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Análise Matemática

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Observe a seguinte informação:

Seja f:R→Rf:R→R uma função dada por:f(x)={ 2x+1,x≠1kx=1f(x)={ 2x+1,x≠1kx=1

Considerando a informação dada e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre limite e continuidade, assinale a única alternativa correta.

A Se k=2k=2, então a função f(x)f(x) é contínua em x=1x=1.
B O limite lateral de f(x)f(x) quando xx tende a 1 pela direita é igual a 22.
C limx→1f(x)=5
D Se tivermos k=3k=3 então f(x)f(x) será contínua em x=1x=1.
E Se k=0k=0, então, f(x)f(x) é contínua em x=1x=1.
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Análise Matemática 2
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UNINTA

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há 4 meses

Para analisar a continuidade da função \( f(x) \) em \( x = 1 \), precisamos verificar o limite da função quando \( x \) se aproxima de 1 e compará-lo com o valor da função em \( x = 1 \). A função é definida como: \[ f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{se } x \neq 1 \\ k & \text{se } x = 1 \end{cases} \] 1. Cálculo do limite quando \( x \) tende a 1: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3 \] 2. Condições de continuidade: A função \( f(x) \) será contínua em \( x = 1 \) se: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = k \] Portanto, para que a função seja contínua em \( x = 1 \), precisamos que \( k = 3 \). Agora, vamos analisar as alternativas: A) Se \( k = 2 \), então a função \( f(x) \) é contínua em \( x = 1 \). (Incorreta, pois \( k \) deve ser 3) B) O limite lateral de \( f(x) \) quando \( x \) tende a 1 pela direita é igual a 2. (Incorreta, o limite é 3) C) \( \lim_{x \to 1} f(x) = 5 \). (Incorreta, o limite é 3) D) Se tivermos \( k = 3 \), então \( f(x) \) será contínua em \( x = 1 \). (Correta, pois \( k \) deve ser 3 para continuidade) E) Se \( k = 0 \), então \( f(x) \) é contínua em \( x = 1 \). (Incorreta, pois \( k \) deve ser 3) Portanto, a alternativa correta é: D) Se tivermos \( k = 3 \), então \( f(x) \) será contínua em \( x = 1.

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ano passado

Analisando a função dada f(x)={ 2x+1, x≠1; k, x=1, podemos verificar as propriedades de continuidade e limite em x=1. Para a função ser contínua em x=1, os limites laterais devem ser iguais ao valor da função nesse ponto. Analisando as alternativas: A) Se k=2, então a função f(x) é contínua em x=1 - Como a função é definida como k em x=1, para ser contínua, o valor de k deve ser igual a 3, não 2. Portanto, esta afirmação está incorreta. B) O limite lateral de f(x) quando x tende a 1 pela direita é igual a 2 - Para x→1⁺, temos f(x) = 2x+1, então o limite lateral é 2(1)+1 = 3, não 2. Portanto, esta afirmação está incorreta. C) limx→1 f(x) = 5 - Para x≠1, f(x) = 2x+1, então limx→1 f(x) = 2(1)+1 = 3, não 5. Portanto, esta afirmação está incorreta. D) Se k=3, então f(x) será contínua em x=1 - Com k=3, a função será f(x) = 2x+1 para x≠1 e f(1) = 3, o que torna a função contínua em x=1. Portanto, esta afirmação está correta. E) Se k=0, então f(x) é contínua em x=1 - Com k=0, a função será f(x) = 2x+1 para x≠1 e f(1) = 0, o que não torna a função contínua em x=1. Portanto, esta afirmação está incorreta. Assim, a única alternativa correta é a letra D) Se k=3, então f(x) será contínua em x=1.

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Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre os conceitos topológicos, assinale a alternativa que melhor define, de maneira informal, ponto de acumulação de um conjunto.

A É um ponto de um conjunto que é simultaneamente fechado e limitado.
B É um ponto do conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem a ele.
C É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto.
D É um ponto que é limite de uma sequência de elementos do conjunto.
E É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele.

Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I. ( ) Dizemos que uma função X→RX→R é derivável em XX quando é derivável em todos os pontos de xx pertencentes a XX.
II. ( ) Sejam X⊂RX⊂R, f:X→Rf:X→R e x0x0 um ponto de acumulação de XX pertencente ao conjunto XX. Assim a função ff é derivável no ponto x0x0 quando existe o limite a seguir: f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
III. ( ) Informalmente podemos dizer que a noção geométrica da derivada f′(x0)f′(x0) é a inclinação da reta tangente à função ff no ponto x0x0.
Agora marque a sequência correta:
I. Dizemos que uma função X→RX→R é derivável em XX quando é derivável em todos os pontos de xx pertencentes a XX.
II. Sejam X⊂RX⊂R, f:X→Rf:X→R e x0x0 um ponto de acumulação de XX pertencente ao conjunto XX. Assim a função ff é derivável no ponto x0x0 quando existe o limite a seguir: f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
III. Informalmente podemos dizer que a noção geométrica da derivada f′(x0)f′(x0) é a inclinação da reta tangente à função ff no ponto x0x0.
A F – F – F
B F – V – V
C V – V – F
D F – V – F
E V – V – V

as afirmativas verdadeiras e F para as
afirmativas falsas.

I. ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2]X={1}∪[32 , 2].
II. ( ) O conjunto X={n | n∈N}X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação.
III. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de acumulação do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}.
IV. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}.

Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
I. ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2]X={1}∪[32 , 2].
II. ( ) O conjunto X={n | n∈N}X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação.
III. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de acumulação do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}.
IV. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}.
A V-V-F-V
B F-F-V-V
C V-F-F-V
D V-F-V-F
E F-V-V-V

Considere as funções f,g:R→Rf,g:R→R dadas por f(x)=exf(x)=ex e g(x)=3xg(x)=3x e seja a função composta (f∘g)(x)=e3x(f∘g)(x)=e3x.

De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito das derivadas, podemos concluir que a derivada da função composta dada é:

A (f∘g)′(x)=3ex+2ex
B (f∘g)′(x)=3ex+2e2x
C (f∘g)′(x)=e3x2+2
D (f∘g)′(x)=3e3x
E (f∘g)′(x)=(3x2)ex

Observe a seguir o gráfico da função f:X→Rf:X→R, dada por f(x)=x−2x2−1f(x)=x−2x2−1, onde X=R−{−1,1}X=R−{−1,1}:

Observando o gráfico da função f(x)=x−2x2−1f(x)=x−2x2−1 e considerando os conteúdos do livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir.

I. Para todo ε>0ε>0, é possível encontrar δ>0δ>0 tal que x∈Xx∈X e 0<|x−2|<δ0<|x−2| <δ impliquem |f(x)|<ε|f(x)|<ε.
II. limx→∞f(x)=+∞limx→∞f(x)=+∞
III. Podemos dizer que quando xx se aproxima de 11 pela esquerda a função f(x)f(x) tende a +∞+∞.
IV. limx→−1+f(x)=+∞limx→−1+f(x)=+∞
V. Podemos dizer que não existe o limite de f(x)f(x) quando xx se aproxima de 1 porque 1 não é ponto de acumulação do conjunto XX.

São corretas apenas as afirmativas:
I. Para todo ε>0ε>0, é possível encontrar δ>0δ>0 tal que x∈Xx∈X e 0<|x−2|<δ0<|x−2| <δ impliquem |f(x)|<ε|f(x)|<ε.
II. limx→∞f(x)=+∞limx→∞f(x)=+∞
III. Podemos dizer que quando xx se aproxima de 11 pela esquerda a função f(x)f(x) tende a +∞+∞.
IV. limx→−1+f(x)=+∞limx→−1+f(x)=+∞
V. Podemos dizer que não existe o limite de f(x)f(x) quando xx se aproxima de 1 porque 1 não é ponto de acumulação do conjunto XX.
A I, II e V
B II, III e IV
C III e IV
D I, III e IV
E I, IV e V

Atente para o seguinte excerto de texto:

“A exclusão do ponto x=ax=a na definição de limite é natural, pois o limite LL nada tem a ver com o valor f(a)[...]f(a)[...]. O conceito de limite é introduzido para caracterizar o comportamento da função f(x)f(x) nas proximidades do valor aa, porém mantendo-se sempre diferente de aa. Assim, podemos mudar o valor da função no ponto como quisermos, sem que isso mude o valor do limite, e é assim mesmo que deve ser. Agora, se a função já está definida em aa, e seu valor aí coincide com seu limite, então ocorrerá a continuidade do ponto”.

Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:

ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para licenciatura. 3 ed. ver. e ampl. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. p. 143.

Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Limite e continuidade, analise as afirmativas a seguir:

I. Se ff é uma função contínua em um ponto x=ax=a do seu domínio, então, ff é limitada numa vizinhança de a.
II. Toda função que é limitada superiormente e inferiormente é contínua.
III. Se existe o limite de uma função f(x)f(x) quando xx se aproxima de um ponto aa, então, ff é contínua no ponto aa.
IV. Se uma função possui limites laterais iguais em um ponto x=ax=a, então existe o limite bilateral de f(x)f(x) quando x=ax=a.

São corretas as alternativas:
I. Se ff é uma função contínua em um ponto x=ax=a do seu domínio, então, ff é limitada numa vizinhança de a.
II. Toda função que é limitada superiormente e inferiormente é contínua.
III. Se existe o limite de uma função f(x)f(x) quando xx se aproxima de um ponto aa, então, ff é contínua no ponto aa.
IV. Se uma função possui limites laterais iguais em um ponto x=ax=a, então existe o limite bilateral de f(x)f(x) quando x=ax=a.
A I e II apenas
B I, III e IV apenas
C I e IV apenas

Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Limite a continuidade, analise as afirmacoes a seguir e marque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas.
I. ( ) limx→1+f(x)=2
II. ( ) limx→1f(x)=f(1)
III. ( ) ∃ ̸limx→1f(x)∄limx→1f(x)
IV. ( ) limx→1f(x)=2
V. ( ) f(1)=0

A F – F – V – F – V
B F – V – V – V – F
C V – F – F – F – V
D V – F – F – V – V
E V – V – F – F – F

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