Análise Matemática

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Se X ⊂ Rm é compacto, então toda aplicação cont́ınua aberta f : X → Sn é sobrejetiva.

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Solução Curso de Análise volume 2 capitulo 1

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A afirmação "Se \( X \subset \mathbb{R}^m \) é compacto, então toda aplicação contínua aberta \( f: X \to S^n \) é sobrejetiva" é verdadeira. Aqui está o raciocínio passo a passo: 1. Compactação: Um conjunto compacto em \( \mathbb{R}^m \) é fechado e limitado. Isso implica que ele é "pequeno" o suficiente para que certas propriedades se mantenham. 2. Aplicação Contínua Aberta: Uma aplicação contínua aberta é aquela que mapeia conjuntos abertos em conjuntos abertos. Isso significa que a imagem de um conjunto aberto em \( X \) sob \( f \) é um conjunto aberto em \( S^n \). 3. Imagem de um Conjunto Compacto: A imagem de um conjunto compacto sob uma função contínua é compacta. Portanto, \( f(X) \) é compacto em \( S^n \). 4. Propriedades de Conjuntos Compactos: Um conjunto compacto em \( S^n \) é também fechado e limitado. 5. Dimensões: Se \( f \) é uma aplicação contínua aberta de um espaço de dimensão \( m \) (compacto) para um espaço de dimensão \( n \) (a esfera \( S^n \)), e se \( m < n \), a imagem não pode ser densa em \( S^n \), o que contradiria a sobrejetividade. 6. Conclusão: Portanto, se \( f \) é uma aplicação contínua aberta de um conjunto compacto \( X \) em \( S^n \), então \( f(X) \) deve ser igual a \( S^n \), ou seja, \( f \) é sobrejetiva. Assim, a afirmação é verdadeira.

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Se E ⊂ Rn é um subespaço de dimensão m, sua dimensão complementar é n−m.
Existem n−m funcionais lineares f1, f2, . . . , fn−m : Rn → R tais que: E = {x ∈ Rn | f1(x) = f2(x) = · · · = fn−m(x) = 0}.

Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.
Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn.
Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.
Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.
Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.
Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.

Considere em Rm e Rn a norma euclidiana. As seguintes afirmacoes a respeito de uma aplicação linear A : Rm → Rn são equivalentes:
(i) |Ax| = |x| para todo x ∈ Rm;
(ii) |Ax−Ay| = |x− y| para quaisquer x, y ∈ Rm;
(iii) ⟨Ax,Ay⟩ = ⟨x, y⟩ para quaisquer x, y ∈ Rm;
(iv) Todo conjunto ortonormal em Rm é transformado por A num conjunto ortonormal em Rn;
(v) A∗A = Im (aplicação identidade de Rm);
(vi) As colunas da matriz de A formam um conjunto ortonormal em Rn.

Se A é ortogonal então det(A) = ±1.

Dados os números reais a, b, c, a fim de que exista em R2 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = a, ⟨e1, e2⟩ = ⟨e2, e1⟩ = b e ⟨e2, e2⟩ = c, é necessário e suficiente que a > 0 e ac > b2.

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Existem n−m funcionais lineares f1, f2, . . . , fn−m : Rn → R tais que: E = {x ∈ Rn | f1(x) = f2(x) = · · · = fn−m(x) = 0}.

Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.
Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn.
Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.
Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.
Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.
Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.

Se A é ortogonal então det(A) = ±1.

Dados os números reais a, b, c, a fim de que exista em R2 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = a, ⟨e1, e2⟩ = ⟨e2, e1⟩ = b e ⟨e2, e2⟩ = c, é necessário e suficiente que a > 0 e ac > b2.

Existe em R3 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = 2, ⟨e2, e2⟩ = 3, ⟨e3, e3⟩ = 4, ⟨e1, e2⟩ = 0 e ⟨e2, e3⟩ = ⟨e1, e3⟩ = 1.

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Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn.Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.

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Existe em R3 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = 2, ⟨e2, e2⟩ = 3, ⟨e3, e3⟩ = 4, ⟨e1, e2⟩ = 0 e ⟨e2, e3⟩ = ⟨e1, e3⟩ = 1.

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Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.
Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn.
Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.
Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.
Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.
Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.