Aumentando-se 3 lados em um polígono, consequentemente aumentam-se 21 diagonais. Quantas diagonais possui o polígono? a) 41 b) 13 c) 21 d) 14

Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono, que é dada por: \[ D = \frac{n(n-3)}{2} \] onde \( D \) é o número de diagonais e \( n \) é o número de lados do polígono. Se aumentamos 3 lados, o novo número de lados será \( n + 3 \). O número de diagonais do novo polígono será: \[ D' = \frac{(n + 3)((n + 3) - 3)}{2} = \frac{(n + 3)(n)}{2} \] A diferença entre o número de diagonais do novo polígono e do polígono original é 21: \[ D' - D = 21 \] Substituindo as fórmulas: \[ \frac{(n + 3)(n)}{2} - \frac{n(n - 3)}{2} = 21 \] Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração: \[ (n + 3)n - n(n - 3) = 42 \] Expandindo: \[ n^2 + 3n - (n^2 - 3n) = 42 \] Simplificando: \[ n^2 + 3n - n^2 + 3n = 42 \] \[ 6n = 42 \] \[ n = 7 \] Agora, substituímos \( n \) na fórmula para encontrar o número de diagonais do polígono original: \[ D = \frac{7(7 - 3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14 \] Portanto, o polígono possui 14 diagonais. A alternativa correta é: d) 14