Problema: Determine o valor de \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}. a) 1 b) 2 c) \frac{1}{2}

Para determinar o valor da série dada, podemos primeiro tentar decompor a expressão em frações parciais. A expressão \frac{1}{n(n+1)} pode ser reescrita como \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}, onde A e B são constantes a serem determinadas. Multiplicando ambos os lados por n(n+1), temos: 1 = A(n+1) + Bn Agora, podemos encontrar os valores de A e B resolvendo o sistema. Para n = 0, temos: 1 = A(1) + B(0) 1 = A A = 1 Para n = -1, temos: 1 = A(0) + B(-1) 1 = -B B = -1 Assim, a decomposição em frações parciais fica: \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} Agora, podemos reescrever a série original: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) Ao simplificar a série, percebemos que muitos termos se cancelam, restando apenas o primeiro termo da série original: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1 Portanto, a alternativa correta é: a) 1.