Grátis: Seja n(A∩C)= n(B∩C)= k, 1≤ k ≤ 5. Há (5 k ) maneiras de escolher os elementos de C provenientes de A e (7 k ) maneiras de escolher os elementos de ...

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Seja n(A∩C)= n(B∩C)= k, 1≤ k ≤ 5. Há (5 k ) maneiras de escolher os elementos de C provenientes de A e (7 k ) maneiras de escolher os elementos de C provenientes de B. Desta forma, há (5 k )(7 k ) maneiras de formar o conjunto C. Queremos calcular, então, 5∑k=1 (5 k )(7 k ) = 35+210+350+175+21= 791. Solução alternativa: seja D ⊂ A∪B com n(D)= 5 e C = (D∩B)∪(A \ D). Perceba que C satisfaz a propriedade desejada.

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Eureka_42-OLIMPIADA DA MATEMÁTICA

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Para responder a essa pergunta, é necessário entender a combinação de conjuntos e a contagem de maneiras de escolher elementos de conjuntos interseccionados. Analisando as informações fornecidas: - n(A∩C) = n(B∩C) = k, onde 1 ≤ k ≤ 5. - Há (5 k) maneiras de escolher os elementos de C provenientes de A. - Há (7 k) maneiras de escolher os elementos de C provenientes de B. Assim, o número total de maneiras de formar o conjunto C é dado por (5 k)(7 k). Para calcular a soma de (5 k)(7 k) para k variando de 1 a 5, podemos realizar os cálculos: (5*1)(7*1) + (5*2)(7*2) + (5*3)(7*3) + (5*4)(7*4) + (5*5)(7*5) = 35 + 70 + 105 + 140 + 175 = 525. Portanto, a resposta correta é 525.

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1) Juquinha e seus amigos organizaram uma corrida com seus carrinhos. O carrinho branco (B) chegou antes do vermelho (V) e do marrom (M). O carrinho azul (A) chegou depois do marrom e antes do vermelho. Qual foi a ordem de chegada dos carrinhos?

A) B–A–V–M
B) B–V–A–M
C) B–M–A–V
D) B–M–V–A
E) B–A–M–V

2) Para cortar um tronco reto de eucalipto em 6 partes, o madeireiro Josué faz 5 cortes. Ele leva meia hora para fazer os cortes, que são feitos sempre da mesma maneira. Quanto tempo Josué levará para cortar outro tronco igual em 9 pedaços?

A) 40 min
B) 44 min
C) 45 min
D) 48 min
E) 54 min

3) Qual é o valor da expressão 20152 −2015×2014−20142 +2014×2015?

A) 0
B) 1
C) 2015
D) 2029
E) 4029

. Então Joana reclamou, corretamente, que ainda faltavam 9 reais de troco. Qual era o valor da compra?

A) 52
B) 53
C) 57
D) 63
E) 64

5) Violeta quer numerar de 1 a 9 os quadrados do tabuleiro ao lado, de modo que a soma de dois números em quadrados vizinhos (quadrados com lados comuns) seja um número ímpar. Além disso, ela quer que a soma dos números escritos nos quadrados cinza seja a maior soma possível. Qual é a soma dos números escritos nos quadrados brancos?

A) 15
B) 16
C) 22
D) 29
E) 30

6) Com dois cortes perpendiculares, Pablo dividiu uma folha de madeira quadrada em dois quadrados, um de área 400 cm2 e outro de área de 900 cm2 e mais dois retângulos iguais, conforme desenho. Qual é a área da folha de madeira?

A) 2500 cm2
B) 2400 cm2
C) 2100 cm2
D) 1800 cm2
E) 1600 cm2

7) Efetuando as operações indicadas na expressão 1015−15, obtemos um número muito grande. Qual é a soma de todos os algarismos desse número?

A) 85
B) 105
C) 130
D) 132
E) 202

8) A média aritmética dos algarismos do ano 2015 é igual a 2, pois 2+0+1+5 = 8/4 = 2. Quantas vezes em nosso século isto irá acontecer com os algarismos nos anos após 2015?

A) 3
B) 5
C) 6
D) 7
E) 9

9) Um bloco de madeira tem faces pentagonais e faces retangulares. Duas faces são vizinhas quando possuem uma aresta comum, como é o caso das duas faces sombreadas na figura. Wagner quer pintar as faces desse bloco de forma que duas faces vizinhas tenham cores diferentes, mas ele quer usar o menor número possível de cores. Qual é esse número?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

10) Carlos e seus dois amigos, Danilo e Edson, foram ao cinema. Carlos pagou a entrada de todos, Danilo pagou a pipoca e o suco para todos e Edson pagou o estacionamento do carro. Para acertar as contas, Danilo e Edson pagaram R$ 8,00 e R$ 14,00, respectivamente, para Carlos, pois a despesa total de cada um foi de R$ 32,00. Qual era o preço da entrada no cinema?

A) R$ 10,00
B) R$ 12,00
C) R$ 15,00
D) R$ 18,00
E) R$ 20,00

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2) Para cortar um tronco reto de eucalipto em 6 partes, o madeireiro Josué faz 5 cortes. Ele leva meia hora para fazer os cortes, que são feitos sempre da mesma maneira. Quanto tempo Josué levará para cortar outro tronco igual em 9 pedaços?A) 40 minB) 44 minC) 45 minD) 48 minE) 54 min

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B) 1
C) 2015
D) 2029
E) 4029

. Então Joana reclamou, corretamente, que ainda faltavam 9 reais de troco. Qual era o valor da compra?

A) 52
B) 53
C) 57
D) 63
E) 64

6) Com dois cortes perpendiculares, Pablo dividiu uma folha de madeira quadrada em dois quadrados, um de área 400 cm2 e outro de área de 900 cm2 e mais dois retângulos iguais, conforme desenho. Qual é a área da folha de madeira?

A) 2500 cm2
B) 2400 cm2
C) 2100 cm2
D) 1800 cm2
E) 1600 cm2

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A) 85
B) 105
C) 130
D) 132
E) 202

8) A média aritmética dos algarismos do ano 2015 é igual a 2, pois 2+0+1+5 = 8/4 = 2. Quantas vezes em nosso século isto irá acontecer com os algarismos nos anos após 2015?

A) 3
B) 5
C) 6
D) 7
E) 9