7. Mostre que: a) Para qualquer n ∈ N , 6 | n(n+ 1)(n+ 5). b) Se n é ímpar, então 12 | n(n+ 1)(n+ 5) . c) Se n é da forma n = 4k + 3, então 96 | n(...

Para resolver essas demonstrações, vamos analisar cada uma separadamente: a) Para qualquer \( n \in \mathbb{N} \), queremos mostrar que \( 6 | n(n+1)(n+5) \). Podemos observar que, dentre os três números \( n, n+1 \) e \( n+5 \), pelo menos um deles será divisível por 2 e outro será divisível por 3, já que estamos multiplicando três números consecutivos. Portanto, o produto \( n(n+1)(n+5) \) será divisível por 2 e por 3, o que implica que é divisível por 6. b) Se \( n \) é ímpar, então \( n+1 \) e \( n+5 \) serão pares. Como um dos números pares será múltiplo de 4, o produto \( n(n+1)(n+5) \) será divisível por 8. Além disso, como um dos números pares será múltiplo de 3, o produto também será divisível por 3. Assim, o produto será divisível por 24, e como é par, também será divisível por 12. c) Se \( n \) é da forma \( n = 4k + 3 \), então \( n \) é congruente a 3 módulo 4. Nesse caso, \( n+1 \) será congruente a 0 módulo 4 e \( n+5 \) será congruente a 2 módulo 4. Como \( n \) é congruente a 3 módulo 4, \( n(n+1)(n+5) \) será divisível por 4. Além disso, um dos números \( n, n+1 \) e \( n+5 \) será divisível por 3, então o produto também será divisível por 3. Como um dos números será múltiplo de 8, o produto será divisível por 8. Assim, o produto será divisível por 96. Portanto, as demonstrações para as alternativas a), b) e c) estão corretas.