P (NC|U)× P (U) = 0.77× 0.11 0.77× 0.11 + 0.49× 0.89 = 0.163.

a) Falso
b) Falso
c) Falso
d) Falso
e) Verdadeiro

5. Problema
Suponha que 36% dos chutes a gol de um determinado jogador são convertidos a gol. Se em um determinado jogo de futebol esse jogador teve 15 chutes a gol, qual a probabilidade de ter convertido mais de 1 gol?
(a) 0.999
(b) 0.998
(c) 0.012
(d) 0.988
(e) 0.990
Solução
SejaX a variável aleatória número de chutes a gol do jogador. Então, X ∼ Binomial(15, 0.36) e a probabilidade desejada é dada por 1−P (X = 0)−P (X = 1) = 1− ( 15 0 ) 0.360(1−0.36)15−0− ( 15 1 ) 0.361(1−0.36)15−1 = 0.9883.

a) Falso
b) Falso
c) Falso
d) Verdadeiro
e) Falso

7. Problema
Para inspecionar um lote de 13 peças, o funcionário de uma empresa sorteia uma amostra de 8 peças ao acaso. Caso nenhuma peça defeituosa seja encontrada na amostra o lote é aceito; caso contrário é devolvido ao fornecedor. Suponha que 1 das 13 peças sejam defeituosas. Se a escolha for realizada sem reposição qual a probabilidade de aceitação do lote?
(a) 0.006
(b) 0.077
(c) 0.527
(d) 0.071
(e) 0.385
Solução
Seja X a variável relativa ao número de peças defeituosas. A probabilidade de aceitação do lote é dada por P (X = 0) = ( 12 8 )( 1 0 )( 13 8 ) = 0.385.

a) Falso
b) Falso
c) Falso
d) Falso
e) Verdadeiro

Qual a probabilidade de você conseguir ir ao compromisso?

(a) 0.925
(b) 0.829
(c) 1.000
(d) 0.561
(e) 0.439

P (X ≤ 14 + 30|X > 30) = P (X ≤ 14) = 1− exp (−0.0588× 14) = 0.561.

(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso

O número de vencedores tem distribuição binomial com parâmetros 254556391 e 150063860 , ou seja, X ∼ Bin(254556391, 150063860 ). Utilizando a aproximação de Poisson para a Binomial, tem-se, aproximadamente, que X ∼ Poisson(np = 5.085). Portanto, a probabilidade de observarmos exatamente X = 5, é dada por P (X = 5|X ∼ Bin(254556391, 150063860 )) ≈ P (X = 5|X ∼ Poisson(5.085)) = 17.5%.

(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso

Qual é a probabilidade de uma pessoa ao acaso ter altura superior a 165cm?

(a) 0.1539
(b) 0.1112
(c) 0.0418
(d) 0.1314
(e) 0.4562

P (X ≤ 14 + 30|X > 30) = P (X ≤ 14) = 1− exp (−0.0588× 14) = 0.561.

(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso

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