Para calcular a carga total em um hemisfério com a densidade volumétrica de carga dada por \( \rho(r) = K e^{-ar}/r^2 \), você pode seguir os seguintes passos: 1. Defina a carga total \( Q \): A carga total em um hemisfério é dada pela integral da densidade de carga sobre o volume do hemisfério. 2. Volume do hemisfério: O volume de um hemisfério de raio \( R \) é \( V = \frac{2}{3} \pi R^3 \). 3. Integral da densidade de carga: A carga total \( Q \) pode ser expressa como: \[ Q = \int_V \rho(r) \, dV \] onde \( dV \) é o elemento de volume em coordenadas esféricas, que é \( dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \). 4. Limites da integral: Para um hemisfério, os limites são: - \( r \) de \( 0 \) a \( R \) - \( \theta \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \) - \( \phi \) de \( 0 \) a \( 2\pi \) 5. Cálculo da integral: \[ Q = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^R K e^{-ar}/r^2 \cdot r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \] Simplificando, você terá: \[ Q = K \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \, d\theta \int_0^R e^{-ar} \, dr \] 6. Resolvendo as integrais: - A integral em \( \phi \) resulta em \( 2\pi \). - A integral em \( \theta \) resulta em \( 1 \) (já que \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \, d\theta = 1 \)). - A integral em \( r \) é: \[ \int_0^R e^{-ar} \, dr = \left[-\frac{1}{a} e^{-ar}\right]_0^R = \frac{1}{a} (1 - e^{-aR}) \] 7. Resultado final: \[ Q = 2K\pi \cdot 1 \cdot \frac{1}{a} (1 - e^{-aR}) = \frac{2K\pi}{a} (1 - e^{-aR}) \] Portanto, a carga total no hemisfério é: \[ Q = 2K\pi \left(1 - e^{-aR}\right) \] Limites do resultado: Quando \( a \) tende a zero, a densidade de carga se torna constante, e a carga total se aproxima de \( \frac{2K\pi R^3}{3} \), que é a carga total de um hemisfério com densidade constante. Quando \( R \) tende a infinito, a carga total também tende a um valor que depende de \( K \) e \( a \).