Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \)? a) \frac{1}{2} b) 1 c) 0 d) -1

Para resolver essa questão, podemos simplificar a expressão dentro do limite utilizando propriedades das raízes. Vamos lá: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \) Podemos multiplicar e dividir por \( \sqrt{1 + x} + 1 \) para racionalizar a expressão: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \times \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + x} + 1} \) Isso nos dá: \( \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) - 1}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} \) Simplificando, obtemos: \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} \) E, por fim: \( \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} \) Agora, substituindo x por 0, temos: \( \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \) Portanto, o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \) é \( \frac{1}{2} \), que corresponde à alternativa a).