65. Calcule \( \int_0^1 (1 + x^2)^{\frac{1}{2}} \, dx \). A) \( \frac{3}{5} \) B) \( \frac{2}{3} \) C) \( \frac{1}{2} \) D) \( \frac{2}{5} \)

Para resolver a integral dada \( \int_0^1 (1 + x^2)^{\frac{1}{2}} \, dx \), podemos fazer a substituição trigonométrica \( x = \sin(\theta) \), então \( dx = \cos(\theta) \, d\theta \). Assim, a integral se torna \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin^2(\theta))^{\frac{1}{2}} \cos(\theta) \, d\theta \). Usando a identidade trigonométrica \( 1 + \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta) \), a integral se simplifica para \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) \, d\theta \). Aplicando a fórmula de redução de potência para o cosseno, temos \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta \). Integrando termo a termo, obtemos \( \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} \Bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} \). Substituindo os limites de integração, chegamos a \( \frac{\pi}{4} \). Portanto, a resposta correta é: C) \( \frac{1}{2} \).