Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes. A fórmula da integração por partes é dada por: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Neste caso, podemos escolher \(u = \log(x)\) e \(dv = x^2 \, dx\). Assim, temos \(du = \frac{1}{x} \, dx\) e \(v = \frac{1}{3}x^3\). Aplicando a fórmula da integração por partes, temos: \[ \int x^2 \log(x) \, dx = \frac{1}{3}x^2 \log(x) - \int \frac{1}{3}x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = \frac{1}{3}x^2 \log(x) - \frac{1}{3} \int x \, dx \] \[ = \frac{1}{3}x^2 \log(x) - \frac{1}{6}x^2 \] Agora, vamos avaliar a integral no intervalo de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1}{3}x^2 \log(x) - \frac{1}{6}x^2 \right]_0^1 = \left( \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 0 - \frac{1}{6} \cdot 1 \right) - \left( \frac{1}{3} \cdot 0 \cdot (-\infty) - \frac{1}{6} \cdot 0 \right) \] \[ = -\frac{1}{6} - 0 = -\frac{1}{6} \] Portanto, o valor da integral \(\int_0^1 x^2 \log(x) \, dx\) é -\(\frac{1}{6}\). A alternativa correta é c) -\(\frac{1}{6}\).