Grátis: Queremos mostrar que 5 | n(n4 − 1). Quando n ≡ 0 (mod 5), o resultado é evidente. Nos outros casos, mostraremos que 5 | n4− 1. Utilizaremos um pequ... – Questões Respondidas

Álgebra

Outros

Queremos mostrar que 5 | n(n4 − 1). Quando n ≡ 0 (mod 5), o resultado é evidente. Nos outros casos, mostraremos que 5 | n4− 1. Utilizaremos um pequeno truque: o fato de que (−n)4 ≡ n4 (mod 5). Em função disso, é suficiente checar para n ≡ 1 (mod 5) e n ≡ 2 (mod 5): • se n ≡ 1 (mod 5), n4 − 1 ≡ 1− 1 ≡ 0 (mod 5); • se n ≡ 2 (mod 5), n4 − 1 ≡ 16− 1 ≡ 0 (mod 5). Dessa forma, n5 − n é sempre divisível por 5.

Ensinando Através de Questões

ano passado

Ensinando Através de Questões

ano passado

Exercícios com respostas

Exercícios com respostas

IF GOIANO

Respostas

Ed

ano passado

Para mostrar que \(5 | n(n^4 - 1)\), podemos seguir os passos indicados no enunciado: 1. Quando \(n \equiv 0 \pmod{5}\), o resultado é evidente, pois \(n\) é múltiplo de 5. 2. Nos outros casos, mostraremos que \(5 | n^4 - 1\). Utilizando o truque mencionado de que \((-n)^4 \equiv n^4 \pmod{5}\), podemos simplificar a demonstração. 3. Devemos verificar para \(n \equiv 1 \pmod{5}\) e \(n \equiv 2 \pmod{5}\): - Se \(n \equiv 1 \pmod{5}\), então \(n^4 - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{5}\). - Se \(n \equiv 2 \pmod{5}\), então \(n^4 - 1 \equiv 16 - 1 \equiv 0 \pmod{5}\). Portanto, em ambos os casos, \(n^4 - 1\) é divisível por 5. Assim, concluímos que \(n(n^4 - 1)\) é sempre divisível por 5.

Essa resposta te ajudou?

0

0

left-side-bubbles-background

right-side-bubbles-background

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Já tem uma conta?

Ao continuar, você aceita os Termos de Uso e Política de Privacidade

Ainda com dúvidas?

Envie uma pergunta e tenha sua dúvida de estudo respondida!

Essa pergunta também está no material:

Exercícios com respostas

Exercícios com respostas

IF GOIANO

Mais perguntas desse material

Suponhamos, por absurdo, que x e y são dois inteiros tais que x3 − 117y3 = 5. Essa igualdade nos indica, em particular, que x3− 117y3 ≡ 5 (mod 9). Bem, 117 ≡ 0 (mod 9). Logo, isso é o mesmo que x3 ≡ 5 (mod 9). No entanto, um cubo perfeito só pode deixar resto 0, 1 ou −1 quando dividido por 9. Absurdo! Dessa forma, não existem inteiros x e y tais que x3 − 117y3 = 5.

Queremos mostrar que 7 | n(n6 − 1). Quando n ≡ 0 (mod 7), o resultado é evidente. Nos outros casos, mostraremos que 7 | n6− 1. Utilizaremos um pequeno truque: o fato de que (−n)6 ≡ n6 (mod 7). Em função disso, é suficiente checar para n ≡ 1 (mod 7), para n ≡ 2 (mod 7) e para n ≡ 3 (mod 7): • se n ≡ 1 (mod 7), n6 − 1 ≡ 1− 1 ≡ 0 (mod 7); • se n ≡ 2 (mod 7), n6 − 1 ≡ 64− 1 ≡ 0 (mod 7); • se n ≡ 3 (mod 7), n6 − 1 ≡ 36 − 1 ≡ 93 − 1 ≡ 23 − 1 ≡ 8− 1 ≡ 0 (mod 7). Dessa forma, n7 − n é sempre diviśıvel por 7.

Suponhamos que o primo p é tal que 8p− 1 também é primo. Se p = 3, 8p + 1 = 25 é composto. Consideremos, então, daqui para a frente, que p 6= 3. Temos p 6≡ 0 (mod 3) e 8p − 1 6≡ 0 (mod 3) ⇐⇒ −p − 1 6≡ 0 (mod 3) ⇐⇒ p 6≡ −1 (mod 3). Logo, p ≡ 1 (mod 3). Assim, 8p + 1 ≡ 1 + 2 = 3 ≡ 0 (mod 3) e, portanto, 8p + 1 não pode ser primo.

14. Entendamos, antes de mais nada, qual o nosso objetivo. Queremos mostrar que a fração é irredut́ıvel. Mas o que isso significa? Mostrar que uma fração é irredut́ıvel é o mesmo que mostrar que o numerador e o denominador não têm fator primo em comum. Por exemplo: a fração 5/3 é irredut́ıvel, porque 5 e 3 não têm nenhum fator primo em comum. Por outro lado, a fração 10/6 não é irredut́ıvel, já que tanto 10 quanto 6 são diviśıveis por 2 (10 e 6 têm o fator primo 2 em comum). O que devemos fazer, então, é mostrar que, seja qual for o número natural n, 21n + 4 e 14n + 3 não têm fator primo em comum.

Por absurdo, que não é um número natural tal que 21n + 4 e 14n + 3 têm um fator primo em comum. Chamemos esse fator primo de p. Na prática, então, estamos supondo que existem um natural n e um primo p tais que 21n + 4 ≡ 0 (mod p) e 14n + 3 ≡ 0 (mod p), e queremos chegar a uma contradição. Multiplicando a primeira congruência por 2 e a segunda por 3, ficamos com 42n + 8 ≡ 0 (mod p) e 42n + 9 ≡ 0 (mod p). A primeira é equivalente a 42n ≡ −8 (mod p). A segunda, a 42n ≡ −9 (mod p). Dessa forma, temos −8 ≡ −9 (mod p) ⇐⇒ 9 − 8 ≡ 0 (mod p) ⇐⇒ 1 ≡ 0 (mod p). Absurdo, pois não existe número primo que divida 1!

Queremos mostrar que 7 | n(n6 − 1). Quando n ≡ 0 (mod 7), o resultado é evidente. Nos outros casos, mostraremos que 7 | n6− 1. Utilizaremos um pequeno truque: o fato de que (−n)6 ≡ n6 (mod 7). Em função disso, é suficiente checar para n ≡ 1 (mod 7), para n ≡ 2 (mod 7) e para n ≡ 3 (mod 7): • se n ≡ 1 (mod 7), n6 − 1 ≡ 1− 1 ≡ 0 (mod 7); • se n ≡ 2 (mod 7), n6 − 1 ≡ 64− 1 ≡ 0 (mod 7); • se n ≡ 3 (mod 7), n6 − 1 ≡ 36 − 1 ≡ 93 − 1 ≡ 23 − 1 ≡ 8− 1 ≡ 0 (mod 7). Dessa forma, n7 − n é sempre divisível por 7.

Suponhamos que o primo p é tal que 8p− 1 também é primo. Se p = 3, 8p + 1 = 25 é composto. Consideremos, então, daqui para a frente, que p ≠ 3. Temos p 6≡ 0 (mod 3) e 8p − 1 6≡ 0 (mod 3) ⇐⇒ −p − 1 6≡ 0 (mod 3) ⇐⇒ p 6≡ −1 (mod 3). Logo, p ≡ 1 (mod 3). Assim, 8p + 1 ≡ 1 + 2 = 3 ≡ 0 (mod 3) e, portanto, 8p + 1 não pode ser primo.