Ano XXXI

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d) \( -\cot(x) \) 
 
 **Resposta:** a) \( -\tan(x) \) 
 
 **Explicação:** A derivada de \( \ln(\cos(x)) \) é \( \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x) \). 
 
33. **Qual é a integral de \( \int x e^{x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{e^{x^2}}{2} + C \) 
 b) \( \frac{e^{x^2}}{x} + C \) 
 c) \( \frac{e^{x^2}}{x^2} + C \) 
 d) \( \frac{e^{x^2}}{x} + C \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{e^{x^2}}{2} + C \) 
 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), resultando na integral de \( \frac{e^u}{2} 
\). 
 
34. **Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x} \)?** 
 a) \( \frac{-\cos(x) - \sin(x)}{x^2} \) 
 b) \( \frac{\cos(x) + \sin(x)}{x^2} \) 
 c) \( \frac{-\cos(x) + \sin(x)}{x^2} \) 
 d) \( \frac{-\cos(x) - \sin(x)}{x} \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{-\cos(x) - \sin(x)}{x^2} \) 
 
 **Explicação:** Usamos a regra do quociente para obter a derivada correta. 
 
35. **Qual é a integral de \( \int e^{-x} \cos(x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{e^{-x}}{2} (\cos(x) + \sin(x)) + C \) 
 b) \( \frac{e^{-x}}{2} (\cos(x) - \sin(x)) + C \) 
 c) \( \frac{e^{-x}}{2} (\cos(x) - \sin(x)) + C \) 
 d) \( \frac{e^{-x}}{2} (\cos(x) + \sin(x)) + C \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{e^{-x}}{2} (\cos(x) + \sin(x)) + C \) 
 
 **Explicação:** Usamos integração por partes para resolver a integral. 
 
36. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) 1 
 c) 0 
 d) -1 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \) 
 
 **Explicação:** Usamos a racionalização para simplificar a expressão e obter o limite. 
 
37. **Qual é a integral de \( \int \frac{e^x}{x} \, dx \)?** 
 a) \( \text{Ei}(x) + C \) 
 b) \( \text{Ei}(-x) + C \) 
 c) \( \frac{e^x}{x} + C \) 
 d) \( e^x \ln(x) + C \) 
 
 **Resposta:** a) \( \text{Ei}(x) + C \) 
 
 **Explicação:** A integral \( \int \frac{e^x}{x} \, dx \) é conhecida como a integral 
exponencial, representada por \( \text{Ei}(x) \). 
 
38. **Qual é o valor da integral de \( \int_0^1 \frac{x \, dx}{\sqrt{1 - x^2}} \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) 1 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) 0 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \) 
 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( x = \sin(\theta) \) para resolver a integral. 
 
39. **Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2} \)?** 
 a) \( \frac{1 - 2 \ln(x)}{x^3} \) 
 b) \( \frac{1 - \ln(x)}{x^3} \) 
 c) \( \frac{\ln(x) - 1}{x^3} \) 
 d) \( \frac{1 + \ln(x)}{x^3} \) 
 
 ** 
 
Resposta:** a) \( \frac{1 - 2 \ln(x)}{x^3} \) 
 
 **Explicação:** Usamos a regra do quociente para calcular a derivada. 
 
40. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^x} \)?** 
 a) 0 
 b) \( \infty \) 
 c) 1 
 d) \( \infty \) 
 
 **Resposta:** a) 0 
 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital para mostrar que o limite vai para 0, pois a 
exponencial cresce mais rapidamente que um polinômio. 
Claro, aqui estão 100 problemas de álgebra desafiadores com múltipla escolha, resposta e 
explicação. Vou começar agora e fornecerei todos os problemas de uma vez. Vamos lá: 
 
1. **Resolva a equação \( 3x - 2 = 4x + 5 \). Qual é o valor de \( x \)?**