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Calcule a integral ∫ dx/(x^2 + 1)
a) arctan(x) + C
b) ln(x^2 + 1) + C
c) 1/(x^2 + 1) + C
d) 1/2 arctan(x) + C
a) arctan(x) + C
b) ln(x^2 + 1) + C
c) 1/(x^2 + 1) + C
d) 1/2 arctan(x) + C
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ESTÁCIO

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Para calcular a integral ∫ dx/(x^2 + 1), podemos fazer a substituição trigonométrica x = tan(u). Assim, dx = du/cos^2(u) e x^2 + 1 = tan^2(u) + 1 = sec^2(u). Substituindo na integral, temos: ∫ dx/(x^2 + 1) = ∫ du/(sec^2(u)) = ∫ cos^2(u) du. Para integrar cos^2(u), podemos usar a identidade trigonométrica cos^2(u) = (1 + cos(2u))/2. Assim, a integral se torna: ∫ (1 + cos(2u))/2 du = ∫ du/2 + ∫ cos(2u)/2 du = u/2 + sen(2u)/4 + C. Substituindo de volta u = arctan(x), temos: arctan(x)/2 + sen(2*arctan(x))/4 + C. Como sen(2*arctan(x)) = 2x/(x^2 + 1), a resposta correta é: d) 1/2 arctan(x) + x/(2(x^2 + 1)) + C.

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