Prova 1 probabilidade e estatítica corrigida

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1. Problema
Colocam se ao acaso 6 botões em um tabuleiro 6× 6, não sendo permitido haver dois botões
em uma mesma casa. Qual a probabilidade de não haver dois botões nem na mesma linha
nem na mesma coluna?
(a) 0.5000
(b) 0.0500
(c) 0.1667
(d) 0.3333
(e) 0.0004
Solução
Há 36 casas no tabuleiro. O número de maneiras de selecionarmos as casas para colocar
o botão é
(
36
6
)
. Como cada linha e cada coluna conterá exatamente um botão, existem 6
maneiras de escolher a casa que será utilizada na primeira linha, 5 maneiras de escolher a
segunda linha e assim por diante; desse modo temos 6! maneiras de distribuir os botões sem
que hajam dois na mesma linha ou na mesma coluna. Segue que a probabilidade desejada é
6!(
36
6
) = 4e− 04.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
2. Problema
Considere o lançamento de duas moedas idênticas, mas desequilibradas. Para cada moeda,
a probabilidade de ocorrer cara é 45% maior do que a probabilidade de obter coroa. Qual é
a probabilidade de obter 2 caras dado que se obteve pelo menos 1 cara?
(a) 0.500
(b) 0.420
(c) 0.216
(d) 0.592
(e) 0.333
Solução
Seja “A” o evento saiu cara e “O” saiu coroa.
Em um lançamento, a probabilidade de obter cara P(A) ou coroa P(O) é igual a 1. Como a
probabilidade de obter cara é 45% maior do que a probabilidade de obter coroa, temos que
P (O) + (1 + 0.45)P (O) = 1
Portanto, P (O) = 0.4082 e P (A) = 0.5918. E as probabilidades em dois lançamentos são
dadas por:
P (AA) = 0.5918× 0.5918 = 0.3503
P (AO) = 0.5918× 0.4082 = 0.2416
P (OA) = 0.2416
P (OO) = 0.4082× 0.4082 = 0.1666
Logo, a probabilidade desejada é
P (AA|AA ∪AO ∪OA) = P (AA)
P (AA ∪AO ∪OA)
=
0.3503
0.8334
= 0.42.
1
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
3. Problema
O dono de um posto recomenda aos três frentistas que eles lavem os para-brisas de todos
os véıculos atendidos. Sabe-se que João, Marcelo e Raul atendem, respectivamente, 35%,
25% e 40% dos véıculos. Eles esquecem de lavar o para-brisas com probabilidade 0.3, 0.2 e
0.25, respectivamente. Se um motorista abastece nesse posto, qual a probabilidade de que o
para-brisas do seu véıculo não seja lavado?
(a) 0.250
(b) 0.015
(c) 0.255
(d) 0.750
(e) 0.085
Solução
Sejam os eventos
J=João realiza o atendimento
M=Marcelo realiza o atendimento
R=Raul realiza o atendimento
N=o para-brisas não é lavado
Pelo enunciado tem-se P (J) = 0.35, P (M) = 0.25, P (R) = 0.4, P (N |J) = 0.3, P (N |M) =
0.2 e P (N |R) = 0.25. Logo, pelo Teorema da Probabilidade Total tem-se que P (N) =
P (J)P (N |J) +P (M)P (N |M) +P (R)P (N |R) = 0.35× 0.3 + 0.25× 0.2 + 0.4× 0.25 = 0.255
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
4. Problema
Suponha que 11% dos imóveis de uma certa cidade são rurais e 89% são urbanos. Suponha
ainda que 77% dos imóveis rurais não realizam a coleta seletiva, enquanto que na área urbana
esse valor é de 49%. Qual é a probabilidade de um imóvel que não realiza a coleta seletiva
ser da área rural?
(a) 0.521
(b) 0.436
(c) 0.085
(d) 0.837
(e) 0.163
2
Solução
Defina os eventos
R = “O imóvel é rural.”
U = “O imóvel é urbano.”
NC = “O imóvel não realiza a coleta seletiva.”
Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade desejada é dada por
P (R|NC) = P (NC|R)× P (R)
P (NC|R)× P (R) + P (NC|U)× P (U)
=
0.77× 0.11
0.77× 0.11 + 0.49× 0.89
= 0.163.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
5. Problema
Suponha que 36% dos chutes a gol de um determinado jogador são convertidos a gol. Se em
um determinado jogo de futebol esse jogador teve 15 chutes a gol, qual a probabilidade de
ter convertido mais de 1 gol?
(a) 0.999
(b) 0.998
(c) 0.012
(d) 0.988
(e) 0.990
Solução
SejaX a variável aleatória número de chutes a gol do jogador. Então, X ∼ Binomial(15, 0.36)
e a probabilidade desejada é dada por
1−P (X = 0)−P (X = 1) = 1−
(
15
0
)
0.360(1−0.36)15−0−
(
15
1
)
0.361(1−0.36)15−1 = 0.9883.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
6. Problema
Suponha que para cada cliente que solicita o cancelamento do seu cartão, a companhia
responsável efetivamente realize o cancelamento do cartão do cliente com probabilidade 0.02.
Qual a probabilidade de que sejam necessários exatamente 4 pedidos para que o primeiro
cancelamento seja realizado?
3
(a) 0.0100
(b) 0.0188
(c) 0.0417
(d) 0.0160
(e) 0.0829
Solução
Como o experimento é repetido até que ocorra um sucesso, estamos diante de uma dis-
tribuição geométrica de parâmetro 0.02. Desse modo, representando por X a variável
aleatória relativa ao o número de pedidos necessários para que o primeiro cancelamento
seja realizado, a probabilidade desejada é dada por
P (X = 4) = 0.983 × 0.02 = 0.0188.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
7. Problema
Para inspecionar um lote de 13 peças, o funcionário de uma empresa sorteia uma amostra de
8 peças ao acaso. Caso nenhuma peça defeituosa seja encontrada na amostra o lote é aceito;
caso contrário é devolvido ao fornecedor. Suponha que 1 das 13 peças sejam defeituosas. Se
a escolha for realizada sem reposição qual a probabilidade de aceitação do lote?
(a) 0.006
(b) 0.077
(c) 0.527
(d) 0.071
(e) 0.385
Solução
Seja X a variável relativa ao número de peças defeituosas. A probabilidade de aceitação do
lote é dada por
P (X = 0) =
(
12
8
)(
1
0
)(
13
8
) = 0.385.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
8. Problema
Considere que a chegada de aviões em um aeroporto se dá segundo um modelo Poisson.
Atualmente, a taxa de chegada é de 0,5 avião por minuto, em média, e o aeroporto também
possui capacidade para atender 0,5 avião por minuto. A previsão para os próximos 10 anos
é que o tráfego aéreo irá aumentar em 4 vezes e a capacidade de atendimento será ampliada
em 2 vezes. Caso essas previsões se confirmem, qual a probabilidade de haver aviões sem
atendimento imediato daqui a 10 anos em um dado minuto?
4
(a) 0.594
(b) 0.865
(c) 0.080
(d) 0.406
(e) 0.393
Solução
Sejam X e Y variáveis aleatórias representando a quantidade de aviões que pousam em um
dado minuto no aeroporto, atualmente e em 10 anos, respectivamente.
Então, X ∼ Poisson(0.5) e Y ∼ Poisson(2).
Considerando que a capacidade do aeroporto para daqui há 10 anos será de atender 1 aviões
por minuto, a probabilidade de haver aviões sem atendimento imediato é dada pela proba-
bilidade de chegar mais do que 1 aviões em um dado minuto, ou seja,
P (Y > 1) = 1− P (Y ≤ 1) = 1− P (Y = 0)− P (Y = 1)− ...− P (Y = 1) = 0.594.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
9. Problema
A chance de uma aposta simples (onde escolhe-se 6 números) ganhar a Mega Sena é de
uma em 50063860. A Mega Sena da Virada de 2017 arrecadou o equivalente a 254556391
apostas simples. Nesse contexto, considerando que os números em cada aposta tenham sido
escolhidos de maneira aleatória e independente (todos da Distribuição Uniforme discreta
de 1 a 60), qual era a probabilidade de que exatamente 5 apostadores ganhassem o prêmio
máximo?
(a) 0.419
(b) 0.175
(c) 0.297
(d) 0.581
(e) 0.825
Solução
O número de vencedores tem distribuição binomial com parâmetros 254556391 e 150063860 , ou
seja, X ∼ Bin(254556391, 150063860 ). Utilizando a aproximação de Poisson para a Binomial,
tem-se, aproximadamente, que X ∼ Poisson(np = 5.085). Portanto, a probabilidade de
observarmos exatamente X = 5, é dada por
P (X = 5|X ∼ Bin(254556391, 150063860 )) ≈ P (X = 5|X ∼ Poisson(5.085)) = 17.5%.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
5
10. Problema
Seja X uma variável aleatória cont́ınua cuja função densidade de probabilidade (fdp) é dada
por
fX(x) =

0, se x < 0;
cx2, se 0 ≤ x ≤ 1;
3
4 , se 1 < x ≤ 2;
0, se x > 2.
Qual o valor de E(X)?
(a) 27/32
(b) 1
(c) 18
(d) 3/4
(e) 21/16
Solução
Para que uma função seja densidade de probabilidade de uma variável aleatória,a integral,
tomada no conjunto dos reais, deve ser um. Para a função f(x) definida acima, segue que∫ 2
0
f(x)dx =
∫ 1
0
cx2dx+
∫ 2
1
3
4
dx
=
cx3
3
∣∣∣∣1
0
+
3x
4
∣∣∣∣2
1
=
c
3
+
3
4
.
A integral acima será um se, e somente se, c = 3/4. Finalmente, a esperança é dada por
∫ 2
0
xf(x)dx =
∫ 1
0
3x3
4
dx+
∫ 2
1
3x
4
dx
=
3x4
16
∣∣∣∣1
0
+
3x2
8
∣∣∣∣2
1
=
3
16
+
9
8
=
21
16
.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
11. Problema
Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade acumulada:
F (x) =

0, se x < −1
1/8, se − 1 ≤ x < −0.5
1/2, se − 0.5 ≤ x < 5
1, se x ≥ 5
6
O valor de E(X) é
(a) 1.625
(b) 7.812
(c) 4.625
(d) 2.812
(e) 2.188
Solução
X é uma variável aleatória discreta assumindo valores com probabilidade positiva nos pontos
de salto da função de distribuição, ou seja, nos valores -1, -0.5 e 5. As probabilidades são
dadas por
P (X = −1) = 18 − 0 =
1
8
P (X = −0.5) = 12 −
1
8 =
3
8
P (X = 5) = 1− 12 =
1
2
Logo, E(X) = −1× 18 +−0.5×
3
8 + 5×
1
2 = 2.1875.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
12. Problema
Suponha que a altura, em centimetros, de uma pessoa selecionada ao acaso de uma população
distribui-se Normalmente. Visto que P (X ≤ 154) = 0.5 e P (X ≤ 148) = 0.27, qual é a
probabilidade de uma pessoa ao acaso ter altura superior a 165cm?
(a) 0.1539
(b) 0.1112
(c) 0.0418
(d) 0.1314
(e) 0.4562
Solução
Visto que P (X ≤ 154) = 0.5, então a média da variável X é E(X) = 154.
Além disso, tem-se que P (X ≤ 148) = 0.27, e pela tabela da distribuição Normal padrão,
P (Z ≤ −0.61) ≈ 0.27. Então,
148− 154
σ
= −0.61
Portanto, σ = 148−154−0.61 = 9.8361.
Logo,
P (X > 165) = 1− P (Z ≤ 1.12) = 0.1314.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
7
13. Problema
Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de média −91 e variância 45. Qual
o valor de E(X − 22)2 ?
(a) 10812
(b) 12769
(c) 7797
(d) −5750
(e) 10767
Solução
Como X ∼ N(−91, 45) e Var(X) = E
(
X2
)
− [E(X)]2, nós temos que
E
(
X2
)
= Var(X) + [E(X)]
2
= 8326.
A partir do resultado acima segue que
E (X − 22)2 = E
(
X2 − 22X + 222
)
= E
(
X2
)
− 22E(X) + 222
= 8326− (−2002) + 484
= 10812
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
14. Problema
O tempo de cada atendimento no caixa de um banco é exponencialmente distribuido com
média de 17 minutos. O banco tem apenas 1 caixa funcionando e você é o próximo da fila,
sendo que o último cliente foi chamado há 30 minutos. Suponha que, para não perder seu
compromisso, você precisa ser chamado em, no máximo, mais 14 minutos. Considerando que
você não desistirá da fila, qual a probabilidade de você conseguir ir ao compromisso?
(a) 0.925
(b) 0.829
(c) 1.000
(d) 0.561
(e) 0.439
Solução
Seja X o tempo de atendimento no caixa do banco, então X ∼ Exp(0.0588). Utilizando a
propriedade de perda de memória da distribuição exponencial, tem-se que
P (X ≤ 14 + 30|X > 30) = P (X ≤ 14) = 1− exp (−0.0588× 14) = 0.561.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
8