Vamos analisar a função dada: \[ f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} \text{ para } (x, y) \neq (0, 0) \] \[ f(0, 0) = 0 \] Para determinar as propriedades da função em (0, 0), precisamos verificar a continuidade e a existência das derivadas parciais. 1. Continuidade em (0, 0): Para que a função seja contínua em (0, 0), precisamos que o limite de \( f(x, y) \) quando \( (x, y) \) se aproxima de (0, 0) seja igual a \( f(0, 0) = 0 \). Calculando o limite: \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} \] Usando coordenadas polares, onde \( x = r \cos(\theta) \) e \( y = r \sin(\theta) \): \[ \frac{r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r^2} = \cos(\theta) \sin(\theta) \] O limite depende de \( \theta \), portanto, não existe. Logo, \( f \) não é contínua em (0, 0). 2. Derivadas parciais: Para calcular as derivadas parciais em (0, 0), usamos a definição: \[ \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0 \] As derivadas parciais existem e são iguais a 0. 3. Diferenciabilidade: Para que a função seja diferenciável em (0, 0), ela deve ser contínua nesse ponto, o que não é o caso. Agora, analisando as alternativas: (a) Existe ∂f(0, 0) / ∂x mas não existe ∂f(0, 0) / ∂y. (Incorreta, ambas existem) (b) As derivadas parciais de f não existem no ponto (0, 0). (Incorreta, ambas existem) (c) f é diferenciável em (0, 0) e a linearização em torno de (0, 0) é a função L(x, y) = 0. (Incorreta, não é diferenciável) (d) f é contínua em (0, 0). (Incorreta, não é contínua) (e) f não é diferenciável em (0, 0). (Correta, pois não é contínua) Portanto, a alternativa correta é: (e) f não é diferenciável em (0, 0).