Problema: Determine o valor de \int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx. a) e - 2e + 2 b) e^2 - 2e + 2 c) 2e - e^2 + 2

Para resolver a integral dada, podemos utilizar integração por partes. Vamos calcular passo a passo: \int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx Para integração por partes, vamos considerar u = x^2 e dv = e^x dx. Assim, du = 2x dx e v = e^x. A fórmula de integração por partes é dada por: \int u dv = uv - \int v du. Aplicando a fórmula, temos: \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx Agora, aplicamos novamente a integração por partes para \int 2x e^x \, dx. Vamos considerar u = 2x e dv = e^x dx. Assim, du = 2 dx e v = e^x. Aplicando a fórmula de integração por partes novamente, temos: \int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x e^x - 2 e^x Substituindo de volta na integral original, temos: \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a 1: \int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx = [x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x]_{0}^{1} = (1^2 e^1 - 2*1 e^1 + 2 e^1) - (0^2 e^0 - 2*0 e^0 + 2 e^0) = (e - 2e + 2) - (0 - 0 + 2) = e - 2e + 2 - 2 = e - 2e + 2 Portanto, o valor da integral \int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx é e - 2e + 2, que corresponde à alternativa a).