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Lema 3.55. Seja F |K uma extensão algébrica e separável. Seja M um corpo intermediário. Então, M |K e L|K são separáveis.

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A afirmação apresentada é um teorema sobre extensões de corpos na teoria de corpos. Vamos analisar as alternativas: a) V - F - F - V. b) F - V - V - F. c) V - V - F - F. d) F - F - V - V. Analisando a afirmação dada, podemos ver que o teorema afirma que se F |K é uma extensão algebrica e separável, e M é um corpo intermediário, então M |K e L|K são separáveis. Portanto, a sequência correta é: c) V - V - F - F.

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gerado por g. 8 CAPÍTULO 1. GRUPOS Exemplo D8 = 〈α, β〉, onde α = Rπ/2 = ( 1 2 3 4 2 3 4 1 ) e β = R3 ( 1 2 3 4 4 3 2 1 ) . Exemplo Seja G um grupo. O subgrupo 〈{xyx−1y−1}〉 é o subgrupo dos comutadores de G, comumente denotado por G′. Observe que G é abeliano, se e somente se, G′ = {e}. 1.4 Classes Laterais e Teorama de Lagrange Proposição 1.12. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. A relação em G definida por x ≡ y (modH)⇔ xy−1 ∈ H( lê-se: x é congruente a y módulo H) é uma relação de equivalência. Dem: Seja x̄ a classe de equivalência de x ∈ G. Então: x̄ = {y ∈ G; y ≡ x (modH)} = {y ∈ G : yx−1 ∈ H} = {hx : h ∈ H} := Hx. Chamamos Hx, para x ∈ G, classe lateral à direita de H em G. Representamos o conjunto quociente de todas as classes laterais à direita de H em G por G/H, isto é, G/H = {Hx;x ∈ G}. Observe que Hx = Hy, se e somente se, xy−1 ∈ H. Definição 1.13. A cardinalidade do conjunto G/H é chamada ı́ndice de H em G e será denotado por (G : H) ou iG(H). Exemplos: 1. H = Z.m = {km : k ∈ Z} ≤ (Z,+) e G/H = Zm. 2. Seja G = {f : R→ R; f(x) = ax+ b, a, b ∈ R e a 6= 0}, com a composição de funções e seja H o conjunto das retas no plano com coeficiente angular 1. Então G/H = {f̄ : f(x) = ax; a 6= 0} é um subgrupo de G. 3. Se G = Q e H = Z, então G/H = {a; a ∈ Q e 0 ≤ a < 1}. Observação 1.14. Podemos também definir em G a relação de equivalência x ≡ y (modH)⇔ y−1x ∈ H. Neste caso, as classes de equivalências serão chamadas classes laterais à esquerda de H em G e serão denotadas por xH = {xh : h ∈ H}, para todo x ∈ G. 1.4. CLASSES LATERAIS E TEORAMA DE LAGRANGE 9 Exemplo: Seja D8 o grupo das simetrias espaciais de um quadrado e seja H = {id,R1}. Temos que HRπ/2 = {Rπ/2, RN} 6= {Rπ/2, RM} = Rπ/2H. Isto mostra que num grupo não abeliano, a classe de x à direita pode ser diferente da classe de x à esquerda. Observação 1.15. Dado H ≤ G, a função f : {Hx;x ∈ G} → {xH;x ∈ G}, definida por f(Hx) = xH é uma bijeção. Logo, o ı́ndice de H em G, (G : H), independe das classes laterais serem à direita ou à esquerda de H. Teorema 1.16. (Lagrange) Se G for um grupo finito e H for um subgrupo de G, então |H| é um divisor de |G|. Segue do Teorema de Lagrange que se G tiver ordem finita, então |G| = |H|(G : H). Definição 1.17. Sejam G um grupo e g ∈ G. A ordem ou peŕıodo de g, denotada por |g| ou por O(g), é o menor inteiro positivo n tal que gn = e. Se tal inteiro não existir, diremos que a ordem de g é infinita. Exerćıcio 1.18. Seja g 6= e um elemento do grupo G. Mostre que: i) Se O(g) <∞ e gm = e, então O(g)|m. ii) O(g) = |〈g〉|. iii) O(g−1) = O(g); iv) Se O(g) = mn, então O(gn) = m; Corolário 1.19. Seja G um grupo finito e seja g ∈ G. Então, O(g) | |G|. Dem: 10 CAPÍTULO 1. GRUPOS Corolário 1.20. Sejam G um grupo finito e g ∈ G. Então, gO(G) = e. Corolário 1.21. Todo grupo finito de ordem prima é ćıclico (em particular é abeliano). Corolário 1.22. Todo grupo finito tal que |G| ≤ 5 é abeliano. Proposição 1.23. Sejam G um grupo e K < H < G. Então (G : K) = (G : H)(H : K). Observação: A rećıproca do Teorema de Lagrange é falsa! Por exemplo, A4 ≤ S4 de ordem 12 que não tem subgrupos de ordem 6. 1.5. SUBGRUPOS NORMAIS E GRUPO QUOCIENTE 11 De fato, Se H fosse um subgrupo de A4 de ordem 6, então (G : H) = 2 o que implicaria que para todo a ∈ A4 teŕıamos no máximo dois dos seguintes conjuntos: H, aH e a2H distintos. Mas, para a ∈ A4 de ordem 3, isto implicaria a ∈ H (verifique!). Como A4 tem oito elementos de ordem 3, a saber os oito 3-ciclos, H teria oito elementos de ordem 3. Absurdo!!! 1.5 Subgrupos Normais e Grupo Quociente Dados G um grupo e H um subgrupo de G, o conjunto quociente G/H não tem uma estrutura natural de grupo pois HgHx := Hgx, ∀x, g ∈ G, em geral não está bem definida. Para que isto aconteça é necessário e suficiente que gHg−1 := {ghg−1;h ∈ H} ⊂ H, ∀g ∈ G. Definição 1.24. Um subgrupo H é um subgrupo normal de G se gHg−1 := {ghg−1;h ∈ H} ⊂ H, ∀g ∈ G. Notação para subgrupos normais: H / G. Lema 1.25. Seja H um subgrupo de G. Então, gHg−1 ⊂ H, ∀ g ∈ G⇔ gHg−1 = H, ∀g ∈ G⇔ gH = Hg, ∀g ∈ G. Exemplos: 1. Sejam G = {f : R→ R; f(x) = ax+ b, a, b ∈ R e a 6= 0}, e H = {g : R→ R; g(x) = x+ d, d ∈ R}. Então H é um subgrupo normal de G. 2. Sejam G = S3, f1 = ( 1 2 3 2 3 1 ) ∈ S3 e H = 〈f1〉. Então é um subgrupo normal de G. 3. Se (G : H) = 2, então H é um subgrupo normal de G. 4. Z(G) é um subgrupo normal de G. Mais geralmente, se H ⊂ Z(G) então H / G. 5. Se G for um grupo abeliano, todo subgrupo H é normal em G. 6. No grupo dos quatérnios Q8 todo subgrupo é normal, mas Q8 nao é abeliano. Mostre!. Proposição 1.26. Sejam G um grupo e N um subgrupo normal de G. O conjunto quociente G/N com a operação definida por Nx.Ny = N(x.y); ∀ x, y ∈ G é um grupo. Exerćıcio: Sejam G um grupo e H um subgrupo normal de G. Então: 1. Se G for abeliano, G/H é abeliano. 2. Se G for ćıclico, G/H é ćıclico. Exerćıcio: Sejam G um grupo e G′ o seu subgrupo dos comutadores. Então: 1. G/G′ é abeliano. 2. G′ é o menor subgrupo normal de G com esta propriedade, isto é, se H / G for tal que G/H é abeliano, então H ⊃ G′. Proposição 1.27. Sejam H e K subgrupos do grupo G. Se H ou K for um subgrupo normal de G, então HK é um subgrupo de G. Corolário 1.28. Sejam H e K subgrupos normais

Teorema 1.86. Toda permutação τ ∈ Sn com τ 6= e pode ser escrito de forma única (a menos da ordem) como produto de ciclos disjuntos de tamanho maior ou igual a 2.

Seja N um subgrupo normal de G. Mostre que todo subgrupo de G/N é da forma K/N tal que K é subgrupo de G contendo N. Além disso, K/N é normal em G se e somente se K for normal em G.

Seja A = {f : R → R; f é uma função} com a soma e o produto usuais de funções. O subconjunto B = {f ∈ A; f(0) = 0} é um subanel de A.

Exerćıcio: Sejam D um domı́nio de integridade e a, b ∈ D. Mostre que dois máximos divisores comuns de a e b em D são associados.

Teorema 2.108. Seja A um anel comutativo com unidade e sejam f(x) e g(x) polinômios em A[x]. Se o coeficiente líder de g(x) for invertível em A, existem únicos q(x) e r(x) ∈ A[x] tais que f(x) = g(x)q(x) + r(x) e r(x) = 0 ou ∂(r(x)) < ∂(g(x)).

Teorema 2.110. Seja K um corpo. Então, K[x] é um domínio de ideais principais, isto é, todo ideal de K[x] é principal.

Teorema 2.114. (Existência do mdc) Seja K um corpo. Dados p(x), q(x) ∈ K[x]− {0}, seja I = 〈p(x), q(x)〉, o ideal em K[x] gerado por p(x) e q(x). Então são válidas as seguintes afirmacoes: 1. existe d(x) ∈ K[x] tal que I = 〈d(x)〉; 2. d(x) é um máximo divisor comum de p(x) e q(x); 3. existem a(x), b(x) ∈ k[x] tais que d(x) = p(x)a(x) + q(x)b(x).

Proposição 2.115. Sejam A um anel comutativo com unidade, p(x) ∈ A[x] e α ∈ A. Então p(α) = 0 se e somente se existe q(x) ∈ A[x] tal que p(x) = (x− α)q(x).

10. Seja f(x, y) o polinômio do item anterior. Seja g(x, y) = (x2 − 2)f(x, y). prove que g(x, y) é irredut́ıvel em Q[x, y], mas n ao em Z[x, y].

14. Seja D um domı́nio de integridade. Sejam α ∈ D× e β ∈ D.
(a) A aplicação T : D[x]→ D[x] dada por T (f(x)) = f(αx+ β) é um isomorfismo de anéis.
(b) deg f(αx+ β) = deg f(x) para todo f(x) ∈ D[x]
{0}.
(c) f(x) é irredut’ivel sobre D se e somente se f(αx+ β) é irredut́ıvel sobre D.
(d) Se, mais ainda, D for fatorial, ent ao c(f(x)) = c(f(αx+ β)) para todo f(x) ∈ D[x]
{0}.

31. Sejam K um corpo e f(x) ∈ K[x] irredut́ıvel. Então existe uma extensão F = K(u) de K tal que f(u) = 0 e [F : K] = deg(f(x)). Além disso K(u) é único a menos de K-isomorfismo.

61. Corolário 3.32. Se f(x) ∈ K[x]−K, onde K é um corpo, então existe uma extensão finita F de K onde f(x) possui uma raiz. Além disso, [L : K] < deg(f(x)).

Exemplo 3.35. Sejam f(x) ∈ K[x] e α1, . . . , αn as distintas ráızes de f(x) em C. Consideremos K ⊂ K1 = K(α1) ⊂ K2 = K1(α2) ⊂ K3 = K2(α3) ⊂ . . . ⊂ Kn = Kn−1(αn) Claramente, Ki é o menor subcorpo de C contendo K e α1, . . . , αi e, portanto, Kn é o corpo de decomposição de f . Assim, o processo de adjunção de ráızes é eficiente para encontrar o corpo de decomposição de f .

Lema 3.42. Se F |K é uma extensão finita se e somente se F |K é algébrica e existe um número finito de elementos α1, . . . , αn tais que F = K(α1, . . . , αn)

Definição 3.44. Um polinômio irredut́ıvel f(x) sobre K é dito separável sobre K se f(x) não possui ráızes múltiplas em um corpo de decomposição, isto é, em qualquer corpo de decomposição, temos f(x) = c(x− α1) . . . (x− αn), onde os αi são distintos. Caso contrário, f(x) é dito inseparável sobre K.

Definição 3.47. Seja K corpo. Seja f(x) = a0 +a1x+a2x 2 + . . .+anx n ∈ K[x]. Definimos a derivada formal de f(x) como Df(x) = a1 + 2a2x+ . . .+ nanx n−1.

Exerćıcio 3.49. Um polinômio f(x) ∈ K[x]
{0} possui uma raiz múltipla em um corpo de decomposição se e somente se f(x) e Df(x) possuem um fator comum de grau ≥ 1 em K[x].

Exemplo 3.51. Seja p primo. O corpo Zp tem caracteŕıstica p e os irredut́ıveis em Zp[x] são separáveis.

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