Algebra Avançada

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Notas de Aula de
A´lgebra Avanc¸ada
vera˜o de 2019
Suma´rio
1 Grupos 4
1.1 Definic¸o˜es e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Subgrupo gerado por um subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Classes Laterais e Teorama de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Subgrupos Normais e Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Homomorfismos de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Ac¸a˜o de um grupo em um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.1 Teoremas se Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Um pouco mais sobre grupos sime´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Ane´is 31
2.1 Ane´is, domı´nios e corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Definic¸o˜es e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Propriedades de um anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.3 Carcater´ıstica de um anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.4 Subane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.5 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.6 Anel quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.7 Homomorfismos de ane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Ane´is Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.1 Ideais em ane´is euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2 Existeˆncia do mdc em ane´is euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.3 Fatorac¸a˜o u´nica em ane´is euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2
SUMA´RIO 3
2.2.4 Fatorac¸a˜o u´nica em ane´is de polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Anel de polinoˆmios em uma varia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1 Algoritmo da divisa˜o em A[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2 Ra´ızes de polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.3 Polinoˆmios irredut´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.4 Crite´rios de irredutibilidade em Q[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Extenso˜es de corpos 56
3.1 Extenso˜es normais e separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Teoria de Galois 66
4.1 A ideia por tra´s da Teoria de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Teorema fundamental da Teoria de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Cap´ıtulo 1
Grupos
1.1 Definic¸o˜es e exemplos
Definic¸a˜o 1.1. Um conjunto G na˜o vazio e munido de uma operac¸a˜o:
∗ : G×G → G
(a, b) 7→ a ∗ b
satisfazendo:
(G1) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∀ a, b, c ∈ G;
(G2) ∃ e ∈ G, tal que a ∗ e = a = e ∗ a, ∀a ∈ G;
(G3) ∀a ∈ G, existe b ∈ G, tal que a ∗ b = e = b ∗ a;
e´ chamado um grupo.
Definic¸a˜o 1.2. Um grupo (G, ∗) tal que
(G4) a ∗ b = b ∗ a, ∀a, b ∈ G, e´ chamado grupo abeliano ou comutativo.
Observac¸a˜o 1.3. E´ comum a notac¸a˜o aditiva para grupos abelianos. Neste caso denotamos a operac¸a˜o ∗ por
+, o elemento neutro (G2) por 0 e o sime´trico de um elemento a (G3) por −a.
Exemplos:
1. (Z,+), (Q,+), (R,+) e (C,+) sa˜o grupos abelianos.
2. (Q\{0}, .), (R\{0}, .) e (C\{0}, .) sa˜o grupos abelianos.
3. Seja n for um inteiro positivo, enta˜o (Zn,+) e´ um grupo abeliano contendo n elementos.
4. Seja p for um inteiro primo, enta˜o (Z∗p = Zp\{0}, ·) e´ um grupo abeliano contendo p− 1 elementos.
5. O conjunto M2(R) =
{(
a b
c d
)
; a, b, c, d ∈ R e ad− bc 6= 0
}
, com o produto usual de matrizes, e´ um
grupo.
6. Seja S um conjunto na˜o vazio e seja
G = {f : S → S; f e´ bijetiva }.
Enta˜o, (G, ◦) e´ um grupo, na˜o abeliano em geral, onde ◦ e´ a operac¸a˜o de composic¸a˜o de func¸o˜es. Tal
grupo sera´ chamado Grupo das Permutac¸o˜es do conjunto S e sera´ denotado por P(S).
4
1.2. SUBGRUPOS 5
7. Se o conjunto S tiver um nu´mero finito n de elemntos, S = {1, 2, · · · , n}, denotaremos P(S) por Sn e o
chamremos grupo sime´trico ou grupo das permutac¸o˜es de n elementos. E´ fa´cil ver que a cardinalidade de
Sn e´ igual a n! e que para n ≥ 3, Sn e´ na˜o abeliano.
8. Construir o grupo S3.
9. O grupo de simetrias espaciais de um triaˆngulo equila´tero.
10. Grupo de simetrias espaciais de um quadrado, D4.
11. Seja G o conjunto das retas no plano com coefiente angular na˜o nulo, isto e´,
G = {f : R→ R; f(x) = ax+ b, a, b ∈ R e a 6= 0}.
G com a composic¸a˜o de func¸o˜es e´ um grupo na˜o abeliano contendo um nu´mero infinito de elementos.
12. Sejam (G, ◦) e (H, .) dois grupos e seja G × H o conjunto produto cartesiano de G e H. Definmos em
G×H a aoperac¸a˜o ∗ por:
(g, h) ∗ (g′, h′) = (g ◦ g′, h.h′), ∀ g, g′ ∈ G e ∀h, h′ ∈ H.
Lema 1.4. (Algumas propriedades de grupos.) Seja G um grupo. Enta˜o,
1. O elemento identidade e ∈ G e´ u´nico;
2. Todo a ∈ G tem um u´nico inverso a−1 em G;
3. Para todo a ∈ G, (a−1)−1 = a;
4. Para todo a, b ∈ G, (ab)−1 = b−1a−1.
5. Dados a, b ∈ G, as equac¸o˜es ax = b e ya = b tem soluc¸a˜o u´nica. Em particular, temos
au = bu⇒ a = b e
ua = ub⇒ a = b.
Definic¸a˜o 1.5. A ordem de um grupo G, denotada por |G| ou por O(G) e´ o nu´mero de elementos de G.
Diremos que G e´ grupo finito se |G| <∞.
1.2 Subgrupos
Definic¸a˜o 1.6. Sejam G um grupo e H um subconjunto na˜o vazio de G. Dizemos que H e´ um subgrupo de G
se H, com a operac¸a˜o de G, for tambe´m um grupo, isto e´, quando:
i) h1.h2 ∈ H, para todo h1, h2 ∈ H;
ii) h1.(h2.h3) = (h1.h2)h3, para todo h1, h2, h3 ∈ H;
iii) ∃ eH ∈ H tal que eH .h = h = h.eH , para todo h ∈ H;
iv) Para cada h ∈ H, existe k ∈ H tal que h.k = eH = k.h.
Proposic¸a˜o 1.7. Sejam G um grupo e H um subconjunto de G. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
1. H e´ um subgrupo de G.
2. (a) e ∈ H;
(b) ∀ a, b ∈ H tem-se ab ∈ H.
(c) ∀ a ∈ H tem-se a−1 ∈ H.
3. H 6= ∅ e ∀ a, b ∈ H tem-se ab−1 ∈ H.
6 CAPI´TULO 1. GRUPOS
Exemplos:
1. Se G for um grupo, {e} e G sa˜o subgrupos de G.
2. Dado m ∈ Z for qualquer, H = Z.m = {z.m : z ∈ Z} e´ um subgrupo do grupo aditivo (Z,+).
3. Sejam G um grupo e x ∈ G. O conjunto CG(x) = {y ∈ G; yx = xy} e´ um subgrupo de G denominado
centralizador de x em G.
4. Seja G um grupo. Enta˜o,
Z(G) = {y ∈ G; yx = xy ∀x ∈ G}
e´ um subgrupo de G denominado centro do grupo G.
5. Seja G = {f : R→ R; f(x) = ax+ b, a, b ∈ R e a 6= 0}, com a composic¸a˜o de func¸o˜ese seja H o conjunto
das retas no plano com coeficiente angular 1. Enta˜o H e´ um subgrupo de G.
6. Seja G = GL(n,K), n ≥ 2, o conjunto das matrizes invert´ıveis com entradas em K, onde K = Q,R ou
C, e e seja
H = {A ∈ GL(n,K); det(A) = 1}.
Enta˜o H e´ um subgrupo de G.
7. Neste exemplo introduziremos o grupo An das permutac¸o˜es pares.
Considere o polinoˆmio em n var´ıaveis
P (x1, . . . , xn) = (x1 − x2)(x1 − x3) . . . (xn−1 − xn) =
∏
1≤i<j≤n
(xi − xj).
Dada σ ∈ Sn denotemos por Pσ o seguinte polinoˆmio,
Pσ(x1, . . . , xn) =
∏
1≤i<j≤n
(xσ(i) − xσ(j)).
Claramente temos Pσ = ±P .
Definic¸a˜o 1.8. Se Pσ = P dizemos que a permutac¸a˜o σ e´ par e se Pσ = −P dizemos que σ e´ uma
permutac¸a˜o ı´mpar.
E´ fa´cil ver que (Pσ)τ = Pσ◦τ e da´ı segue que o conjunto An das permutac¸o˜es pares e´ um subgrupo de Sn.
Ale´m disso, oobservando que o nu´mero de permutac¸o˜es pares e´ igual ao nu´mero de permutac¸o˜es ı´mpares
temos que
|An| = n!/2.
8. Sejam H e K subgrupos de um grupo G. Enta˜o, H∩K e´ um subgrupo de G. Mais geralmente, se {Hi}i∈Γ
for uma famı´lia de subgrupos de G, enta˜o
H =
⋂
i∈Γ
Hi
e´ um subgrupo de G.
9. Sejam H1 ⊂ H2 ⊂ · · ·Hn ⊂ Hn+1 ⊂ · · · subgrupos de um grupo G. Enta˜o,
H =
∞⋃
i=1
Hi
e´ um subgrupo de G.
Lema 1.9. Sejam H e K subgrupos de um grupo G e seja
HK = {hk;h ∈ H e k ∈ K}.
Enta˜o HK e´ um subgrupo de G, se e somente se, HK = KH.
1.3. SUBGRUPO GERADO POR UM SUBCONJUNTO 7
Lema 1.10. Sejam H e K subrupos finitos de um grupo G. Enta˜o,
|HK| = |H|.|K||H ∩K| .
1.3 Subgrupo gerado por um subconjunto
Seja G um grupo e seja g ∈ G. se n ∈ Z, definimos gn por:
gn =

e se n = 0
g(n−1).g se n > 0
(g−n)−1 se n < 0
E´ fa´cil mostrar que se m,n ∈ Z,
1. gn.gm = gn+m;
2. (gn)m = gmn.
Se denotarmos por 〈g〉 = {gn : n ∈ Z}, enta˜o 〈g〉 e´ um subgrupo de G, chamado grupo c´ıclico gerado por g.
Dado um subconjunto S de um grupo G, definimos o conjunto 〈S〉 por:
〈S〉 = {a1a2 · · · an;n ∈ N, ai ∈ S ou a−1i ∈ S}.
Quando o conjunto S for finito, digamos S = {x1, x2, · · · , xn}, escreveremos
〈x1, x2, · · · , xn〉 = 〈{x1, x2, · · · , xn}〉.
Proposic¸a˜o 1.11. Sejam G um grupo e S um subconjunto de G. O conjunto 〈S〉 e´ um subgrupo de G, chamado
subgrupo gerado por S. Ale´m disso, 〈S〉 e´ o menor subgrupo de G que conte´m S, isto e´, 〈S〉 e´ a intersec¸a˜o de
todos os subrupos de G que conte´m S.
Observe que se g ∈ G, enta˜o: 〈{g}〉 = {· · · , g−2, g−1, e, g, g2, g3, · · ·} e´ o grupo c´ıclico gerado por g.
8 CAPI´TULO 1. GRUPOS
Exemplo D8 = 〈α, β〉, onde α = Rpi/2 =
(
1 2 3 4
2 3 4 1
)
e β = R3
(
1 2 3 4
4 3 2 1
)
.
Exemplo Seja G um grupo. O subgrupo 〈{xyx−1y−1}〉 e´ o subgrupo dos comutadores de G, comumente
denotado por G′.
Observe que G e´ abeliano, se e somente se, G′ = {e}.
1.4 Classes Laterais e Teorama de Lagrange
Proposic¸a˜o 1.12. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. A relac¸a˜o em G definida por
x ≡ y (modH)⇔ xy−1 ∈ H( leˆ-se: x e´ congruente a y mo´dulo H)
e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Dem:
Seja x¯ a classe de equivaleˆncia de x ∈ G. Enta˜o:
x¯ = {y ∈ G; y ≡ x (modH)} = {y ∈ G : yx−1 ∈ H} = {hx : h ∈ H} := Hx.
Chamamos Hx, para x ∈ G, classe lateral a` direita de H em G. Representamos o conjunto quociente de
todas as classes laterais a` direita de H em G por G/H, isto e´,
G/H = {Hx;x ∈ G}.
Observe que Hx = Hy, se e somente se, xy−1 ∈ H.
Definic¸a˜o 1.13. A cardinalidade do conjunto G/H e´ chamada ı´ndice de H em G e sera´ denotado por (G : H)
ou iG(H).
Exemplos:
1. H = Z.m = {km : k ∈ Z} ≤ (Z,+) e G/H = Zm.
2. Seja G = {f : R→ R; f(x) = ax+ b, a, b ∈ R e a 6= 0}, com a composic¸a˜o de func¸o˜es e seja H o conjunto
das retas no plano com coeficiente angular 1. Enta˜o G/H = {f¯ : f(x) = ax; a 6= 0} e´ um subgrupo de G.
3. Se G = Q e H = Z, enta˜o G/H = {a; a ∈ Q e 0 ≤ a < 1}.
Observac¸a˜o 1.14. Podemos tambe´m definir em G a relac¸a˜o de equivaleˆncia
x ≡ y (modH)⇔ y−1x ∈ H.
Neste caso, as classes de equivaleˆncias sera˜o chamadas classes laterais a` esquerda de H em G e sera˜o
denotadas por xH = {xh : h ∈ H}, para todo x ∈ G.
1.4. CLASSES LATERAIS E TEORAMA DE LAGRANGE 9
Exemplo: Seja D8 o grupo das simetrias espaciais de um quadrado e seja H = {id,R1}. Temos que
HRpi/2 = {Rpi/2, RN} 6= {Rpi/2, RM} = Rpi/2H.
Isto mostra que num grupo na˜o abeliano, a classe de x a` direita pode ser diferente da classe de x a` esquerda.
Observac¸a˜o 1.15. Dado H ≤ G, a func¸a˜o f : {Hx;x ∈ G} → {xH;x ∈ G}, definida por f(Hx) = xH e´ uma
bijec¸a˜o. Logo, o ı´ndice de H em G, (G : H), independe das classes laterais serem a` direita ou a` esquerda de H.
Teorema 1.16. (Lagrange) Se G for um grupo finito e H for um subgrupo de G, enta˜o |H| e´ um divisor de
|G|.
Segue do Teorema de Lagrange que se G tiver ordem finita, enta˜o
|G| = |H|(G : H).
Definic¸a˜o 1.17. Sejam G um grupo e g ∈ G. A ordem ou per´ıodo de g, denotada por |g| ou por O(g), e´ o
menor inteiro positivo n tal que gn = e. Se tal inteiro na˜o existir, diremos que a ordem de g e´ infinita.
Exerc´ıcio 1.18. Seja g 6= e um elemento do grupo G. Mostre que:
i) Se O(g) <∞ e gm = e, enta˜o O(g)|m.
ii) O(g) = |〈g〉|.
iii) O(g−1) = O(g);
iv) Se O(g) = mn, enta˜o O(gn) = m;
Corola´rio 1.19. Seja G um grupo finito e seja g ∈ G. Enta˜o, O(g) | |G|.
Dem:
10 CAPI´TULO 1. GRUPOS
Corola´rio 1.20. Sejam G um grupo finito e g ∈ G. Enta˜o, gO(G) = e.
Corola´rio 1.21. Todo grupo finito de ordem prima e´ c´ıclico (em particular e´ abeliano).
Corola´rio 1.22. Todo grupo finito tal que |G| ≤ 5 e´ abeliano.
Proposic¸a˜o 1.23. Sejam G um grupo e K < H < G. Enta˜o
(G : K) = (G : H)(H : K).
Observac¸a˜o: A rec´ıproca do Teorema de Lagrange e´ falsa! Por exemplo, A4 ≤ S4 de ordem 12 que na˜o
tem subgrupos de ordem 6.
1.5. SUBGRUPOS NORMAIS E GRUPO QUOCIENTE 11
De fato, Se H fosse um subgrupo de A4 de ordem 6, enta˜o (G : H) = 2 o que implicaria que para todo
a ∈ A4 ter´ıamos no ma´ximo dois dos seguintes conjuntos: H, aH e a2H distintos. Mas, para a ∈ A4 de ordem
3, isto implicaria a ∈ H (verifique!). Como A4 tem oito elementos de ordem 3, a saber os oito 3-ciclos, H teria
oito elementos de ordem 3. Absurdo!!!
1.5 Subgrupos Normais e Grupo Quociente
Dados G um grupo e H um subgrupo de G, o conjunto quociente G/H na˜o tem uma estrutura natural de
grupo pois HgHx := Hgx, ∀x, g ∈ G, em geral na˜o esta´ bem definida. Para que isto acontec¸a e´ necessa´rio e
suficiente que
gHg−1 := {ghg−1;h ∈ H} ⊂ H, ∀g ∈ G.
Definic¸a˜o 1.24. Um subgrupo H e´ um subgrupo normal de G se
gHg−1 := {ghg−1;h ∈ H} ⊂ H, ∀g ∈ G.
Notac¸a˜o para subgrupos normais: H / G.
Lema 1.25. Seja H um subgrupo de G. Enta˜o,
gHg−1 ⊂ H, ∀ g ∈ G⇔ gHg−1 = H, ∀g ∈ G⇔ gH = Hg, ∀g ∈ G.
Exemplos:
1. Sejam G = {f : R→ R; f(x) = ax+ b, a, b ∈ R e a 6= 0}, e
H = {g : R→ R; g(x) = x+ d, d ∈ R}.
Enta˜o H e´ um subgrupo normal de G.
2. Sejam G = S3, f1 =
(
1 2 3
2 3 1
)
∈ S3 e H = 〈f1〉. Enta˜o e´ um subgrupo normal de G.
3. Se (G : H) = 2, enta˜o H e´ um subgrupo normal de G.
4. Z(G) e´ um subgrupo normal de G. Mais geralmente, se H ⊂ Z(G) enta˜o H / G.
5. Se G for um grupo abeliano, todo subgrupo H e´ normal em G.
6. No grupo dos quate´rnios Q8 todo subgrupo e´ normal, mas Q8 nao e´ abeliano. Mostre!.
12 CAPI´TULO 1. GRUPOS
Proposic¸a˜o 1.26. Sejam G um grupo e N um subgrupo normal de G. O conjunto quociente G/N com a
operac¸a˜o definida por
Nx.Ny = N(x.y); ∀ x, y ∈ G
e´ um grupo.
Exerc´ıcio: Sejam G um grupo e H um subgrupo normal de G. Enta˜o:
1. Se G for abeliano, G/H e´ abeliano.
2. Se G for c´ıclico, G/H e´ c´ıclico.
Exerc´ıcio: Sejam G um grupo e G′ o seu subgrupo dos comutadores. Enta˜o:
1. G/G′ e´ abeliano.
2. G′ e´ o menor subgrupo normal de G com esta propriedade, isto e´, se H / G for tal que G/H e´ abeliano,
enta˜o H ⊃ G′.Proposic¸a˜o 1.27. Sejam H e K subgrupos do grupo G. Se H ou K for um subgrupo normal de G, enta˜o HK
e´ um subgrupo de G.
Corola´rio 1.28. Sejam H e K subgrupos normais de G. Enta˜o HK e´ um subgrupo normal de G.
1.6. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 13
1.6 Homomorfismos de Grupos
Definic¸a˜o 1.29. Sejam (G, .) e (G1, ∗) grupos. Dizemos que uma func¸a˜o φ : G→ G1 e´ um homomorfismo de
grupos se
φ(x.y) = φ(x) ∗ φ(y),∀ x, y ∈ G.
Definic¸a˜o 1.30. Se um homomorfismo φ : G→ G1 for
1. injetivo, dizemos que φ e´ um monomorfismo;
2. sobrejetivo, dizemos que φ e´ um epimorfismo;
3. bijetivo dizemos que φ e´ um isomorfismo. Nesse caso dizemos que G e G1 sa˜o isomorfos e escrevemos
G ∼= G1;
4. um homomorfismo de G em G e´ chamado um endomorfismo e
5. um isomorfismo ψ : G→ G e´ chamado um automorfismo de G
Exemplos:
1. φ(x) = e, para todo x ∈ G e´ um homomorfismo de grupo.
2. φ(x) = x, para todo x ∈ G e´ um homomorfismo de grupo.
3. Sejam (G = R+, .) e (G
′ = R,+), enta˜o φ(x) = loge(x) e´ um isomorfismo de grupos.
4. Sejam G o grupo aditivo dos nu´meros reais e G′ o conjunto dos nu´meros reais positivos com a multiplicac¸a˜o.
A func¸a˜o ψ : G→ G′ definida por ψ(x) = 2x e´ um homomorfismo.
5. Sejam G um grupo abeliano. A func¸a˜o φ : G→ G definida por φ(x) = x−1 e´ um automorfismo de G.
6. Sejam G um grupo, g ∈ G e Ig : G→ G definida por Ig(x) = gxg−1. Enta˜o Ig e´ um automorfismo de G,
chamado automorfismo interno de G.
Observac¸a˜o: Sejam G um grupo e g ∈ G. Enta˜o, g ∈ Z(G) ⇔ Ig = Id. Portanto, G e´ abeliano se e
soemnte se Inn(G) = {e}.
7. Sejam G um grupo e N um subgrupo normal de G. A aplicac¸a˜o φ : G→ G/N definida por φ(a) = aN e´
um homomorfismo de grupos.
Lema 1.31. (Propriedades dos homomorfismos de grupos) Seja φ : G → G1 um homomorfismo de grupos.
Enta˜o:
1. φ(eG) = eG1 ;
2. φ(g−1) = φ(g)−1;
3. Se H for um subgrupo de G, enta˜o φ(H) = {φ(h);h ∈ H} e´ um subgrupo de G1. Em particular, Im φ =
φ(G) e´ um subgrupo de G1;
4. O conjunto ker φ := {g ∈ G;φ(g) = eG1} e´ um subgrupo normal de G, chamado nu´cleo do homomorfismo
φ. O homomorfismo φ e´ injetor, se e somente se, ker φ = {eG}.
5. Se K for um subgrupo de G1, enta˜o φ
−1(K) = {g ∈ G;φ(g) ∈ K} e´ um subgrupo de G contendo ker(φ).
14 CAPI´TULO 1. GRUPOS
Demonstrac¸a˜o.
Teorema 1.32. ( 1o Teorema dos isomorfismos) Seja φ : G→ G1 um homomorfismo de grupos. Enta˜o:
G/Ker φ ∼= Im(φ).
Exemplo: Considere a aplicac¸a˜o
φ : (Z,+) → (Un, .)
k 7→ e2piki/n.
Enta˜o φ e´ claramente um homomorfismo sobrejetor, kerφ = nZ e, portanto, (Z/nZ,+) ∼= (Un, .).
1.6. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 15
Corola´rio 1.33. Sejam G e G1 grupos, ψ : G→ G1 um homomorfismo e H um subgrupo de G tal que |H| = n.
Enta˜o |ψ(H)| divide n.
Exerc´ıcio Seja G um grupo. Mostre que G/Z(G) ∼= Inn(G).
Sugesta˜o: Considere a func¸a˜o φ : G→ Inn(G) definida por φ(g) = Ig, onde Ig(x) = gxg−1.
Corola´rio 1.34. (Determinac¸a˜o dos homomorfismos entre dois grupos). Sejam G e G1 dois grupos e seja
Hom(G,G1) o conjunto dos homomorfismos de G em G1. Enta˜o,
Hom(G,G1) =
⋃
H/G
{ Homomorfismos de G em G1 com nu´cleo H}.
Temos ainda que existe uma bijec¸a˜o entre os conjuntos
{ Homomorfismos injetivos de G/H em G1 } → { Homomorfismos de G em G1 com nu´cleo H}
Exerc´ıcio: Determine os homomorfismos de S3 em S3.
Exerc´ıcio: Determine os homomorfismos de S3 em Z2 × Z2.
Corola´rio 1.35. (2o Teorema dos isomorfismos) Seja φ : G → G1 um homomorfismo de grupos e seja H um
subgrupo de G. Enta˜o,
H
H ∩Ker φ
∼= φ(H).
16 CAPI´TULO 1. GRUPOS
Corola´rio 1.36. (2o Teorema dos isomorfismos) Sejam K ≤ H ≤ G grupos tais que K / G e H / G. Enta˜o,
G/K
H/K
∼= G
H
.
Corola´rio 1.37. Todo grupo c´ıclico de ordem finita n e´ isomorfo a (Z/nZ,+).
Corola´rio 1.38. Seja G um grupo c´ıclico de ordem infinita. Enta˜o G e´ isomorfo a (Z,+).
Corola´rio 1.39. Dois grupos c´ıclicos de ordem infinita sa˜o sempre isomorfos.
1.6. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 17
Teorema 1.40. Seja φ : G→ G1 um homomorfismo sobrejetor de grupos. A func¸a˜o
f : Sφ(G) = {H ≤ G; Kerφ ⊂ H} → S(G1) = {K ≤ G1}
H 7→ φ(H)
e´ uma bijec¸a˜o. Sob esta correspondeˆncia, subgrupos normais sa˜o associados a subgrupos normais.
Corola´rio 1.41. Seja N um subgrupo normal de G. Todo subgrupo de G/N e´ da forma K/N , onde K e´ um
subgrupo de G contendo N . Ale´m disso, K/N e´ normal em G se e soemnte se K for normal em G.
Exerc´ıcio: Determine todos os subgrupos de Z8 e Zn.
Definic¸a˜o 1.42. Um subgrupo H de um grupo G e´ um subgrupo caracter´ıstico de G se ele for esta´vel por todos
os automorfismos de G, isto e´, φ(H) ⊂ H, para todo φ ∈ Aut(G). Equivalentemente, se φ(H) = H, para todo
φ ∈ Aut(G).
Notac¸a˜o: H E G.
Exemplo 1.43. Se H for o u´nico subgrupo de ordem n de G , enta˜o H E G.
Exerc´ıcio Se H E K / G, enta˜o H / G.
Em geral, H /K / G na˜o implica H /G. Por exemplo em D4, 〈R1〉 / 〈R1, Rpi〉 / D4, mas 〈R1〉 na˜o e´ normal
em D4.
18 CAPI´TULO 1. GRUPOS
1.7 Ac¸a˜o de um grupo em um conjunto
Definic¸a˜o 1.44. A ac¸a˜o de um grupo G em um conjunto S e´ uma func¸a˜o
φ : G× S → S
(g, x) 7→ g · x
tal que:
i) e · x = x, ∀x ∈ S e
ii) (g1g2) · x = g1 · (g2 · x), ∀ g1, g2 ∈ g e ∀x ∈ S.
Exemplo 1.45. Uma ac¸a˜o de G = Sn em In = {1, 2, . . . , n} e´ dada por (σ, i) 7→ σ(i).
Exemplo 1.46. Seja H um subgrupo do grupo G. Uma ac¸a˜o de H em G e´ dada por
φ : H ×G → G
(h, g) 7→ hg
onde hg e´ o produto em G. Para cada h ∈ H, a bijec¸a˜o de φh : G → G dada por φh(g) = φ(h, g) = hg e´
chamada uma translac¸a˜o. Neste caso, dizemos que H agem em G por translac¸a˜o.
Exemplo 1.47. Sejam H e K subgrupos do grupo G e seja S = G/K. Uma ac¸a˜o de H em S e´ dada por
φ : H ×G/K → G/k
(h, gK) 7→ (hg)K.
Exemplo 1.48. Seja H um subgrupo do grupo G. Uma ac¸a˜o de H em G e´ dada por
φ : H ×G → G
(h, g) 7→ hgh−1.
Para cada h ∈ H, a bijec¸a˜o de φh : G→ G dada por φh(g) = φ(h, g) = hgh−1 e´ chamada uma conjugac¸a˜o por
h e o elemento hgh−1 e´ dito ser um conjugado de g. Neste caso, dizemos que H age em G por conjugac¸a˜o.
Se K for qualquer subgrupo de G e h ∈ H, enta˜o hKh−1 e´ um subgrupo de G (isomorfo a K). Portanto, H
age no conjunto S de todos os subgrupos de G por conjugac¸a˜o, isto e´,
H × S → S
(h,K) 7→ hKh−1
e´ uma ac¸a˜o. O grupo hKh−1 e´ dito ser conjugado a K.
Teorema 1.49. Seja φ : G× S → S uma ac¸a˜o de um grupo G em um conjunto S.
i) A relac¸a˜o em S definida por
x ∼ y ⇔ y = gx := φ(g, x), para algum g ∈ G
e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
ii) Para cada x ∈ S, Gx = {g ∈ G; gx := φ(g, x) = x} e´ um subgrupo de G.
1.7. AC¸A˜O DE UM GRUPO EM UM CONJUNTO 19
Demonstrac¸a˜o:
Definic¸a˜o 1.50. As classes de equivaleˆncia da relac¸a˜o dada no Teorema (1.49) (i) sa˜o chamadas o´rbitas de G
em S. A o´rbita de x ∈ X sera´ denotada por x. O grupo Gx e´ comumente chamado estabilizador de x.
Exemplo 1.51. Se o grupo G age em G por conjugac¸a˜o, a o´rbita de x ∈ G, x = {gxg−1, ; g ∈ G}, e´ chamada
classe de conjugac¸a˜o de x.
Se o subgrupo H de G age em G por conjugac¸a˜o, o estabilizador de x ∈ G,
Hx = {h ∈ H;hxh−1 = x} = {h ∈ H;hx = xh}
e´ chamado centralizador de x em H e sera´ denotado por CH(x). Se H = G, CG(x) sera´ chamado centralizador
de x.
Exemplo 1.52. Se o subgrupo H de G age por conjugac¸a˜o no conjunto S de todos os subgrupos de G, o
estabilizador de K ∈ S, HK = {h ∈ H;hKh−1 = K}, e´ chamado normalizador de K em H e sera´ denotado
por NH(K). O grupo NG(K) sera´ chamado normalizador de K.
Observac¸a˜o 1.53. Um subgrupo K e´ um subgrupo normal de G se e somente se NG(K) = G.
Teorema 1.54. Seja G um grupo agindo em um conjunto S. A cardinalidade da o´rbita de x ∈ S e´ o ı´ndice
(G : Gx).
Corola´rio 1.55. Seja G um grupo finito e K um subgrupo de G.
i) O nu´mero de elementos da classe de conjugac¸a˜o de x ∈ G e´ o ı´ndice (G : CG(x)).
ii) Se x1, x2 . . . , xn sa˜oas classes de conjugac¸a˜o distintas de G, enta˜o
|G| =
n∑
i=1
(G : CG(xi)).
iii) O nu´mero de subgrupos de G conjugados a K e´ (G : NG(K)), o qual divide G.
20 CAPI´TULO 1. GRUPOS
Demonstrac¸a˜o
Obseve que x ∈ Z(G) se e somente se (G : CG(x)) = 1. Consequentemente, quando |G| < ∞, podemos
escrever
|G| = |Z(G)|+
m∑
i=1
(G : CG(xi)),
onde x1, x2, . . . , xm, para xi ∈ G\Z(G), sa˜o as classes de conjugac¸a˜o distintas de G.
Podemos aqui fazer algumas observac¸o˜es sobre grupos finitos.
Lema 1.56. Seja p um nu´mero primo e seja G um grupo de ordem pn com n ≥ 1. Enta˜o Z(G) tem pelo menos
p elementos.
Lema 1.57. Seja p um nu´mero primo. Enta˜o todo grupo de ordem p2 e´ abeliano.
Definic¸a˜o 1.58. Seja p um primo. Um grupo G tal que |G| = pn, para algum n ∈ N, n > 1, e´ chamado um
p−grupo.
1.7. AC¸A˜O DE UM GRUPO EM UM CONJUNTO 21
Teorema 1.59. A ac¸a˜o de um grupo G em um conjunto S define um homomorfismo G→ P(S) onde P(S) e´
o grupo das permutac¸o˜es de S.
Teorema 1.60. (Teorema de Cayley) Todo grupo G e´ isomorfo a um grupo de permutac¸o˜es. Em particular, se
G for finito de ordem n, enta˜o G e´ isomorfo a um subgrupo de Sn.
Teorema 1.61. Seja H um subgrupo de um grupo G e suponha G agindo em S = G/H por translac¸a˜o. O
nu´cleo do homomorfismo induzido G→ P(S) e´ um subgrupo normal de G contido em H.
Corola´rio 1.62. Seja H um subgrupo de um grupo G de ı´ndice p, onde p e´ o menor divisor primo da ordem
de G. Enta˜o H e´ um subgrupo normal de G.
22 CAPI´TULO 1. GRUPOS
1.7.1 Teoremas se Sylow
Nesta sec¸a˜o tentaremos descobrir mais sobre um dado grupo G de ordem finita. Os teoremas de Sylow sa˜o
o primeiro passo para entender a estrutura de grupos finitos arbitra´rios.
Vimos que a rec´ıproca do Teorema de Lagrange na˜o vale em geral.
Exemplo: O subgrupo A4 de S4 tem ordem 12 mas na˜o possui subgrupo de ordem 6. De fato, H ≤ A4 de
ordem 6 implicaria H / A4 e, como veremos mais tarde, os u´nicos subgrupos normais de A4 sa˜o {Id},K e A4
onde
K := {Id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
e´ o grupo de Klein.
Na ordem para determinar condic¸o˜es para uma rec´ıproca do Teorema de Lagrange, mostraremos o seguinte.
Teorema 1.63. (Teorema de Cauchy) Seja G um grupo finito e seja p um nu´mero primo que divide a ordem
de G. Enta˜o, existe x ∈ G de ordem p.
Aplicac¸o˜es do Teorema de Cauchy
Exemplo 1.64. Seja G um grupo de ordem 6. Enta˜o G e´ c´ıclio ou G ∼= S3.
Exemplo 1.65. Seja G um grupo de ordem p2, com p primo. Enta˜o G ' Zp2 ou G ' Zp × Zp.
Exemplo 1.66. Caracterizac¸a˜o de grupos de ordem ≤ 11.
i) Se p = 2, 3, 5, 7, , 11 ou 13, enta˜o G ' Zp.
ii) Se n = 4, G ' Z2 × Z2 ou G ' Z4.
1.7. AC¸A˜O DE UM GRUPO EM UM CONJUNTO 23
iii) Se n = 8, G ' Z2 × Z2 × Z2, G ' Z4 × Z2, G ' D4 ou G ' Q8.
iv) Se n = 9, G ' Z3 × Z3 ou G ' Z9.
vi) Se n = 10, G ' Z10, G ' D5, G ' D4 ou G ' Q8.
Definic¸a˜o 1.67. Seja p um nu´mero primo. Um grupo G (na˜o necessariamente finito) no qual todo elemento
tem sua ordem igual a uma poteˆncia de p e´ chamado um p-grupo.
Exemplo 1.68.
1) Z9 e´ um 3−grupo de ordem 9.
2) D4, Z/8Z, Z4 × Z2 e Z2 × Z2 × Z2 sa˜o 2−grupos de ordem 8;
3) (Z/pnZ,+) e´ um p−grupo de ordem pn;
4) Z2 × Z2 × Z2 × . . . e´ 2−grupo de ordem infinita.
Exemplo 1.69. G e´ um p−grupo finito se e somente se |G| = pn, para algum n ∈ N.
O resultado mais geral na direc¸a˜o de uma rec´ıproca do Teorema de Lagrange e´ o seguinte:
Teorema 1.70. (1o Teorema de Sylow) Seja p um nu´mero primo e seja G um grupo de ordem pnb com
mdc(p, b) = 1. Enta˜o, para cada i, 0 ≤ i ≤ m, existe um subgrupo H de G tal que |H| = pi. Ale´m disso, todo
subgrupo de G de ordem pi, com i < n, e´ normal em algum subgrupo de ordem pi+1.
Antes de demonstrar o primeiro Teorema de Sylow precisaremos mostrar alguns resultados.
Lema 1.71. Seja G um grupo de oredem pn, com p primo. Suponha G agindo em um conjunto finito S e seja
S0 = {x ∈ S; gx = x, ∀ g ∈ G}.
Enta˜o, |S| ∼= |S0| modp.
24 CAPI´TULO 1. GRUPOS
Corola´rio 1.72. Se H for um p−subgrupo de um grupo finito G, enta˜o
(NG(H) : H) ≡ (G : H) modp.
Corola´rio 1.73. Se H for um p−subgrupo de um grupo finito G tal que p|(G : H), enta˜o NG(H) 6= H.
Dem: Demonstrac¸a˜o do Teorema de Sylow.
Corola´rio 1.74. Seja G um grupo finito e seja p um nu´mero primo. Seja pn a maior poteˆncia de p que divide
|G|. Enta˜o, existe um subgrupo H de G tal que |H| = pn.
1.7. AC¸A˜O DE UM GRUPO EM UM CONJUNTO 25
Definic¸a˜o 1.75. Sejam G um grupo finito, p um nu´mero primo e pn a maior poteˆncia de p que divide |G|. Os
subgrupos de G de ordem pn sa˜o chamados de p-subgrupos de Sylow (p-SS) de G.
Observac¸a˜o 1.76. Seja G um grupo de ordem pnb com p primo, n ≥ 1 e mdc(p, b) = 1. Seja H um p-subgrupo
de G. Enta˜o:
(i) H e´ um p-subgrupo de Sylow de G se e somente se |H| = pn.
(ii) Se φ ∈ Aut(G) e S for um p−SS de G, enta˜o φ(S) ≤ G tambe´m tem ordem pn. Em particular, para todo
g ∈ G, Ig(S) = gSg−1 e´ um p−sugrupo de Sylow de G. Logo, todo subgrupo conjugado a um p-subgrupo
de Sylow de G e´ um p-subgrupo de Sylow de G.
Veremos a seguir que todo subgrupo de Sylow de G pode ser obtido deste modo a partir de um deles.
(iii) Se existir um u´nico S p-SS de G, enta˜o S e´ um subgrupo normal de G.
No que segue vamos tentar relacionar os p−subgrupos de Sylow de um grupo finito.
Teorema 1.77. (2o Teorema de Sylow) Sejam G um grupo finito, p um nu´mero primo, H um p-subgrupo de
G e P um p-subgrupo de Sylow de G. Enta˜o existe x ∈ G tal que H ≤ xPx−1. Em particular, quaisquer dois
p-subgrupos de Sylow de G sa˜o conjugados.
Dem:
Definic¸a˜o 1.78. Sejam G um grupo finito, p um nu´mero primo. Denotaremos por np o nu´mero de p−subgrupos
de Sylow de G.
26 CAPI´TULO 1. GRUPOS
Lema 1.79. Sejam G um grupo finito, p um nu´mero primo e S um p−subgrupo de Sylow. Temos que
np = (G : NG(S)) = |G|/|NG(S)|.
Teorema 1.80. (3o Teorema de Sylow) Sejam p um nu´mero primo e G um grupo finito. Enta˜o:{
np divide |G|,
np ≡ 1 mod p.
Dem:
Exemplo 1.81. Todo grupo de ordem 15 e´ c´ıclico.
Exemplo 1.82. Seja G um grupo tal que |G| = 380 = 22 × 5× 19. Mostre que G tem um 5-SS normal ou um
19−SS normal.
Exemplo 1.83. Seja G um grupo de ordem 99. Mostre que existe H um subgrupo de G de ordem 3 e um u´nico
subgrupo K de G tais que K/H ' Z3 e G/K ' Z11.
1.8. UM POUCO MAIS SOBRE GRUPOS SIME´TRICOS 27
1.8 Um pouco mais sobre grupos sime´tricos
Definic¸a˜o 1.84. Sejam i1, ..., ir com r ≤ n elementos distintos de In = {1, 2, ..., n}. Enta˜o (i1i2...ir) denota a
permutac¸a˜o que mapeia i1 7→ i2, i2 7→ i3,...,ir−1 7→ ir e ir 7→ i1 e deixa todos os outros elementos de In fixados.
(i1i2...ir) e´ chamado um r-ciclo ou um um ciclo de tamanho r. Um 2-ciclo e´ chamado de transposic¸a˜o.
Observac¸a˜o 1.85. Note que a notac¸a˜o de ciclo na˜o e´ u´nica, por exemplo a permutac¸a˜o τ =
(
1 2 3 4
4 1 2 3
)
e´ um 4-ciclo pois τ = (1432) = (4321) = (3214) = (2143).
Note ainda que a notac¸a˜o de ciclo e´ ambigua e na˜o permite identificar a qual grupo Sn pertence. No exemplo
acima o ciclo (1432) poderia pertencer a qualquer Sn com n ≥ 4.
Claramente um r-ciclo e´ um elemento de ordem r e o inverso de (i1i2...ir) e´ o r-ciclo (irir−1...i2i1).
A operac¸a˜o utilizada no conjunto de ciclos e´ a composic¸a˜o (permutac¸o˜es sa˜o func¸o˜es). Por exemplo (125)(1432) =
(1435) e (1432)(125) = (2543).
Teorema 1.86. Toda permutac¸a˜o τ ∈ Sn com τ 6= e pode ser escrito de forma u´nica (a menos da ordem) como
produto de ciclos disjuntos de tamanho maior ou igual a 2.
Corola´rio 1.87. Toda permutac¸a˜o de Sn pode ser escrita como produto de transposic¸o˜es (na˜o necessariamente
disjuntas).
Proposic¸a˜o 1.88. Uma permutac¸a˜o τ ∈ Sn e´ par se, e somente se, τ pode ser escrito como produto de um
nu´mero par de transposic¸o˜es.
Definic¸a˜o 1.89. Um grupo G e´ simples se na˜o possui subgrupos normais pro´prios.Teorema 1.90. O grupo An com n 6= 4 e´ simples.
1.9 Exerc´ıcios
1. Seja G = S3.
(a) Determine todos os subgrupos de G e suas ordens.
(b) Para cada subgrupo H < G, determine as classes laterais a` esquerda e a` direita.
(c) Exiba um subgrupo pro´prio H de G tal que Hx = xH ∀x ∈ G,
(d) Exiba um subgrupo pro´prio H de G tal que Hx 6= xH para algum x ∈ G.
2. Sejam G um grupo tal que a intersec¸a˜o de todos seus subgrupos na˜o-triviais seja diferente do subgrupo
< e >. Prove que todo elemento de G tem ordem finita.
3. Prove que se G na˜o tem subgrupos na˜o-triviais, enta˜o |G| = p, onde p e´ um primo.
4. Dados um grupo G e um subgrupo H, mostre que existe uma bijec¸a˜o entre as classes laterais a` esquerda
e a` direita.
5. Seja G grupo. Dado a ∈ G, defina o centralizador de a em G como N(a) = {x ∈ G|ax = xa}. Prove que
N(a) e´ subgrupo de G.
6. Dados G um grupo e H < G, defina N(H) = {a ∈ G|aHa−1 = H}.
(a) Prove que N(H) e´ um subgrupo de G.
(b) Prove que H ⊂ N(H).
(c) Prove que H e´ normal em N(H).
(d) Prove que H e´ normal em G se e somente se N(H) = G.
7. Dados G um grupo, N,H < G.
28 CAPI´TULO 1. GRUPOS
(a) Se H e´ normal em G e K < G, prove que HK < G.
(b) Se H,K sa˜o normais em G, prove que HK e´ normal em G.
8. Mostre que a intersec¸a˜o de dois subgrupos normais em G e´ normal em G.
9. Seja G um grupo finito. Seja H o u´nico subgrupo de G de ordem |H|. Mostre que H e´ normal em G.
10. Seja G um grupo no qual para algum inteiro n > 1 tem-se (ab)n = anbn para todos a, b ∈ G. Defina
G(n) = {xn|x ∈ G}. Prove que G(n) e´ um subgrupo normal de G.
11. Verifique se as operac¸o˜es a seguir sa˜o homomorfismo. Em caso afirmativo, determine o nu´cleo.
(a) G = R∗, ·, φ : G→ G definida por φ(x) = x2.
(b) G = R∗, ·, φ : G→ G definida por φ(x) = 2x.
(c) G = R,+, φ : G→ G definida por φ(x) = x+ 1.
(d) G grupo abeliano, φ : G→ G definida por φ(x) = x5.
12. Seja g um elemento fixo de G. Prove que φ(x) = gxg−1 e´ um isomorfismo de G em G.
13. Se N,M sa˜o subgrupos normais de G, prove que NM/M ∼= N/(N ∩M).
14. Se G e´ um grupo na˜o-abeliano de ordem 6, prove que G ∼= S3.
15. Determine o centro e o comutador de D4
16. Determine se as seguintes aplicac¸o˜es sa˜o automorfismos.
(a) G = Z,+, φ : x→ −x.
(b) G grupo c´ıclico de ordem 3, φ(x) = x3.
(c) G = S3, φ(x) = x
−1.
17. Determine os automorfismos do grupo G = {e, a, b, ab}, onde a2 = b2 = e, ab = ba.
18. Mostre que um grupo G e´ abeliano se, e somente se, f : G→ G definida por f(x) = x−1 e´ um homomor-
fismo.
19. Mostre que o conjunto de automorfismo de G, Aut(G), com a composic¸a˜o de func¸o˜es e´ um grupo.
20. Mostre que Inn(G), o conjunto de automorfismos internos de G, e´ um subgrupo normal de Aut(G).
21. (a) Determine todos os homomorfismos de Z/4Z em D4.
(b) Determine todos os homomorfismos de Z/6Z em S3.
(c) Seja G um grupo finito. Mostre que um homomorfismo de G em Z e´ identicamente nulo.
(d) Seja G um grupo c´ıclico e seja φ : G → G um homomorfismo de grupos. Mostre que φ e´ um
automorfismo de G se e somente se φ(a) for um gerador de G.
22. Dados m e n dois inteiros positivos primos entre si, considere a func¸a˜o:
ψ : Z → Zn × Zm
a 7→ (a, a)
onde a representa a classe de a em Zn e a representa a classe de a em Zm, para todo a ∈ Z.
(a) Mostre que ψ e´ um homomorfismo sobrejetor de grupos.
(b) Mostre que o nu´cleo N(ψ) e´ nmZ.
(c) Conclua que Z/nmZ ∼= Zn × Zm.
23. Mostre que todo grupo c´ıclico de ordem finita n e´ isomorfo a (Zn,+).
24. Mostre que todo grupo c´ıclico de ordem infinita e´ isomorfo a (Z,+).
25. Seja N um subgrupo normal de G. Mostre que todo subgrupo de G/N e´ da forma K/N tal que K e´
subgrupo de G contendo N . Ale´m disso, K/N e´ normal em G se e somente se K for normal em G.
1.9. EXERCI´CIOS 29
26. Sejam G um grupo e a, b ∈ G tais que O(a) = 10 e O(b) = 21. Mostre que 〈a〉 ∩ 〈b〉 = {e}.
27. Mostre que um grupo de ordem infinta e´ c´ıclico, se e somente se, e´ isomorfo a cada um dos seus subgrupos
pro´prios. (H e´ um subgrupo pro´prio de G se H 6= {e} e H 6= G).
28. Seja p um primo. Seja C(p∞) o subgrupo de C∗ consitindo de todas as pn-e´simas ra´ızes da unidade, para
todo n ≥ 0, isto e´,
C(p∞) := {z ∈ C ; zpn = 1, para algum inteiro n ≥ 0}.
(a) Denote por C(p) o subgrupo de C(p∞) definido por
C(p) := {z ∈ C(p∞) ; zp = 1}.
Mostre que a aplicac¸a˜o φ : C(p∞)→ C(p∞) definida por φ(z) = zp e´ um homomorfismo de grupos.
(b) Mostre que C(p∞)/C(p) ' C(p∞).
(c) Mostre que todo subgrupo de C(p∞) finitamente gerado e´ c´ıclico, mas que C(p∞) na˜o e´ c´ıclico.
(d) Seja G o subgrupo de Q definido por G = {a/pn ; a ∈ Z e n ≥ 0}. Mostre que a aplicac¸a˜o ψ : G →
C(p∞) dada por ψ(a/pn) = e2pia/p
n
e´ um homomorfismo de grupos.
(e) Mostre que C(p∞) e´ isomorfo a um subgrupo de Q/Z.
Sugesta˜o: Considere a aplicac¸a˜o ψ : G→ C(p∞) dada por ψ(a/pn) = e2pia/pn , onde G = {a/pn ; a ∈
Z e n ≥ 0} ⊂ Q.
29. Seja G um grupo de ordem pq, onde p e q sa˜o primos tais que p > q. Mostre que G tem no ma´ximo um
subgrupo de ordem p.
30. Mostre que (Q,+) e (Q∗ := Q\{0}, .) na˜o sa˜o isomorfos.
31. Seja G um grupo finito contendo apenas duas classes de conjugac¸a˜o. Mostre que |G| = 2.
32. Sejam G um grupo e N um subgrupo normal e abeliano de G. Mostre que G/N age em N por conjugac¸a˜o
e obtenha um homomorfismo G/N → Aut(N).
33. Mostre que se G conte´m um elemento g tendo exatemente duas classes de conjugac¸a˜o, enta˜o G tem um
subgrupo pro´prio normal N 6= {e}.
34. Seja G um grupo agindo em um conjunto S de pelo menos 2 elementos. Assuma que dados x, y ∈ S, existe
g ∈ G tal que gx = y. Prove que:
(a) para x ∈ S, x¯ = S.
(b) todos os Gx (x ∈ S) sa˜o conjugados.
(c) Se {g ∈ G|gx = x∀x ∈ S} =< e > e se N / G e N < Gx para algum x ∈ S, enta˜o N =< e >.
(d) para x ∈ S, |S| = [G : Gx], donde |S| divide |G|.
35. Se G/C(G) e´ c´ıclico, enta˜o G e´ abeliano.
36. Se |G| = pn com p > n, p primo, e H e´ um subgrupo de G de ordem p, enta˜o H e´ normal em G.
37. Seja G um grupo tal que |G| = 22 × 5 × 19. Mostre que G tem um 5-subgrupo de sylow normal ou um
19-subgrupo de sylow normal.
38. Seja G um grupo abeliano finito de ordem |G| = pn11 pn22 . . . pnrr onde p1, p2, . . . , pr sa˜o os primos distintos
divisores da ordem de G e n1, n2, . . . , nr ∈ N\{0}. Prove que:
a) Gpi := {x ∈ G;xp
m
i = e} e´ um subgrupo de G.
b) Se g ∈ G, existem u´nicos gi ∈ Gpi , para i = 1, 2, . . . , r, tais que
g = g1g2 . . . gr.
c) G ' Gp1 ×Gp2 × . . .×Gpr .
d) |Gpi | = pnii e Gpi e´ o u´nico pi−SS de G.
39. Mostre que um grupo G de ordem 108 tem um subgrupo normal de ordem 9 ou 27.
30 CAPI´TULO 1. GRUPOS
40. (a) Mostre que se N for um subgrupo normal de G que conte´m um p−subgrupo de Sylow de G, enta˜o o
nu´mero de p−subgrupos de Sylow de N e´ igual ao nu´mero de p−subgrupos de Sylow de G.
(b) Use o item anterior para mostrar que se G tem ordem 105, enta˜o G tem um 5−subgrupo de Sylow e
um 7−subgrupo de Sylow normais em G.
41. Mostre que um grupo de ordem p2q, com p e q primos distintos, tem ou um p−subgrupo de Sylow normal
ou um q−subgrupo de Sylow normal.
42. Mostre que todo grupo de ordem 255 e´ abeliano.
43. Mostre que todo grupo de ordem 105 tem um subgrupo de ordem 35.
44. Seja G um grupo de ordem 112 × 132. Mostre que G e´ um grupo abeliano.
45. Seja G um grupo de ordem 30.
(a) Mostre que um 3−subgrupo de Sylow ou um 5−subgrupo de Sylow de G deve ser normal em G.
(b) Mostre que todo 3−subgrupo de Sylow e todo 5−subgrupo de Sylow de G deve ser normal em G.
(c) Mostre que G tem um subgrupo normal de ordem 15.
Cap´ıtulo 2
Ane´is
2.1 Ane´is, domı´nios e corpos
2.1.1 Definic¸o˜es e exemplos
Definic¸a˜o 2.1. Um conjunto A na˜o vazio e munido de duas operac¸o˜es:
+ : A×A → A (soma ou adic¸a˜o),
(a, b) 7→ a+ b
· : A×A → A (produto ou multiplicac¸a˜o),
(a, b) 7→ a · b
satisfazendo:
S1. (Associatividadeda soma): (a+ b) + c = a+ (b+ c), ∀a, b, c ∈ A;
S2. (Comutatividade da soma): a+ b = b+ a,∀a, b ∈ A;
S3. (Elemento neutro da soma): ∃ 0 ∈ A, chamado elemento neutro da soma ou zero, tal que, a+0 = a = 0+a,
∀a ∈ A;
S4. (Sime´trico ou inverso aditivo): ∀a ∈ A, existe b ∈ A, tal que a+ b = 0 = b+ a;
P1. (Associatividade do produto): (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ A;
P2. (Distributividade do produto em relac¸a˜o a` soma): a · (b + c) = a · b + a · c e (a + b) · c = a · c + b · c,
∀a, b, c ∈ A;
e´ chamado um anel.
Notac¸a˜o usada para representar ane´is: (A,+, ·) ou simplesmente A quando na˜o houver du´vidas sobre
as operac¸o˜es usadas.
Definic¸a˜o 2.2. Um anel (A,+, ·) satisfazendo a propriedade:
P3. (Elemento neutro do produto): ∃ 1 ∈ A, chamado unidade, tal que, a · 1 = a = 1 · a, ∀a ∈ A, e´ chamdo
anel com unidade.
Definic¸a˜o 2.3. Um anel (A,+, ·) satisfazendo a propriedade:
P4. (Comutatividade do produto): a · b = b · a, ∀a, b ∈ A, e´ chamado anel comutativo.
31
32 CAPI´TULO 2. ANE´IS
Definic¸a˜o 2.4. Seja (A,+, ·) um anel comutativo. Dizemos que a ∈ A na˜o nulo e´ um divisor de zero se existir
b ∈ A tal que a · b = 0.
Definic¸a˜o 2.5. Se um anel (A,+, ·) satisfaz a propriedade:
P5. ∀ a, b ∈ A, a · b = 0⇒ a = 0 ou b = 0, dizemos que A e´ um anel sem divisores de zero.
Definic¸a˜o 2.6. Se (A,+, ·) for um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero, dizemos que A e´ um
domı´nio de integridade.
Definic¸a˜o 2.7. Seja (A,+, ·) um anel com unidade. Um elemento a ∈ A e´ dito invert´ıvel em A se existir b ∈ A
tal que a · b = 1 = b · a.
Definic¸a˜o 2.8. Seja (A,+, ·) um anel comutativo com unidade. Se:
P6. ∀ a ∈ A\{0}, existir b ∈ A tal que a · b = 1 = b · a, dizemos que A e´ um corpo.
O elemento b sera´ chamado inverso de a.
Exemplo 2.9. Z, Q, R e C sa˜o ane´is comutativos com unidade e sem divisores de zero, isto e´, sa˜o domı´nios
de integridade.
Exemplo 2.10. Q, R e C sa˜o corpos.
Exemplo 2.11. Seja n ∈ Z. O conjunto nZ := {kn; k ∈ Z}, com as operac¸o˜es de soma e produto de Z, e´ um
anel comutativo sem unidade e sem divisores de zero.
Exemplo 2.12. Seja n ∈ N. O conjunto Zn := {0, 1, · · · , n− 1}, onde m = {m+kn; k ∈ Z} e com as operac¸o˜es:
m+ p = m+ p e
m · p = m · p
e´ um anel comutativo com unidade e com divisores de zero se n na˜o for primo.
Exemplo 2.13. Z[
√
2] = {a+ b√2; a, b ∈ Z}, com as operac¸o˜es:
(a+ b
√
2) + (c+ d
√
2) = (a+ c) + (b+ d)
√
2 e
(a+ b
√
2) · (c+ d√2) = (ac+ 2bd) + (ad+ bc)√2
e´ um domı´nio de integridade que na˜o e´ um corpo.
Exemplo 2.14. Seja p ∈ Z um nu´mero primo. O conjunto Z[√p] = {a+ b√p; a, b ∈ Z}, com as operac¸o˜es:
(a+ b
√
p) + (c+ d
√
p) = (a+ c) + (b+ d)
√
p e
(a+ b
√
p) · (c+ d√p) = (ac+ pbd) + (ad+ bc)√p
e´ um domı´nio de integridade que na˜o e´ um corpo.
Exerc´ıcio: Determine os elementos invert´ıveis de Z[√p].
Exemplo 2.15. Seja p ∈ Z um nu´mero primo. O conjunto Q[√p] = {a+ b√2; a, b ∈ Q}, com as operac¸o˜es:
(a+ b
√
p) + (c+ d
√
p) = (a+ c) + (b+ d)
√
p e
(a+ b
√
p) · (c+ d√p) = (ac+ pbd) + (ad+ bc)√p
e´ um um corpo. Mostre!
Exemplo 2.16. Se i =
√−1, enta˜o Z[i] = {a+ bi; a, b ∈ Z}, com as operac¸o˜es:
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i e
(a+ bi) · (c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i
e´ um domı´nio de integridade tal que Z ⊂ Z[i] ⊂ C. Z[i] e´ chamado anel dos inteiros de Gauss.
Exerc´ıcio: Determine os elementos invert´ıveis de Z[i].
2.1. ANE´IS, DOMI´NIOS E CORPOS 33
Exemplo 2.17. Analogamente definimos Q[i] = {a + bi; a, b ∈ Q}. Enta˜o Q[i] e´ um um corpo tal que Q ⊂
Q[i] ⊂ C. Mostre!
Exemplo 2.18. Seja A = {f : R → R; f e´ uma func¸a˜o}, o conjunto de todas as func¸o˜es reais. Defina em A
as seguintes operac¸o˜es:
+ : A×A → A , onde (f + g)(x) = f(x) + g(x)∀ x ∈ R
(f, g) 7→ f + g
· : A×A → A , onde (f + g)(x) = f(x) + g(x)∀ x ∈ R.
(f, g) 7→ f · g
Verifique que A e´ um anel comutativo com unidade e com divisores de zero.
Exemplo 2.19. Seja A o conjunto de todas matrizes reais 2× 2, isto e´,
A =
{[
a b
c d
]
; a, b, c, d ∈ R
}
,
com as operac¸o˜es usuais de soma e produto de matrizes. Enta˜o A e´ um anel na˜o comutativo, com unidade e
com divisores de zero. Generalize para matrizes n× n.
Exemplo 2.20. Sejam A1, A2, . . . , An ane´is e
A1 ⊕A2 ⊕ . . .⊕An = {(a1, a2, . . . , an); ai ∈ Ai, ∀i = 1, 2, . . . , n}.
Em A1 ⊕A2 ⊕ . . .⊕An defina as seguintes operac¸o˜es:
(a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn) e
(a1, a2, . . . , an).(b1, b2, . . . , bn) = (a1.b1, a2.b2, . . . , an.bn).
Enta˜o A1 ⊕A2 ⊕ . . .⊕Ane´ um anel, chamado soma direta de A1, A2, . . . , An.
Exemplo 2.21. (Anel de polinoˆmios em uma varia´vel) Seja A um anel comutativo com unidade. Um
polinoˆmio em uma varia´vel sobre A e´ uma sequeˆncia
(a0, a1, . . . , an, . . .), onde ai ∈ A para todo ı´ndice e onde ai 6= 0
somente para um nu´mero finito de ı´ndices.
Seja A = { polinoˆmios numa varia´vel sobre A} e em A defina as seguintes operac¸o˜es de soma e produto,
respectivamente:
(a1, a2, . . . , an, . . .)⊕ (b1, b2, . . . , bn, . . .) = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn, . . .)
(a1, a2, . . . , an, . . .)� (b1, b2, . . . , bn, . . .) = (c1, c2, . . . , cn, . . .)
onde 
c0 = a0b0
c1 = a0b1 + a1b0
...
cn = a0bn + a1bn−1 + . . . an−1b1 + anb0
...
Enta˜o (A,⊕,�) e´ um anel comutativo onde
1. (0, 0, . . . , 0, . . .) e´ o elemento neutro da soma,
2. (1, 0, . . . , 0, . . .) e´ o elemento neutro do produto e
3. (−a0,−a1, . . . ,−an, . . .) e´ o sime´trico do elemento (a0, a1, . . . , an, . . .) ∈ A.
34 CAPI´TULO 2. ANE´IS
Observe que
(0, . . . , 0,
lugar n+ 1︸ ︷︷ ︸
an , 0, 0, . . .) = (an, 0, . . . , 0, . . .)� (0, . . . , 0,
lugar n+ 1︸ ︷︷ ︸
1 , 0, 0, . . .)
e que
(0, 1, . . . , 0, . . .)n = (0, . . . , 0,
lugar n+ 1︸ ︷︷ ︸
1 , 0, 0, . . .).
Portanto,
(a1, a2, . . . , an, 0, 0, . . .) = (a0, 0, . . . , 0, 0, . . .)
⊕(a1, 0, . . . , 0, 0, . . .)� (0, 1, 0, . . . , 0, 0, . . .)
⊕(a2, 0, . . . , 0, 0, . . .)� (0, 1, 0, . . . , 0, 0, . . .)2
⊕ . . .
⊕(an, 0, . . . , 0, 0, . . .)� (0, 1, 0, . . . , 0, 0, . . .)n
Chamando o polinoˆmio (0, 1, 0, . . . , 0, 0, . . .) de X, identificando o polinoˆmio (ai, 0, . . . , 0, 0, . . .) com o ele-
mento ai ∈ A e representando as operac¸o˜es ⊕ e � por + e . temos que o polinoˆmio (a1, a2, . . . , an, 0, 0, . . .) ∈ A
e´ igual a
a0 + a1X + . . .+ anX
n.
Enta˜o,
A = {
n∑
i=0
aiX
i; n ∈ N e ai ∈ A} := A[X].
Definic¸a˜o 2.22. Seja A um anel e seja p(X) = a0 + a1X + . . . + anX
n ∈ A[X] tal que an 6= 0. O inteiro n
e´ chamado o grau do polinoˆmio p(X) e an e´ chamado coeficiente l´ıder de p(X). Quando o coeficiente l´ıder de
p(X) for igual a 1, diremos que p(X) e´ moˆnico. Denotaremos o grau de um polinoˆmio p(X) ∈ A[X]\{0} por
deg(p(X)), gr(p(X)) ou ∂(p(X)).
Exemplo 2.23. Por induc¸a˜o, podemos definir o anel de polinoˆmios em k varia´veis sobre o anel A do seguinte
modo:
A[X1, X2, . . . , Xk] = (A[X1, X2, . . . , Xk−1])[Xk].
Para k = 2,
X1 = ((0, 1, 0, . . . , 0, 0, . . .), (0, 0, 0, . . . , 0, 0, . . .), . . . , (0, 0, 0, . . . , 0, 0, . . .), . . .)
e que
X2 = ((0, 0, 0, . . . , 0, 0, . . .), (1, 0, 0, . . . , 0, 0, . . .), . . . , (0, 0, 0, . . . , 0, 0, . . .), . . .)
de modo que todo polinoˆmio em A[X1, X2] se escreve como
a0(X1) + a1(X1)X2 + . . . an(X1)X2
onde 
a0(X1) = a00 + a01X1 + a02X
2
1 + . . .
a1(X1) = a10 + a11X1 + a12X
2
1 + . . .
...
an(X1) = an0 + an1X1 + an2X
2
1 + . . .
2.1.2 Propriedades de um anel
Seja (A,+, ·) um anel qualquer.
Definic¸a˜o 2.24. Dados a, b ∈ A, definimos a diferenc¸a entre a e b, denotada por a− b, por a+ (−b).
Proposic¸a˜o 2.25. Seja (A,+, ·) um anel. Sa˜o va´lidas em (A,+, ·) as seguintes propriedades, quaisquer que
sejam a, b, c ∈ A:
1. O elemento neutro da adic¸a˜oe´ u´nico.
2.1. ANE´IS, DOMI´NIOS E CORPOS 35
2. O sime´trico de um elemento a e´ u´nico e sera´ denotado por −a. Enta˜o, −(−a) = a, ∀a ∈ A.
3. a+ b = a+ c⇔ b = c
4. 0 · a = a · 0 = 0.
5. −(a · b) = (−a) · b = a · (−b).
6. (−a) · (−b) = a · b.
7. a · (b− c) = a · b− a · c e (b− c) · a = b · a− c · a.
Ale´m disso, se existir a unidade 1 ∈ A, enta˜o:
8. A unidade 1 ∈ A e´ u´nica.
9. O inverso de um elemento na˜o nulo a ∈ A e´ u´nico e sera´ denotado por a−1.
10. (−1) · a = −a.
11. (−1) · (−1) = 1.
12. (−1) · (−a) = a.
2.1.3 Carcater´ıstica de um anel
Definiremos a seguir mu´ltiplos num anel.
Definic¸a˜o 2.26. Seja (A,+, ·) um anel. Se a ∈ A e n ∈ Z definimos:
n · a =
 0 se n = 0(n− 1)a+ a se n > 0
(−n)a se n < 0
Exercicio: Mostre qu´e se m,n ∈ Z e a, b ∈ A, enta˜o:
1. (ma) · (nb) = (mn)a,
2. m(−a) = −(na),
3. m(a · b) = (ma) · b = a · (mb).
Definic¸a˜o 2.27. A carcter´ıstica de um anel A, denotada por char(A), e´ o menor inteiro positivo m tal que
ma = 0A, ∀ a ∈ A. Se na˜o existir tal inteiro dizemos que a carcter´ıstica de A e´ zero.
Exemplo 2.28. char(Z) = char(Q) = char(R) = 0.
Exemplo 2.29. char(Zn) = n.
Exemplo 2.30. Seja A um anel, enta˜o char(A[x]) = char(A).
Proposic¸a˜o 2.31. (Caracter´ıstica de um anel com unidade) Seja A um anel com unidade. Se n1A 6= 0A,
∀n ∈ N enta˜o char(A) = 0. Se n for o menor inteiro positivo tal que n1A = 0, enta˜o char(A) = n.
Proposic¸a˜o 2.32. (Caracter´ıstica de um domı´nio de integridade) A caracter´ıstica de um domı´nio de integridade
e´ zero ou um nu´mero primo.
36 CAPI´TULO 2. ANE´IS
2.1.4 Subane´is
Definic¸a˜o 2.33. Sejam (A,+, ·) um anel e B um subconjunto na˜o vazio de A. Se B for fechado em relac¸a˜o a`s
operac¸o˜es de A, isto e´,
i) ∀ x, y ∈ B, x+ y ∈ B,
ii) ∀ x, y ∈ B, x · y ∈ B e
(B,+, ·) for um anel, diremos que B e´ um subanel de A.
Notac¸a˜o para subane´is: B ≤ A.
Proposic¸a˜o 2.34. Sejam (A,+, ·) um anel e B um subconjunto na˜o vazio de A. Enta˜o, B e´ um subanel de A,
se e somente se,
i) 0A ∈ B;
ii) ∀ x, y ∈ B, x · y ∈ B;
iii) ∀ x, y ∈ B, x− y ∈ B;
Exemplos:
1. nZ ≤ Z ≤ Q ≤ R ≤ C.
2. nZ ≤ Z ≤ Z[√p] ≤ Q[√p].
3. Seja A o conjunto de todas matrizes reais 2× 2 com as operac¸o˜es usuais de soma e produto de matrizes.
O conjunto
B =
{[
a 0
0 b
]
; a, b ∈ R
}
e´ um subanel de A.
Observac¸a˜o: No exemplo acima, B ≤ A, 1A =
[
1 0
0 1
]
∈ B ⇒ 1B = 1A.
4. Seja A = {f : R → R; f e´ uma func¸a˜o} com a soma e o produto usuais de func¸o˜es. O subconjunto
B = {f ∈ A; f(0) = 0} e´ um subanel de A.
Observac¸a˜o: No exemplo acima, B ≤ A, 1B e´ a func¸a˜o tal que 1B(x) = 1 se x 6= 0 e 1B(0) = 0, isto e´,
1B 6= 1A 6∈ B.
5. Seja A o conjunto de todas matrizes 2×2 sobre Z com as operac¸o˜es usuais de soma e produto de matrizes.
O conjunto
B =
{[
a 0
0 0
]
; a ∈ Z
}
e´ um subanel de A.
Observac¸a˜o: No exemplo acima, B ≤ A, 1B =
[
1 0
0 0
]
e
1B =
[
1 0
0 0
]
6= 1A =
[
1 0
0 1
]
.
Definic¸a˜o 2.35. Seja (B,+, ·) um subanel de um corpo (K,+, ·). Se (B,+, ·) for um corpo diremos que B e´
um subcorpo de K.
Proposic¸a˜o 2.36. Num domı´nio de integridade D, as u´nicas soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2 = x sa˜o 0 e 1.
Corola´rio 2.37. Sejam D um domı´nio de integridade e B um subanel de D com unidade. Enta˜o, 1D = 1B.
2.1. ANE´IS, DOMI´NIOS E CORPOS 37
2.1.5 Ideais
Definic¸a˜o 2.38. Sejam (A,+, .) um anel. Um subconjunto na˜o vazio I de A e´ chamado um ideal a` direita de
A se:
i) x− y ∈ I, ∀x, y ∈ I;
ii) xa ∈ I, ∀a ∈ A e ∀x ∈ I ( Simbolicamente, I A ⊂ I).
I e´ chamado um ideal a` esquerda de A se:
i) x− y ∈ I, ∀x, y ∈ I;
ii) ax ∈ I, ∀a ∈ A e ∀x ∈ I ( Simbolicamente, AI ⊂ I).
I e´ chamado um ideal de A se I for simultaneamente um ideal a` direita e a` esquerda de A.
Exemplo 2.39. {0} e A sa˜o ideais de A.
Exemplo 2.40. 2Z e´ um ideal de Z.
Exemplo 2.41. Seja A o anel das func¸o˜es reais. O subconjunto I = {f ∈ A; f(1) = 0} e´ um ideal de A.
Exemplo 2.42. Seja A = M2(R) o anel das matrizes reais 2× 2 . O subconjunto I de A definidos por:
I =
{[
a 0
b 0
]
; a, b ∈ R
}
e´ um ideal a` esquerda de A e o subconjunto J definido por:
J =
{[
a b
0 0
]
; a, b ∈ R
}
e´ um ideal a` direita de A mas nenhum dos dois e´ um ideal de A.
Contra-exemplos:
Exemplo 2.43. Z na˜o e´ um ideal de Q.
Exemplo 2.44. I = {(a, a); a ∈ Z} na˜o e´ um ideal de Z× Z.
Ideais gerados
Seja A um anel comutativo e S um subconjunto de A. O ideal gerado por S, denotado por 〈S〉, e´ definido
por:
〈S〉 := {
n∑
i=1
aixi; i ∈ N, ai ∈ A, xi ∈ S}.
Para S = {x1, x2, · · · , xn} ⊂ A finito, temos que
〈S〉 = {
n∑
i=1
aixi; ai ∈ A} = Ax1 +Ax2 + · · ·+Axn
que e´ ususalmente denotado por I = 〈x1, x2, . . . , xn〉.
O ideal I = 〈x1〉 = {ax1; a ∈ A} e´ chamado um ideal principal de A.
Definic¸a˜o 2.45. Se todos os ideais de um anel comutativo forem principais, dizemos que este anel e´ um anel
principal.
38 CAPI´TULO 2. ANE´IS
Observac¸a˜o: Se A tiver unidade, o ideal gerado por S, e´ o menor ideal de A contendo S.
Exemplo 2.46. 4Z = 〈2〉 em 2Z, mas 2 6∈ 4Z.
Definic¸a˜o 2.47. Todo ideal de Z e´ principal, isto e´, Z e´ um anel principal.
Definic¸a˜o 2.48. O anel de polinoˆmios em uma varia´vel Z[X] na˜o e´ um principal. De fato, I = 〈2, x〉 e´ um
ideal de Z[x] que na˜o e´ principal.
A seguir daremos uma caracterizac¸a˜o de corpos usando ideais.
Teorema 2.49. Um anel comutativo com unidade K e´ um corpo, se e somente se, os u´nicos ideais de K sa˜o
{0} e K.
Ideais primos e maximais
Definic¸a˜o 2.50. Sejam A um anel comuativo com unidade e I um ideal pro´prio de A, isto e´, I 6= A e I 6= 0.
Dizemos que I e´ um ideal primo de A se:
∀ x, y ∈ A, x · y ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I.
Exemplo 2.51. Seja p ∈ Z um nu´mero primo. Enta˜o, pZ e´ um ideal primo de Z.
Exemplo 2.52. Seja A o anel das func¸o˜es reais f : R→ R. O ideal I = {f ∈ A; f(1) = 0} e´ um ideal primo
de A.
Exemplo 2.53. I = {(a, 0); a ∈ Z} e´ um ideal primo de Z× Z.
Exemplo 2.54. (Contra-exemplo) 4Z na˜o e´ um ideal primo de Z.
Definic¸a˜o 2.55. Seja A um anel comutativo com unidade. Um ideal M de A e´ chamado um ideal maximal de
A se M 6= A e os u´nicos ideais de A que conteˆm M sa˜o M e A, isto e´,
M ⊆ J ⊆ A, J ideal ⇒M = J ou M = A.
Exemplo 2.56. Seja p ∈ Z um nu´mero primo. Enta˜o, pZ e´ um ideal maximal de Z. Seja A o anel das func¸o˜es
reais f : R→ R. O ideal I = {f ∈ A; f(1) = 0} e´ um ideal maximal de A.
Exemplo 2.57. (Contra-exemplo) I = {(a, 0); a ∈ Z} na˜o e´ um ideal maximal de Z× Z
2.1.6 Anel quociente
Sejam A um anel e I um ideal de A. Definimos em A a seguinte relac¸a˜o de equivaleˆncia:
x, x′ ∈ A, x ≡ x′ (mod I)⇔ x− x′ ∈ I.
E´ fa´cil ver que que a relac¸a˜o ≡ (mod I) e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A.
Denotemos por x = {x′ ∈ A;x′ ≡ x (mod I)}, a classe de equivaleˆncia de x ∈ A. Enta˜o, x′ ∈ x⇔ x′ − x ∈
I ⇔ x′ − x = y ∈ I ⇔ x ∈ {x+ y; y ∈ I} := x+ I. Assim, tambe´m denotamos x por x+ I, isto e´, x = x+ I.
O conjunto A/I = {x;x ∈ A} das classes de equivaleˆncia mo´dulo I sera´ chamado conjunto quociente de A
pelo ideal I.
2.1. ANE´IS, DOMI´NIOS E CORPOS 39
Definic¸a˜o 2.58. Dado um anel A, seja I = {0}. Enta˜o, ∀x ∈ A,
x = {x′ ∈ A;x′ ≡ x (mod I)} = {x′ ∈ A;x′ − x ∈ I = {0}} = {x′ ∈ A;x′ = x} = {x}.
Logo, A/I = A.
Definic¸a˜o 2.59. Dado um anel A, seja I = A. Enta˜o, ∀x ∈ A,
x = {x′ ∈ A;x′ ≡ x (mod I)} = {x′ ∈ A;x′ − x ∈ I = A} = {x′ ∈ A} = A.
Logo, A/I = {0} = {a}, ∀ a ∈ A.
Definic¸a˜o 2.60. Dado n ∈ N, seja I = 〈n〉 ⊂ Z. Enta˜o,∀m ∈ Z, m = {m′ ∈ Z;m′ ≡ m (mod I)} = {m′ ∈
Z;m′ −m ∈ 〈n〉} = {m′ ∈ Z;m′ −m = kn, k ∈ Z} = {m+ kn; k ∈ Z}. Logo, A/〈n〉 = {0, 1, · · · , n− 1} = Zn.
Definic¸a˜o 2.61. Dado o anel A = Z[x], seja I = 〈2, x〉. Para todo p(x) ∈ Z[x],
p(x) = {q(x) ∈ Z[x]; q(x) ≡ p(x) (mod I)} = {q(x) ∈ Z[x]; q(x)− p(x) ∈ I}.Escrevendo p(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0, com an, · · · , a1, a0 ∈ Z e a0 = 2q + r, com 0 ≤ r < 2,
teremos p(x)− r = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ 2q ∈ I ⇒ p(x) = r. Logo, A/I = {0, 1}.
O pro´ximo passo e´ tentar definir em A/I uma soma e um produto. Para isto, vamos precisar da seguinte
proposic¸a˜o.
Proposic¸a˜o 2.62. Sejam A um anel e I um ideal de A. Se x ≡ x′ (mod I) e y ≡ y′ (mod I), enta˜o:
i) x+ y ≡ x′ + y′ (mod I);
ii) x · y ≡ x′ · y′ (mod I).
Corola´rio 2.63. Sejam A um anel e I um ideal de A. Se x = x′ e y = y′, enta˜o:
i) x+ y = x′ + y′;
ii) x · y = x′ · y′.
Teorema 2.64. Sejam A um anel e I um ideal de A. Defina em A/I as seguintes operac¸o˜es:
+ : A/I ×A/I → A/I
(x, y) 7→ x+ y
· : A/I ×A/I → A/I
(x, y) 7→ x · y
i) (A/I,+, ·) e´ um anel chamado anel quociente de A pelo ideal I.
ii) Se A for um anel com unidade, (A/I,+, ·) sera´ um anel com unidade.
iii) Se A for um anel comutativo, (A/I,+, ·) sera´ um anel comutativo.
2.1.7 Homomorfismos de ane´is
As aplicac¸o˜es naturais entre ane´is, isto e´, as aplicac¸o˜es que preservam as operac¸o˜es de ane´is, sa˜o chamados
homomorfismos.
Definic¸a˜o 2.65. Um homomorfismo f de um anel A num anel B e´ uma func¸a˜o f : A→ B satisfazendo:
i) f(x+ y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ A;
ii) f(x · y) = f(x) · f(y), ∀x, y ∈ A.
40 CAPI´TULO 2. ANE´IS
Um homomorfismo bijetor entre os ane´is A e B sera´ chamado um isomorfismo e, neste caso, dizemos que os
ane´is A e B sa˜o ismorfos. Se A e B sa˜o isomorfos escrevemos A ' B.
Os homomorfismos de um anel A nele mesmo sa˜o chamados endomorfismos e os isomorfismos de A em A
sa˜o chamados automorfismos de A.
Notac¸o˜es:
End(A) = {f : A→ A; f endomorfismo }
Aut(A) = {f : A→ A; f automorfismo }.
Antes de darmos exemplos de homomorfismos de ane´is veremos as propriedades elementares de um homo-
morfismo de ane´is.
Proposic¸a˜o 2.66. Sejam A e B ane´is e f : A→ B um homomorfismo. Enta˜o:
1) f(0A) = f(0B).
2) f(−a) = −f(a), ∀a ∈ A.
3) Se A e B sa˜o domı´nios de integridade enta˜o f = 0 ou f(1A) = 1B.
4) Se A e B sa˜o corpos enta˜o f = 0 ou f e´ injetiva.
5) Im(f) = {f(a); a ∈ A} e´ um subanel de B.
6) Ker(f) = {a ∈ A; f(a) = 0} e´ um ideal de A e f e´ injetor ⇔ Ker(f) = {0}.
Exemplo 2.67. Sejam A e B ane´is. A func¸a˜o f : A → B dada por f(x) = 0B, ∀x ∈ A e´ um homomorfismo
de ane´is.
Exemplo 2.68. Seja n un inteiro positivo. A func¸a˜o f : Z→ Zn dada por f(a) = a, ∀a ∈ Z e´ um homomorfismo
de ane´is.
Exemplo 2.69. A func¸a˜o f : Z4 → Z10 dada por f(a) = 5a, ∀ a ∈ Z4 e´ um homomorfismo de ane´is.
Exemplo 2.70. Considere o anel B =
{[
a 2b
b a
]
; a, b ∈ Z
}
e f : Z[
√
2]→ B dada por
f(a+ b
√
2) =
[
a 2b
b a
]
.
Enta˜o f e´ um isomorfismo de ane´is.
Exemplo 2.71. Considere o anel B =
{[
a b
−b a
]
; a, b ∈ Z
}
e f : C→ B dada por
f(a+ bi) =
[
a b
−b a
]
.
Enta˜o f e´ um isomorfismo de ane´is.
2.2. ANE´IS EUCLIDIANOS 41
Exemplo 2.72. Aut(Z) = {IdZ}.
Exemplo 2.73. Aut(Q) = {Id
Q
}.
Exemplo 2.74. Aut(R) = {Id
R
}.
Exemplo 2.75. Aut(C) = {IdC, φ}, onde φ : C→ C e´ dada por φ(a+ bi) = a− bi.
Teorema 2.76. (1o Teorema dos Isomorfismos) Sejam A e B ane´is e f : A → B um homomorfismo. Enta˜o:
Os ane´is Im(f) e A/ker(f) sa˜o isomorfos.
2.2 Ane´is Euclidianos
Definic¸a˜o 2.77. Dizemos que um anel comutaivo A e´ um anel euclidiano se existir uma func¸a˜o φ : A\{0} → N
tal que
(i) se a, b ∈ A\{0} e ab 6= 0, enta˜o φ(a) ≤ φ(ab);
(ii) se a, b ∈ A e b 6= 0, enta˜o existem q, r ∈ A tais que
a = bq + r com r = 0 ou φ(r) < φ(b).
Um anel euclidiano que e´ um domı´nio de integridade e´ chamado um domı´nio euclidiano.
Exemplo 2.78. Z com a func¸a˜o valor absoluto e´ um domı´nio euclidiano.
Exemplo 2.79. Z[i] com a func¸a˜o valor norma N : Z[i] → N definida por N(a + bi) = a2 + b2 e´ um domı´nio
euclidiano.
Exemplo 2.80. Seja K um corpo. O anel de polinoˆmios em uma varia´vel com coeficientes em K, K[X], com
a func¸a˜o grau e´ um domı´nio euclidiano.
42 CAPI´TULO 2. ANE´IS
2.2.1 Ideais em ane´is euclidianos
Teorema 2.81. Seja (A, φ) um anel euclidiano e seja I um ideal de A. Enta˜o existe a ∈ A tal que I = 〈a〉.
Observac¸a˜o 2.82. O teorema anterior mostra que todo domı´nio euclidiano e´ um domı´nio de ideais principais,
ito e´,
DE ⇒ DIP .
Corola´rio 2.83. Todo anel eucliano e´ um anel com unidade.
2.2.2 Existeˆncia do mdc em ane´is euclidianos
Definic¸a˜o 2.84. Seja A um anel comutativo. Se a, b ∈ A e a 6= 0, dizemos que a divide b e escrevemos a|b se
existir c ∈ A tal que a = bc. Dizemos que a e b sa˜o associados se
a|b e b|a.
Exerc´ıcio: Seja D um domı´nio de integridade. Mostre que a e b sa˜o associados se e somente se existir u ∈ D
invert´ıvel tal que a = ub.
Definic¸a˜o 2.85. Seja A um anel comutativo e sejam a, b ∈ A. Dizemos que d ∈ A e´ um ma´ximo divisor comum
de a e b se:
(i) d|a e d|b;
(ii) se d′|a e d′|b enta˜o d′|d.
Notac¸a˜o: d = mdc(a, b).
Exemplo 2.86. Em Z10 temos que 2¯ = mdc(4¯, 6¯) e 6¯ = mdc(4¯, 6¯).
Exemplo 2.87. Num anel qualquer pode na˜o existir ma´ximo divisor comum de dois elementos. Por exemplo,
em 2Z na˜o existe mdc(2, 4).
Exemplo 2.88. Em Z[
√
3i] na˜o existe mdc(2(1−√3i), 4). Para isto observe que
4 = 2.2 = (1−
√
3i)(1 +
√
3i).
Exerc´ıcio: Sejam D um domı´nio de integridade e a, b ∈ D. Mostre que dois ma´ximos divisores comuns de a e
b em D sa˜o associados.
2.2. ANE´IS EUCLIDIANOS 43
Teorema 2.89. Seja A um anel comutativo que e´ um anel de ideais principais. Dois elementos a, b ∈ A sempre
teˆm um ma´ximo divisor comum. Ale´m disso, se d = mdc(a, b) existem λ, β ∈ A tais que
d = λa+ βb.
Corola´rio 2.90. Sempre existe ma´ximo divisor comum de dois elementos em um anel euclidiano.
2.2.3 Fatorac¸a˜o u´nica em ane´is euclidianos
Definic¸a˜o 2.91. Seja A um anel comutativo com unidade. Um elemento a ∈ A\{0} e´ dito irredut´ıvel em A
se:
1. a na˜o e´ invert´ıvel em A;
2. a = bc⇒ c e´ invert´ıvel ou b e´ invert´ıvel.
Um elemento p ∈ A\{0} e´ dito primo se:
1. p na˜o e´ invert´ıvel em A;
2. e p| ab⇒ p| a ou p| b.
Lema 2.92. Seja D um domı´nio de integridade. Enta˜o todo elemento primo e´ irredut´ıvel em D.
Observac¸a˜o 2.93. A rec´ıproca do Lema (2.92) na˜o e´ verdadeira em geral. Por exemplo, 1−√3i e´ irredut´ıvel
em Z[
√
3i] mas na˜o e´ primo, ja´ que 2.2 = (1−√3i)(1 +√3i), mas 2 na˜o divide 1−√3i. Verifique!
44 CAPI´TULO 2. ANE´IS
Lema 2.94. Em um domı´nio euclidiano D todo elemento irredut´ıvel e´ primo.
Lema 2.95. Seja D um domı´nio euclidiano e sejam a, b ∈ D\{0}. Se b na˜o for invert´ıvel em D enta˜o
d(a) < d(ab).
Dem: Como em D temos sempre d(a) ≤ d(ab), para todo a, b ∈ D\{0}, devemos mostrar que d(a) 6= d(ab), se
b na˜o for invert´ıvel. Suponhamos por absurdo que d(a) = d(ab). Enta˜o, como ab ∈ 〈a〉 e d(a) = d(ab) ter´ıamos
〈a〉 = 〈ab〉. Logo
a = x(ab)⇒ 1 = xb⇒ b invert´ıvel. Absurdo!
Definic¸a˜o 2.96. Um domı´nio de integridade D e´ chamado um domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica (DFU) se:
(i) todo elemento na˜o nulo e na˜o invert´ıvel em D e´ produto finito de elementos irredut´ıveis,
(ii) se p1, p2, . . . , pr e q1, q2, . . . , qs sa˜o elementos irredut´ıveis em D tais que
p1p2 . . . pr = q1q2 . . . qs
enta˜o r = s e cada pi, para 1 ≤ i ≤ r, e´ associado a um qj para algum j ∈ {1, 2, . . . , s}.
Teorema 2.97. Todo domı´nio euclidiano (D,φ) e´ um domı´nio de fotorac¸a˜o u´nica.
Dem: (Existeˆncia da fatorac¸a˜o) Dado a ∈ D um elemento na˜o nulo e na˜o invert´ıvel, faremos induc¸a˜o em φ(a).
Para comec¸ar a induc¸a˜o vamos mostrar que se
φ(b) = min{φ(δ); δ ∈ D\{0} e δ e´ na˜o invert´ıvel }
enta˜o b e´ irredut´ıvel em D. De fato, se b = xy com x, y na˜o invert´ıveis, pelo Lema (2.95), temos
φ(x) < φ(xy = b) = min{φ(δ); δ ∈ D\{0} e δ e´ na˜o invert´ıvel }.
Supondo que todo elemento b ∈ D na˜o nulo e na˜o invert´ıveltal que φ(b) < φ(a) e´ produto de irredut´ıveis
vamos mostrar que a tambe´m e´. Se a for irredut´ıvel nada temos a fazer. Se a na˜o for irredut´ıvel, enta˜o a = xy
com x, y na˜o invert´ıveis. Pelo Lema (2.95), φ(x) < φ(a) e φ(y) < φ(a), o que implica, pela hipo´tese de induc¸a˜o,
que x e y sa˜o produtos de irredut´ıveis. Logo a tambe´m o e´.
(Unicidade) Se a = p1p2 . . . pr = q1q2 . . . qs, como D e´ um domı´nio euclidiano e, em domı´nio euclidianos,
todo irredut´ıvel e´ primo, temos que p1|qj para algum 1 ≤ j ≤ s. Podemos supor sem perda de generalidade
que j = 1. Enta˜o q1 = up1 e u tem que ser invert´ıvel pois q1 e p1 sa˜o irredut´ıveis. Por induc¸a˜o em r temos que
r = s e que cada pi, para 1 ≤ i ≤ r e´ associado a um qj para algum 1 ≤ j ≤ s.
Observac¸a˜o 2.98. Vimos que DE⇒ DIP, DIP6⇒ DE e que DE⇒ DFU. Veremos a seguir que DFU 6⇒ DE.
Por exemplo, veremos a seguir que Z[X] e´ um DFU e sabemos que Z[X] na˜o e´ DE.
2.2. ANE´IS EUCLIDIANOS 45
2.2.4 Fatorac¸a˜o u´nica em ane´is de polinoˆmios
Sabemos que Q[X] e´ um domı´nio euclidiano e que Z[X] na˜o e´, ja´ que ele na˜o e´ um DIP. No entanto, podemos
perguntar se Z[x] e´ um domı´nio fatorial, ou seja, um domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica? A resposta e´ sim.
Teorema 2.99. (Gauss) Seja D um domı´nio fatorial. Enta˜o D[X] e´ um domı´nio fatorial.
Para demonstrar o Teorema de Gauss precisaremos fazer alguns resultados, mas aplicac¸o˜es sucessivas dele
nos da´ o seguinte cor0la´rio.
Corola´rio 2.100. Seja D um domı´nio fatorial. Enta˜o D[X1, X2, . . . , Xn] e´ um domı´nio fatorial.
Na sequeˆncia para mostrarmos o Teorema de Gauss vamos precisar definir corpo de frac¸o˜es de um domı´nio
de integridade.
Dado um domı´nio de integridade D procuramos um corpo K, contendo D, tal que ∀ξ ∈ K, existam α, β ∈ D
tais que
ξ =
β
α
:= β(α)−1 ⇒ ∀ ξ ∈ K,∃ α ∈ D tal que αξ ∈ D.
Proposic¸a˜o 2.101. Seja (D,+, ·) um domı´nio de integridade.
(1) Existe um corpo (K,⊕,�) tal que
(a) (D,+, ·) ⊂ (K,⊕,�), isto e´, a inclusa˜o de D em K e´ um homomorfismo;
(b) ∀ ξ ∈ K, ∃ α, β ∈ D, α 6= 0 tais que ξ = β � α−1.
(2) Se (K1,⊕1,�1) e (K2,⊕2,�2) forem dois corpos satisfazendo (a) e (b), enta˜o eles sa˜o isomorfos.
46 CAPI´TULO 2. ANE´IS
O item (2) da Proposic¸a˜o (2.101) diz que a menos de isomorfismos existe um u´nico corpo K satisfazendo
as condic¸o˜es (a) e (b). Tal corpo K sera´ chamado corpo de frac¸o˜es de D e algumas vezes sera´ denotado por
K = Fr(D).
o pro´ximo passo e´ estudar a relac¸a˜o entre irredutibilidade em D[X] e em K[X], onde K = Fr(D).
Observe que em Z[X] e Q[X] temos:
1. p(X) = 2(X + 1) e´ redut´ıvel em Z[X] mas e´ irredut´ıvel em Q[X];
2. veremos que p(X) irredut´ıvel em Z[X] implica p(X) irredut´ıvel em Q[X];
3. veremos que p(X) redut´ıvel em Q[X] implica p(X) redut´ıvel em Z[X] e
4. p(X) = 2(X + 1) e´ irredut´ıvel em Z[X] mas e´ redut´ıvel em Q[X];
Definic¸a˜o 2.102. Seja D um domı´nio fatorial e seja f(X) = anX
n + . . .+ a1X + a0 ∈ D[X]. O conteu´do de
f(X), denotado por c(f(X)), e´ o mdc(an, . . . , a0). Dizemos que f(X) e´ primitivo em D[X] se c(f(X)) for um
elemento invert´ıvel em D, isto e´, se f(X) na˜o tiver um fator na˜o trivial de grau zero.
Exemplo 2.103. Se f(X) = 8X5 + 6X2 + 2X + 4 ∈ Z[X] enta˜o c(f(X)) = 2.
Exemplo 2.104. Se f(X) = X9 + 6X4 + 3X3 + 5 ∈ Z[X] enta˜o c(f(X)) = 1 e f(X) e´ primitivo.
Exerc´ıcio: Seja D um domı´nio fatorial e seja K seu corpo de frac¸o˜es.
1. Se f(X) ∈ D[X], enta˜o
f(X) = c(f(X))f1(X), com f1(X) primitivo em D[X].
2. Se f(X) ∈ D[X] e d ∈ D, enta˜o
c(d · f(X)) = d · c(f(X)).
3. Se f(X) ∈ K[X], enta˜o existem a, b ∈ D, b 6= 0 tais que
f(X) =
a
b
f1(X), com f1(X) primitivo em D[X].
Lema 2.105. (Lema de Gauss) Seja D um domı´nio fatorial e seja K seu corpo de frac¸o˜es.
1. Se f(X), g(X) ∈ D[X], enta˜o
c(f(X)g(X)) = c(f(X)) · c(g(X)).
2. Se g(X) ∈ D[X] tem grau ≥ 1 , enta˜o g(X) e´ irredut´ıvel em D[X] se e somente se g(X) e´ primitivo em
D[X] e irredut´ıvel em K[X].
3. Se g(X) e h(X) sa˜o primitivos em D[X], enta˜o g(X) e h(X) sa˜o associados em D[X] se e somente se
g(X) e h(X) sa˜o associados em K[X].
Demonstrac¸a˜o do Teorema de Gauss.
Dem: Existeˆncia da fatorac¸a˜o:
2.3. ANEL DE POLINOˆMIOS EM UMA VARIA´VEL 47
Unicidade da fatorac¸aa˜o:
2.3 Anel de polinoˆmios em uma varia´vel
Proposic¸a˜o 2.106. Sejam A um anel comutativo com unidade e p(x), q(x) ∈ A[x]− {0}. Enta˜o:
1. ∂(p(x) + q(x)) ≤ max{∂(p(x)), ∂(q(x))}.
2. ∂(p(x) · q(x)) ≤ ∂(p(x)) + ∂(q(x)).
3. ∂(p(x) · q(x)) = ∂(p(x)) + ∂(q(x)) se A for um domı´nio de integridade.
Corola´rio 2.107. Se A for um domı´nio de integridade enta˜o A[x] sera´ um domı´nio de integridade.
48 CAPI´TULO 2. ANE´IS
A seguir definimos ane´is de polinoˆmios em va´rias varia´veis.
Seja A um anel comutativo com unidade. Definimos o anel de polinoˆmios nas varia´veis x1, x2, · · · , xn sobre
A, denotado por A[x1, x2, · · · , xn], da seguinte forma:
A[x1, x2, · · · , xn] := (A[x1, x2, · · · , xn−1])[xn].
Segue da definic¸a˜o de polinoˆmios em uma varia´vel que xi · xj = xj · xi, ∀ 1 ≤ i, j ≤ n.
Exemplo: O anel de polinoˆmios em duas varia´veis x e y e´ o conjunto de elementos da forma p(x, y) =
a0(x) + a1(x)y + · · · + am(x)ym · · ·, onde ai(x) ∈ A[x], ∀ i ∈ N e existe n ∈ N tal que ai(x) = 0, ∀i > n.
Usando que x · y = y ·x e a associatividade de A[x, y], podemos escrever um elemento p(x, y) ∈ A[x, y] de va´rias
maneiras. Por exemplo:
p(x, y) = (1 + x2) + (3 + 2x+ 2x3)y + (x− 2x2)y2 = (1 + 3y) + (2y + y2)x+ (1− 2y2)x2 + (2y)x3.
2.3.1 Algoritmo da divisa˜o em A[x]
Teorema 2.108. Seja A um anel comutativo com unidade e sejam f(x) e g(x) polinoˆmios em A[x]. Se o
coeficiente l´ıder de g(x) for invert´ıvel em A, existem u´nicos q(x) e r(x) ∈ A[x] tais que
f(x) = g(x)q(x) + r(x)
e r(x) = 0 ou ∂(r(x)) < ∂(g(x)).
Corola´rio 2.109. Seja K um corpo. Dados f(x), g(x) ∈ K[x] com g(x) 6= 0 existem u´nicos q(x) e r(x) ∈ A[x]
tais que
f(x) = g(x)q(x) + r(x)
e r(x) = 0 ou ∂(r(x)) < ∂(g(x)).
2.3. ANEL DE POLINOˆMIOS EM UMA VARIA´VEL 49
Teorema 2.110. Seja K um corpo. Enta˜o, K[x] e´ um domı´nio de ideais principais, isto e´, todo ideal de K[x]
e´ principal.
Observac¸a˜o: E´ essencial a hipo´tese de K ser um corpo. Em Z[x], o ideal I = 〈x, 2〉 na˜o e´ principal.
A seguir mostraremos a existeˆncia do ma´ximo divisor comum em K[x]. Para isto, faremos a definic¸a˜o de
ma´ximo divisor comum num anel A.
Definic¸a˜o 2.111. Sejam A um anel e a, b ∈ A, com b 6= 0. Dizemos que b divide a, e escrevemos b|a, se existir
q ∈ A tal que a = bq.
Definic¸a˜o 2.112. Sejam A um anel e a, b ∈ A. Dizemos que d e´ um ma´ximo divisor comum (mdc) de a e b se:
1. d|a e d|b, i.e., d divide a e divide b;
2. se d′|a e d′|b, enta˜o d′|d.
Observac¸o˜es:
1. Pode na˜o existir um ma´ximo divisor comum de a, b ∈ A. Por exemplo, em A = 2Z, na˜o existe ma´ximo
divisor comum entre 2, 4 ∈ Z.
2. Ma´ximo divisor comum entre dois elementos pode na˜o ser u´nico. Por exemplo, em Z10, 2¯ e 6¯ sa˜o ma´ximos
divisores comuns de 4¯ e 6¯. De fato,
4¯ = 2¯ · 2¯, 6¯ = 2¯ · 3¯ e, se d¯ | 4¯ e d¯ | 6¯, enta˜o d¯|2¯ = 6¯− 4¯.
Ale´m disso, temos tambe´m que:
4¯ = 6¯ · 4¯, 6¯ = 6¯ · 1¯ e, se d¯ | 4¯ e d¯ | 6¯, enta˜o d¯ | 6¯.
Definic¸a˜o 2.113. Seja A um anel comutativo com unidade. Dizemos que a e b sa˜o associados em A, se existir
u ∈ A invert´ıvel tal que a = ub.
50 CAPI´TULO 2. ANE´IS
Exerc´ıcio: Sejam D um domı´nio de integridade e a, b ∈ D. Mostre que dois ma´ximos divisores comuns de a e
b em D sa˜o associados.
Teorema 2.114. (Existeˆncia do mdc) Seja K um corpo. Dados p(x), q(x) ∈ K[x]− {0}, seja I = 〈p(x), q(x)〉,
o ideal em K[x] gerado por p(x) e q(x). Enta˜o sa˜o va´lidas as seguintes afirmac¸o˜es:
1. existe d(x) ∈ K[x] tal que I = 〈d(x)〉;
2. d(x) e´ um ma´ximo divisor comum de p(x) e q(x);
3. existem a(x), b(x) ∈ k[x] tais que
d(x) = p(x)a(x) + q(x)b(x)..
2.3.2 Ra´ızes de polinoˆmios
Sejam A um anel comutativo com unidade e p(x) = a0 + a1x + · · · + xn ∈ A[x] um polinoˆmio na˜o nulo.
Dizemos que α ∈ A e´ uma raiz de p(x) se
p(α) := a0 + a1α+ · · ·+ αn = 0 ∈ A.
Exemplo: p(x) = x3 − 2 ∈ Q[x] ⊂ R[x] ⊂ C[x] na˜o tem ra´ızes em Q[x], tem uma u´nica raiz em R[x] e tem
treˆs ra´ızes distintas em C[x].
A seguir mostraremos a relac¸a˜o entre ra´ızes e polinoˆmios lineares, isto e´, polinoˆmios de grau um.
Proposic¸a˜o 2.115. Sejam A um anel comutativo com unidade, p(x) ∈ A[x] e α ∈ A. Enta˜o p(α) = 0 se e
somente se existe q(x) ∈ A[x] tal que
p(x) = (x− α)q(x).
Proposic¸a˜o 2.116. Sejam D um domı´nio de integridade e p(x) ∈ D[x] um polinoˆmio na˜o nulo de grau n. O
nu´mero de ra´ızes de p(x) em D e´ no ma´ximo igual a n.
2.3. ANEL DE POLINOˆMIOS EM UMA VARIA´VEL 51
Observac¸a˜o: E´ importante a hipo´tese de D ser domı´nio. De fato, o polinoˆmio p(x) = x2 + x ∈ Z6[x] tem
quatro ra´ızes em Z6, a saber α = 0, 2, 3 e 5. Ale´m disso,
p(x) = x(x+ 1) = x(x− 5) = (x− 2)(x− 3).
Definic¸a˜o 2.117. Sejam L e k corpos. Se k ⊂ L dizemos que L e´ uma extensa˜o de k.
Corola´rio 2.118. Seja k um corpo e seja f(x) um polinoˆmio em k[x] de grau n. Enta˜o f(x) possui no ma´ximo
n ra´ızes em qualquer extensa˜o de k.
Corola´rio 2.119. Seja k um corpo com um nu´mero infinito de elementos e sejam f(x) e g(x) polinoˆmios em
k[x]. Enta˜o,
f(x) = g(x)⇔ f(a) = g(a) ∀ a ∈ k.
2.3.3 Polinoˆmios irredut´ıveis
Definic¸a˜o 2.120. Seja D um domı´nio de integridade. Um polinoˆmio p(x) ∈ D[x] na˜o nulo e na˜o invert´ıvel
e´ dito ser irredut´ıvel sobre D se sempre que p(x) = f(x)g(x), com f(x), g(x) ∈ D[x], enta˜o f(x) ou g(x) e´
invert´ıvel em D[x]. Um polinoˆmio na˜o nulo e na˜o invert´ıvel em D[x] que na˜o e´ irredut´ıvel em D e´ chamado
redut´ıvel em D.
Exemplos:
1. O polinoˆmio p(x) = 2x2 + 4 e´ irredut´ıvel sobre Q mas e´ redut´ıvel sobre Z, isto e´, p(x) = 2(x2 + 2) ∈ Z[x] .
2. O polinoˆmio p(x) = 2x2 + 4 e´ irredut´ıvel sobre R mas e´ redut´ıvel sobre C. De fato, p(x) = 2x2 + 4 =
2(x−√2i)(x+√2i).
3. O polinoˆmio p(x) = x2 + 1 e´ irredut´ıvel sobre Z3 mas e´ redut´ıvel sobre Z5. De fato, p(x) = x2 + 1 =
(ax+ b)(cx+ d) ∈ Z3[3]⇔ ac = 1, ad+ bc = 0 e bd = 1. Mas isto implicaria c = a−1, d = b−1 e 1 = −1.
Absurdo. Ja´ em Z5, p(x) = x2 + 1 = (x+ 2)(x+ 3).
52 CAPI´TULO 2. ANE´IS
Lema 2.121. Seja k um corpo. Um polinoˆmio p(x) ∈ k[x] tal que ∂(p(x)) ≥ 1 e´ irredut´ıvel sobre k se
p(x) = f(x)g(x), com f(x), g(x) ∈ k[x] implicar f(x) = a ∈ k ou g(x) = b ∈ k. Ale´m disso, p(x) ∈ k[x]
tal que ∂(p(x)) ≥ 1 e´ redut´ıvel sobre k se p(x) = f(x)g(x), com f(x), g(x) ∈ k[x], 1 ≤ ∂(f(x)) < ∂(p(x)) e
1 ≤ ∂(g(x)) < ∂(p(x)).
A seguir mostraremos a existeˆncia da fatorac¸a˜o u´nica em k[x].
Teorema 2.122. Seja k um corpo. Enta˜o todo polinoˆmio p(x) ∈ k[x] na˜o nulo pode ser escrito na forma
p(x) = up1(x) · · · pm(x)
onde u ∈ K −{0} e p1(x), · · · , pm(x) sa˜o polinoˆmios irredut´ıveis sobre k (na˜o necessariamente distintos). Ale´m
disso, essa expressa˜o e´ u´nica a menos da constante u e da ordem dos polinoˆmios p1(x), · · · , pm(x).
Exemplo Decompor o polinoˆmio p(x) = x4 − 5x2 + 6 em produto de fatores irredut´ıveis sobre os seguintes
corpos k.
1. k = Q.
2. k = Q[
√
2].
3. k = R.
4. k = C.
2.3. ANEL DE POLINOˆMIOS EM UMA VARIA´VEL 53
2.3.4 Crite´rios de irredutibilidade em Q[x]
A verificac¸a˜o da irredutibilidade de um polinoˆmio sobre um corpo e´ em geral, um problema dif´ıcil. No
entanto, veremos a seguir alguns testes que nos dara˜o condic¸o˜es para que um polinoˆmio f(x) ∈ Q[x] seja
irredut´ıvel sobre Q.
Em primeiro lugar observamos que dado um polinoˆmio f(x) ∈ Q[x] podemos sempre supor f(x) ∈ Z[x], pois
se multiplicarmos f(x) pelo mmc dos denonominadores dos coeficientes de f(x) teremos f1(x) = cf(x) ∈ Z[x].
Por exemplo, se
f(x) =
1
2
x5 +
3
4
x4 +
3
5
x3 + x2 +
1
3
,
enta˜o
f1(x) = 60f(x) = 30x
5 + 45x4 + 36x3 + 60x2 + 20 ∈ Z[x].
Antes de listarmos crite´rios de irredutibilidade, vamos provar o Lema de Gauss que nos diz que a irreduti-
bilidade de f(x) ∈ Z[x] sobre Z implica na irredutibilidade de f(x) sobre Q.
Proposic¸a˜o 2.123. (Gauss) Seja f(x) ∈ Z[x] um polinoˆmio irredut´ıvel sobre Z, enta˜o f(x) e´ irredut´ıvel sobre
Q.
Teorema 2.124. (Crite´rio de Eisenstein) Seja f(x) = a0+a1x+· · ·+anxn um polinoˆmio em Z[x]. Suponhamos
que exista um primo p tal que
(a) p 6 |an,
(b) p|ao, a1, · · · an−1
(c) p2 6 |a0.
Enta˜o f(x) e´ irredut´ıvel sobre Q.
Exemplo 2.125. O polinoˆmio p(x) = 2x3 + 12x2 + 3x + 6 e´ irredut´ıvel sobre Q. Basta aplicar o crite´rio de
Eisenstein para o primo p = 3.
Exemplo 2.126. O polinoˆmio p(x) = 3x7 + 15x2 + 45 e´ irredut´ıvel sobre Q. Basta aplicar o crite´rio de
Eisenstein para o primo p = 5.
Exemplo 2.127. Seja p um nu´mero primo. O polinoˆmio p(x) = xn − p de grau n ≥ 1 e´ irredut´ıvel sobre Q.
Basta aplicar o crite´rio de Eisenstein para o pro´prio primo p.
54 CAPI´TULO 2. ANE´IS
Exemplo 2.128. O polinoˆmio p(x) = 10x11 + 6x3 + 6 e´ irredut´ıvel sobre Q, mas na˜o e´ irredut´ıvel sobre Z.
Proposic¸a˜o 2.129. Seja p um nu´mero primo e seja f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn um polinoˆmio em Z[x].
Defina o polinoˆmio f¯(x) ∈ Zp[x] do seguinte modo:
f¯(x) = a¯0 + a¯1x+ · · ·+ a¯nxn.
Enta˜o,
(a) φ : Z[x]→ Zp[x], definida por φ(f(x)) = f¯(x) e´ um homomorfismo sobrejetor.
(b) Se p 6 |an e f¯(x) for irredut´ıvel sobre Zp, enta˜o f(x) e´ irredut´ıvel sobre Q.
Enta˜o f(x) e´ irredut´ıvel sobre Q.
Exemplo 2.130. O polinoˆmio p(x) = x4 + 10x3 + 15x2 + 5x+ 12 e´ irredut´ıvel sobre Q.
2.4 Exerc´ıcios
1. Prove que
(a) Q[
√
2] e´ o corpo de frac¸o˜es de Z[
√
2].
(b) Seja A um domı´nio de integridade e seja K seu corpo de frac¸o˜es. Mostre que K[x] e´ o corpo de
frac¸o˜es de A[x].
2. Seja A um domı´nio fatorial. Seja f(x) ∈ A[x] que na˜ e´ primitivo, mostre que f(x) e´ redut´ıvel em A[x].
3. Sejam A um domı´nio fatorial e K seu corpo de frac¸o˜es. Seja f(x) ∈ A[x] que primitivo e irredut´ıvel em
K[x]. Mostre que f(x) e´ irredut´ıvel em A[x].
4. Seja A um domı´nio fatorial. Seja p irredut´ıvel em A, enta˜o p e´ irredut´ıvel em A[x].
5. Sejam A um domı´nio integridade e K seu corpo de frac¸o˜es. Dizemos que A e´ integralmente fechado se
para todo polinoˆmio f(x) ∈ A[x] moˆnico de grau maior que 0 vale a seguinte propriedade: se existir α ∈ K
tal que f(α) = 0, enta˜o α ∈ A. Mostre que todo A domı´nio fatorial e´ integralmente fechado.
2.4. EXERCI´CIOS 55
6. Usando o polinoˆmio x2 + x + 1 ∈ Z[x] ⊂ Z[√−3][x], prove que Z[√−3] na˜o e´ fatorial (e, portanto, na˜o e´
euclidiano).
7. Sejam A um domı´nio fatorial, K seu corpo de frac¸o˜es e
f(x) = anx
n + . . .+ a1x+ a0 ∈ A[x]
de grau maior que 0. Se existir α ∈ K, α = c/d (c, d relativamente primos) tal que f(α) = 0, enta˜o d|an
e c|a0.
8. Verifique se os polinoˆmios a seguir sa˜o irredut´ıveis em Z[x].
(a) x7 − 6.
(b) 3x4 + 6x3 − 2x+ 10
9. Prove que f(x, y) = (x+ 1)y5 + (x2 − 1)y3 + (x2 − 3x+ 2)y2 + (x2 + x− 2) e´ irredut´ıvel em Z[x, y].
10. Seja f(x, y) o polinoˆmio do item anterior. Seja g(x, y) = (x2 − 2)f(x, y). prove que g(x, y) e´ irredut´ıvel
em Q[x, y], mas n ao em Z[x, y].
11. E´ poss´ıvel aplicar o crite´rio de Eisenstein em 5x7 + (1 + i)x2 − 2 ∈ Z[i][x].
12. Prove que f(x, y) = 5x8 + 2y2x5 + 6x5 − 7y2 − 21 e´ irredut´ıvel sobre Z[x, y].
13. Seja D = Z[i]. Prove que p(x) = 3x3 + 2x2 + (4− 2i)x+ 1 + i e´ irredut´ıvel sobre Z[i][x].
14. Seja D um domı´nio de integridade. Sejam α ∈ D× e β ∈ D.
(a) A aplicac¸a˜o T : D[x]→ D[x] dada por T (f(x)) = f(αx+ β) e´ um isomorfismo de ane´is.
(b) deg f(αx+ β) = deg f(x) para todo f(x) ∈ D[x] \ {0}.
(c) f(x) e´ irredut’ivel sobre D se e somente se f(αx+ β) e´ irredut´ıvel sobre D.
(d) Se, mais ainda, D for fatorial, ent ao c(f(x)) = c(f(αx+ β)) para todo f(x) ∈ D[x] \ {0}.
15.Prove que o polinoˆmio p(x) = x5 + 5x+ 11 e´ irredut´ıvel sobre Z[x].
(a) Utilizando o crite´rio de Eisenstein.
(b) Sem utiliza´-lo.
16. Mostre que o polinoˆmio p(x) = −1 +
n∏
i=1
(x− i) e´ irredut´ıvel sobre Z.
17. Seja D um domı´nio de integridade. Sejam f(x), g(x) ∈ D[x]. Mostre que f(x) = g(x) se e somente se
< f(x) >⊂< g(x) >.
18. Liste todos os polinoˆmios irredut´ıveis de grau menor ou igual a 3 em Z3[x].
19. Seja p primo. Mostre que existem exatamente (p2 − p)/2 polinoˆmios moˆnicos irredut´ıveis de grau 2 sobre
Zp[x].
20. Seja p ≥ 5 primo. O polinoˆmio p(x) = x3 − 37x2 + ((p+ 5)! + 1)x+ 3p+ 1 e´ irredut´ıvel sobre Z[x]?
21. Prove que p(x) e´ irredut´ıvel sobre Z[x] nos casos abaixo.
(a) x5 + 5x2 + 1
(b) x3 − 3x2 + 9x− 10.
Cap´ıtulo 3
Extenso˜es de corpos
Definic¸a˜o 3.1. Um corpo F e´ dito ser uma extensa˜o do corpo K, ou simplesmente uma extensa˜o de K, se K
for um subcorpo de F .
Usaremos a notac¸a˜o F |K para dizer que F e´ extensa˜o de K
Exemplo 3.2. As incluso˜es Q ↪→ R ↪→ C nos da˜o extenso˜es: C|R, C|Q, R|Q.
Se F for uma extensa˜o de K, as operac¸o˜es
+ : F × F → F
(u, v) 7→ u+ v
· : K × F → F
(λ, u) 7→ λ · u
onde a operc¸a˜o de multiplicac¸a˜o esta´ restrita a K ⊂ F , da˜o a F uma estrutura de espac¸o vetorial sobre K.
Definic¸a˜o 3.3. A dimensa˜o de F sobre K, tambe´m chamada grau da extensa˜o, sera´ denotada por [F : K], ou
seja,
grau da extensa˜o F sobre K := dimK(L) := [F : K].
Dizemos que F e´ uma extensa˜o finita de K se [F : K] for finita. Caso contra´rio dizemos que F e´ uma
extensa˜o infinita de K.
Exemplo 3.4. (1) R ⊂ R e´ uma extensa˜o finita e [R : R] = 1. Mais geralmente, se K for um corpo enta˜o
[K : K] = 1.
(2) R ⊂ C e´ uma extensa˜o finita e [C : R] = 2.
(3) K corpo. A extensa˜o K[x]|K e´ infinita pois {1, x, x2, . . .} e´ LI sobre K.
Se F,E e K forem corpos tais que K ⊂ E ⊂ F , dizemos que E e´ um corpo intermedia´rio da extensa˜o K ⊂ F .
Teorema 3.5. Sejam F uma extensa˜o do corpo E e E uma extensa˜o do corpo K. Enta˜o
[F : K] = [F : E][E : K].
Ale´m disso, [F : K] e´ finita se e somente se [F : E] e [E : K] sa˜o finitas.
56
57
Definic¸a˜o 3.6. Sejam F um corpo e X ⊂ F um subconjunto.
1. O subanel gerado por X e´ a intersec¸a˜o de todos os subane´is de F que conteˆm X. Se K for um subcorpo de
F e X ⊂ F , enta˜o o subanel gerado por K ∪X e´ dito subanel obtido de K adjuntando X e sera´ denotado
por K[X]. Note que K[X] e´ um domı´nio de integridade.
2. O subcorpo gerado por X e´ a intersec¸a˜o de todos os subcorpos de F que conteˆm X. Se K for um subcorpo
de F e X ⊂ F , enta˜o o subcorpo gerado por K ∪ X e´ dito subcorpo obtido de K adjuntando X e sera´
denotado por K(X).
3. Se X = {u1, ..., un}, enta˜o K[X] = K[u1, ..., un] e K(X) = K(u1, ..., un).
Exerc´ıcio 3.7. A definic¸a˜o acima e´ equivalente a: o subcorpo gerado por X e´ o menor subcorpo de F que
conte´m X.
Teorema 3.8. Sejam F e´ uma extensa˜o do corpo K e X ⊂ F , enta˜o
1. K[X] = {h(u1, ..., un)|n ∈ N∗;h ∈ K[x1, ..., xn];ui ∈ X}.
2. K(X) =
{
f(u1, ..., un)
g(u1, ..., un)
|n ∈ N∗; f, g ∈ K[x1, ..., xn];ui ∈ X; g(u1, ..., un) 6= 0
}
.
Exerc´ıcio 3.9. Prove que todo subcorpo de C conte´m Q. Conclua que se X ⊂ C, ∅ 6= X 6= {0}, enta˜o o
subcorpo de C gerado por X conte´m Q.
Exemplo 3.10. Vamos calcular o subcorpo K de C gerado por X = {1, i}. Pelo exerc´ıcio anterior, Q ⊂ K.
Agora, como {1, i} ∈ K, segue que p + qi ∈ K para todo p, q ∈ Q. Seja enta˜o M = {p + qi | p, q ∈ Q}. Temos
que M e´ subcorpo de C (exerc´ıcio) e M ⊂ K. Mas K e´ o menor subcorpo de C que conte´m X, donde K ⊂M .
Assim, K = {p+ qi | p, q ∈ Q}
Exemplo 3.11. Seja Y = {i,√5}. Vamos calcular Q(Y ). Claro que i√5 ∈ Q(Y ), donde L = {a+ bi+ c√5 +
di
√
5|a, b, c, d ∈ Q} ⊂ Q(Y ). Se L for subcorpo de C, enta˜o L = Q(Y ). (exerc´ıcio: provar que L e´ subcorpo de
C).
Definic¸a˜o 3.12. Dizemos que um corpo L e´ uma extensa˜o simples do corpo K se existir α ∈ L tal que L = K(α).
Exemplo 3.13. 1. C = R(i), isto e´, C e´ uma extensa˜o simples de R..
2. Q(
√
2) = {a+ b√2; a, b ∈ Q}. Como {1,√2} e´ uma base de Q(√2) sobre Q, segue que [Q(√2) : Q] = 2.
3. Q( 3
√
2) = {a+ b 3√2 + c 3
√
22; a, b, c ∈ Q} 6= {a+ b√2; a, b ∈ Q}.
4. Q(
√
2,
√
3) e´ uma extensa˜o simples de Q., pois Q(
√
2,
√
3) = Q(
√
2 +
√
3).
De fato:
Claro que Q(
√
2,
√
3) ⊃ Q(√2 +√3).
Agora, para provar a outra inclusa˜o, basta mostrar que
√
2,
√
3 ∈ Q(√2+√3). Mas 5+√6 = (√2+√3)2 ∈
Q(
√
2 +
√
3), donde 8
√
2 + 7
√
3 = (5 +
√
6)(
√
2 +
√
3) ∈ Q(√2 +√3) e, enta˜o, √2 = 8√2 + 7√3− 7(√2 +√
3) ∈ Q(√2 +√3). Analogamente, √3 ∈ Q(√2 +√3).
58 CAPI´TULO 3. EXTENSO˜ES DE CORPOS
5. (Contra-exemplo) R na˜o e´ uma extensa˜o simples de Q. (Exerc´ıcio!)
Definic¸a˜o 3.14. Seja F uma extensa˜o do corpo K. Dizemos que u ∈ F e´ alge´brico sobre K se existir p(X) ∈
K[X]\{0} tal que p(u) = 0. Caso contra´rio, dizemos que u e´ transcendente sobre K.
Exemplo 3.15. 1. α = 3
√
2 ∈ R e´ alge´brico sobre Q, pois 3√2 e´ raiz do polinoˆmio f(x) = x3 − 2 ∈ Q[x].
2. α = i ∈ C e´ alge´brico sobre R, pois i e´ raiz do polinoˆmio f(x) = x2 + 1 ∈ Q[x].
3. Se α ∈ K, enta˜o α e´ alge´brico sobre K. De fato, α e´ raiz do polinoˆmio f(x) = x− α ∈ K[x].
4. α = e e α = pi ∈ R sa˜o transcendentes sobre Q.
Definic¸a˜o 3.16. Dizemos que o corpo F e´ uma extensa˜o alge´brica de K se u ∈ F for alge´brico sobre K, para
todo u ∈ F . Se pelo menos um elemento de F for transcendente sobre K, dizemos que F e´ uma extensa˜o
transcendente de K.
Exemplo 3.17. C e´ uma extensa˜o alge´brica de R.
Exerc´ıcio 3.18. Seja K um corpo. O corpo de frac¸o˜es do anel de polinoˆmios K[x], denotado por K(x) e´
chamado corpo de func¸o˜es racionais na varia´veis x, e´ uma extensa˜o transcendente de K.
Os pro´ximos teoremas caracterizara˜o extenso˜es simples a menos de isomorfismo.
Teorema 3.19. Se F e´ uma extensa˜o do corpo K e u ∈ F e´ transcendente sobre K, enta˜o existe um isomorfismo
de corpos K(u) ∼= K(x) que e´ identidade sobre K.
Exemplo 3.20. Q(pi) ∼= Q(x)
Teorema 3.21. Se F e´ uma extensa˜o do corpo K e u ∈ F e´ alge´brico sobre K, enta˜o
1. K(u) ∼= K[u];
2. K(u) ∼= K[x]
< f >
, onde f ∈ K[x] e´ o u´nico polinoˆmio moˆnico irredut´ıvel de grau n ≥ 1 tal que f(u) = 0.
Ale´m disso g(u) = 0 se, e somente se, f | g;
3. [K(u) : K] = n;
4. {1K , u, u2, ..., un−1} e´ uma base do espac¸o vetorial K(u) sobre K;
5. todo elemento de K(u) pode ser escrito unicamente da forma a0 + a1u+ ...+ an−1un−1 com ai ∈ K.
59
Demonstrac¸a˜o
Definic¸a˜o 3.22. O polinoˆmio p(x) ∈ K[x] moˆnico constru´ıdo acima e´ chamado polinoˆmio mı´nimo de α e sera´
denotado por irr(α,K).
Segue da definic¸a˜o acima que o polinoˆmio minimal m(x) = irr(α,K) e´ o polinoˆmio moˆnico de menor grau tal
que m(α) = 0. Segue ainda que e´ o u´nico polinoˆmio moˆnico irredut´ıvel que anula α. Ale´m disso, se q(x) ∈ K[x]
for tal que q(α) = 0, enta˜o irr(α,K) | q(x).
Exemplo 3.23. p(x) = x2 + 1 e´ o polinoˆnomio mı´nimo de i ∈ C sobre R.
Proposic¸a˜o 3.24. Sejam α, β ∈ L ⊃ K alge´bricos sobre K, ra´ızes de um mesmo polinoˆmio irredut´ıvel sobre
K. Enta˜o K(α) ∼= K(β).
60 CAPI´TULO 3. EXTENSO˜ES DE CORPOS
Exemplo 3.25. Seja α = 3
√
2 ∈ R ⊃ Q. Enta˜o α e´ raiz do polinoˆmio irredut´ıvel p(x) = x3 − 2 ∈ Q[x].
Seja β uma raiz cu´bica complexa de 2, por exemplo, β = 3
√
2
(√
3
2
− 1
2
i
)
. Enta˜o
Q(
3
√
2) ∼= Q
(
3
√
2
(√
3
2
− 1
2
i
))
.
Corola´rio 3.26. Sejam K = Zp e L ⊃ K uma extensa˜o de K. Se α e´ alge´brico sobre K e p(x) = irr(α,K)
tem grau n, enta˜o K(α) e´ um corpo contendo exatamente pn elementos.
Exemplo 3.27. Seja α = n
√
p ∈ R, onde p primo≥ 2 e n inteiro ≥ 2. Enta˜o, α e´ raiz de xn−p, que e´ irredut´ıvel
sobre Q, donde irr(α,Q) = xn−p. Logo, Q(α) = {a0 +a1α+ . . .+an−1αn−1|ai∈ Q} e´ subcorpo de R contendo
Q.
Definic¸a˜o 3.28. Se K e´ um corpo e f(x) ∈ K[x], enta˜o dizemos que f(x) se fatora em K[x] se f(x) pode ser
escrito como o produto de fatores lineares
f(x) = c(x− α1)...(x− αn),
com c, α1, ..., αn ∈ K.
Nas condic¸o˜es da definic¸a˜o, os zeros de f(x) em K sa˜o extamente os elementos α1, ..., αn. Ale´m disso, se F e´
uma extensa˜o de K, enta˜o f(x) tambe´m pertence a F [x]. Dessa forma, faz sentido falarmos na fatoraa¸a˜o de
f(x) em F [x], significando que f(x) e´ o produto de fatores lineares com coeficientes em F .
Definic¸a˜o 3.29. Sejam K um corpo e Σ uma extensa˜o de K. Enta˜o Σ e´ um corpo de decomposic¸a˜o para o
polinoˆmio f(x) ∈ K[x] se:
1. f(x) se fatora em Σ[x];
2. Se K ⊂ Σ′ ⊂ Σ e f(x) se fatora em Σ′[x], enta˜o Σ = Σ′, ou seja, Σ e´ o menor corpo que conte´m K e
todas as ra´ızes de f(x).
Exemplo 3.30. Q(i) e´ o corpo de decomposic¸a˜o de x2 + 1 sobre Q.
Lema 3.31. Sejam K um corpo e f(x) ∈ K[x] irredut´ıvel. Enta˜o existe uma extensa˜o F = K(u) de K tal que
f(u) = 0 e [F : K] = deg(f(x)). Ale´m disso K(u) e´ u´nico a menos de K-isomorfismo.
61
Corola´rio 3.32. Se f(x) ∈ K[x]−K, onde K e´ um corpo, enta˜o existe uma extensa˜o finita F de K onde f(x)
possui uma raiz. Ale´m disso, [L : K] < deg(f(x)).
Lema 3.33. Sejam K um corpo e f(x) ∈ K[x] −K, com gr(f(x)) = n. Enta˜o existe uma extensa˜o F de K,
com [F : K] 6 n!, onde f(x) possui n ra´ızes.
Usando os lemas 3.31 e 3.33, construimos um corpo F tal que e´ o menor corpo que conte´m K e todas as ra´ızes
de f(x). Assim, temos o seguinte resultado:
Teorema 3.34. Se K e´ um corpo qualquer e f(x) ∈ K[x], enta˜o existe um corpo de decomposic¸a˜o de f(x)
sobre K.
Exemplo 3.35. Sejam f(x) ∈ K[x] e α1, . . . , αn as distintas ra´ızes de f(x) em C. Consideremos
K ⊂ K1 = K(α1) ⊂ K2 = K1(α2) ⊂ K3 = K2(α3) ⊂ . . . ⊂ Kn = Kn−1(αn)
Claramente, Ki e´ o menor subcorpo de C contendo K e α1, . . . , αi e, portanto, Kn e´ o corpo de decomposic¸a˜o
de f . Assim, o processo de adjunc¸a˜o de ra´ızes e´ eficiente para encontrar o corpo de decomposic¸a˜o de f .
Por exemplo, seja f(x) = (x2 − 2)(x2 − 3). As ra´ızes complexas de f sa˜o ±√2,±√3. Pore´m, claro que
−√2 ∈ Q(√2) e analogamente para ±√3. Assim, usando o processo acima, o corpo de decomposic¸a˜o de f e´
Q(
√
2,
√
3).
Exemplo 3.36. O corpo de decomposic¸a˜o de x3 − 2 e´ Q(u, 3√2), onde u = 3√2(cos(2pi/3) + i sen(2pi/3)).
Exerc´ıcio 3.37. Seja [K : Q] = m. Seja p(x) ∈ Q[x] irredut´ıvel sobre Q de grau n. Se mdc(n,m) = 1, enta˜o
p(x) e´ irredut´ıvel sobre K.
Exemplo 3.38. Seja L o corpo de decomposic¸a˜o de (xp − 2,Q). Enta˜o, [L : Q] = p2 − p.
De fato:
Temos que L = Q(α, u), onde α = p
√
2 e u = cos(2pi/p) + i sen(2pi/p). Pelo Teorema 3.5, temos que
[L : Q] = [L : Q(α)][Q(α) : Q]
62 CAPI´TULO 3. EXTENSO˜ES DE CORPOS
Pelo Crite´rio de Eisenstein, [Q(α) : Q] = p. Agora, se K = Q(α), segue que L = K(u) ⊃ K ⊃ Q. Ainda
temos que u e´ raiz de xp−1 + xp−2 + . . . + x + 1, que e´ irredut´ıvel sobre Q. Assim, pela proposic¸a˜o anterior,
como mdc(p, p− 1) = 1, segue a afirmac¸a˜o.
3.1 Extenso˜es normais e separa´veis
Definic¸a˜o 3.39. Uma extensa˜o F |K e´ dita normal se todo polinoˆmio irredut´ıvel f(x) sobre K que possui pelo
menos uma raiz em F se decompo˜e em F .
Exemplo 3.40. C|R e´ normal
Exemplo 3.41. Seja α = 3
√
2. O polinoˆmio x3−2 tem zero em Q(α), mas na˜o se fatora em Q(α)[x] (exerc´ıcio),
logo Q(α)|Q na˜o e´ normal.
Lema 3.42. Se F |K e´ uma extensa˜o finita se e somente se F |K e´ alge´brica e existe um nu´mero finito de
elementos α1, . . . , αn tais que F = K(α1, . . . , αn)
Teorema 3.43. Uma extensa˜o F |K e´ normal e finita se e somente se F e´ o corpo de decomposic¸a˜o de algum
polinoˆmio sobre K.
3.1. EXTENSO˜ES NORMAIS E SEPARA´VEIS 63
Definic¸a˜o 3.44. Um polinoˆmio irredut´ıvel f(x) sobre K e´ dito separa´vel sobre K se f(x) na˜o possui ra´ızes
mu´ltiplas em um corpo de decomposic¸a˜o, isto e´, em qualquer corpo de decomposic¸a˜o, temos
f(x) = c(x− α1) . . . (x− αn),
onde os αi sa˜o distintos. Caso contra´rio, f(x) e´ dito insepara´vel sobre K.
Exemplo 3.45. O polinoˆmio p(x) = x3 − 2 ∈ Q[x] e´ separa´vel sobre Q.
De fato, temos que p(x) e´ irredut´ıvel em Q[x] (Eisenstein) e
p(x) = (x− 3
√
2)(x− α)(x− β),
onde α = 3
√
2(−1/2 + i√3/2) e β = 3√2(−1/2− i√3/2).
Exemplo 3.46. Sejam p primo e u um elemento transcendente sobre Zp. Seja f(x) = xp − u ∈ Zp(u)[x].
Enta˜o, f(x) e´ insepara´vel sobre Zp(u).
De fato: Seja α um raiz de f(x) em Σ, onde Σ e´ um corpo de decomposic¸a˜o de Z(u). Enta˜o:
0 = f(α) = αp − u⇔ u = αp
Mas, nesse caso, f(x) = xp − u = xp − αp = (x− α)p ∈ Σ[x]. Seja γ outra raiz de f(x) em Σ. Enta˜o
0 = f(γ) = (γ − α)p ⇔ α = γ
Logo, todas as ra´ızes de f(x) em Σ sa˜o iguais.
Resta mostrar que f(x) e´ irredut´ıvel em Zp(u). Suponha que f(x) = g(x)h(x) ∈ Zp(u)[x] com ∂(g(x)), ∂(h(x)) <
∂(f(x)). Mas, Zp(u)[x] e´ fatorial, donde devemos ter g(x) = (x−α)s, onde 0 < s < p. Assim, o termo constante
de g(x) e´ αs, donde α ∈ Zp(u) (exerc´ıcio).
Pela definic¸a˜o de Zp(u), temos α = v(u)/w(u), onde v(x), w(x) ∈ Zp[x], w(u) 6= 0. Enta˜o:
(αw(u))p = (v(u))p ⇒ αpw(u)p = v(u)p ⇒ uw(u)p = v(u)
Isto e´, u e´ raiz de xw(x)− v(x) ∈ Zp[x], contradic¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.47. Seja K corpo. Seja f(x) = a0 +a1x+a2x
2 + . . .+anx
n ∈ K[x]. Definimos a derivada formal
de f(x) como Df(x) = a1 + 2a2x+ . . .+ nanx
n−1.
Exerc´ıcio 3.48. Sejam K corpo, λ ∈ K, f(x), g(x) ∈ K[x]. Enta˜o:
1. D(f ± g)(x) = Df(x)±Dg(x).
2. D(fg)(x) = (Df(x))g(x) + f(x)(D(g(x)))
3. D(λ) = 0.
4. D(λf)(x) = λDf(x)
5. D((x− λ)n) = n(x− λ)n−1
Exerc´ıcio 3.49. Um polinoˆmio f(x) ∈ K[x] \ {0} possui uma raiz mu´ltipla em um corpo de decomposic¸a˜o se e
somente se f(x) e Df(x) possuem um fator comum de grau ≥ 1 em K[x].
Proposic¸a˜o 3.50. Sejam K um corpo e f(x) ∈ K[x] um polinoˆmio irredut´ıvel.
1. Se char(K) = 0, enta˜o f(x) e´ separa´vel sobre K.
2. Se char(K) = p > 0, enta˜o f(x) e´ insepara´vel sobre K se e somente se f(x) = a0 + a1x
p + ...+ arx
rp.
64 CAPI´TULO 3. EXTENSO˜ES DE CORPOS
.
Exemplo 3.51. Seja p primo. O corpo Zp tem caracter´ıstica p e os irredut´ıveis em Zp[x] sa˜o separa´veis.
Definic¸a˜o 3.52. Um polinoˆmio arbitra´rio sobre um corpo K e´ separa´vel sobre K se todos os seus fatores
irredut´ıveis sa˜o separa´veis sobre K.
Definic¸a˜o 3.53. Sejam F |K uma extensa˜o e α ∈ F alge´brico sobre K. Dizemos que α e´ separa´vel sobre K se
seu polinoˆmio mı´nimo (em K[x]) e´ separa´vel sobre K.
Definic¸a˜o 3.54. Uma extensa˜o alge´brica F |K e´ dita extensa˜o separa´vel se todo elemento α ∈ F e´ separa´vel
sobre K
Lema 3.55. Seja F |K uma extensa˜o alge´brica e separa´vel. Seja M um corpo intermedia´rio. Enta˜o, M |K e
L|K sa˜o separa´veis.
3.2 Exerc´ıcios
1. Para cada a determine o polinoˆmio mı´nimo de a sobre Q, [Q(a) : Q] e uma base de Q(a)|Q:
(a) i
(b) 3 +
√
3
(c) 1 + 4
√
2
(d) cos 2pip + i sen
2pi
p , onde p e´ primo.
2. Mostre que:
(a) 4
√
2 e´ alge´brico sobre Q.
(b) K = Q(
√
2) e´ subcorpo de LQ( 4
√
2)
(c) L = K( 4
√
2)
(d) Determine [L : K].
3. Seja L = Q(i,
√
5). Para todo a ∈ {√5, i+√5, 2 +√5, i√5}, determine:
(a) o polinoˆmio mı´nimo de a sobre Q.
(b) para quais valores de a temos L = Q(a).
4. Sejam L corpo, K um subcorpo de L e S um subconjunto de L. O subanel de L obtido pela adjunc¸a˜o
de S a K, denotado por K[S], e´ K[S] :=
⋂
R∪S⊂A
A onde A e´ subanel de L. O subcorpo de L obtido pela
adjunc¸a˜oo de S a K, denotado por K(S), e K(S) :=
⋂
R∪S⊂F
F onde F e´ subcorpo de L.
(a) Mostre que K[S] e´ o menor subanel de L que conte´m K ∪ S e K(S) e´ o menor subcorpo de L que
conte´m K ∪ S.
3.2. EXERCI´CIOS 65
(b) Mostre que K(S) e´ o corpo de frac¸o˜es de K[S].
(c) Seja S = {a, b}. Mostre que K[S] = {f(a, b)|f ∈ K[x, y]}.(d) Conclua que se S = {a, b}, enta˜o K(S) = { f(a,b)g(a,b) |f, g ∈ K[x, y], g(a, b) 6= 0}
5. Seja L uma extensa˜o de K. Prove que L|K e´ alge´brica se, e somente se, todo anel R entre K e L for um
corpo.
6. Seja M uma extensa˜o do corpo K. Mostre que se [M : K] e´ primo, enta˜o todo corpo intermedia´rio L
satisfaz L = K ou L = M .
7. Determine quais extenso˜es abaixo sa˜o normais.
(a) Q(i,
√
5)|Q
(b) Q( 3
√
2)|Q
(c) Q(
√
2,
√
5)|Q
(d) Q( 4
√
2)|Q(√2)
(e) Q( 4
√
2, i)|Q
8. Seja K um corpo de caracter´ıstica diferente de 2. Seja F |K um extensa˜o de grau 2.
(a) Mostre que existe a ∈ F tal que F = K(a) e a2 ∈ K.
(b) Mostre que F |K e´ normal e separa´vel.
9. Seja L|K uma extensa˜o de corpos. Seja F um corpo intermedia´rio. Mostre que:
(a) L|K e´ alge´brica se e somente se F |K e L|F o sa˜o.
(b) Se L|K e´ separa´vel, enta˜o F |K e L|F sa˜o separa´veis.
(c) Se L|K e´ normal, enta˜o L|F e´ normal.
10. Determine a ∈ F tal que F = K(a).
(a) F = Q(i,
√
5), K = Q.
(b) F = Q( 4
√
2), K = Q(
√
2).
11. Sejam α = e
2pii
3 + 3
√
2 e K = Q(α) ⊂ C. Mostre que a dimensa˜o do espac¸o vetorial K sobre Q e´ finita e
encontre uma base para K.
12. Dado f(x) = x7 − 6 ∈ Q[x], seja N o corpo de decomposic¸a˜o de f sobre Q.
(a) Mostre que [N : Q] = 42.
(b) Mostre que existe uma u´nica extensa˜o Q ⊂ F ⊂ N tal que [F : Q] = 6.
Cap´ıtulo 4
Teoria de Galois
4.1 A ideia por tra´s da Teoria de Galois
Definic¸a˜o 4.1. Seja K um subcorpo de um corpo F . Um automorfismo σ de F e´ um K-automorfismo de F se
σ(k) = k para todo k ∈ K.
Teorema 4.2. Seja F |K. Enta˜o, o conjunto de todos os K-automorfismos de F e´ um grupo com a composic¸a˜o
de func¸o˜es.
Definic¸a˜o 4.3. Esse grupo e´ chamado grupo de Galois da extensa˜o F |K e e´ denotado por Gal(F : K), Γ(F : K)
ou AutKF .
Seja M um corpo intermedia´rio da extensa˜o F |K, isto e´, M e´ um corpo e K ⊂M ⊂ F . Vamos associar M
ao grupo M∗ := Gal(F : M). Notamos que se N e´ outro corpo intermedia´rio tal que M ⊂ N , enta˜o N∗ ⊂M∗.
De fato, se σ ∈ N∗, enta˜o σ(n) = n para todo n ∈ N . Como M ⊂ N , segue que σ(m) = m para todo m ∈ M ,
donde σ ∈M∗.
Definic¸a˜o 4.4. Seja H um subgrupo de Gal(F : K). O conjunto
H+ = fix(H) = {x ∈ F |σ(x) = x ∀σ ∈ H}
e´ dito corpo fixo de H.
Lema 4.5. Se H < Gal(F : K), enta˜o H+ e´ subcorpo de F que conte´m K.
66
4.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEORIA DE GALOIS 67
Exerc´ıcio 4.6. Seja F |K uma extensa˜o de corpos.
1. Se H,G < Gal(F : K) e H ⊂ G, enta˜o G+ ⊂ H+.
2. Se M e´ um corpo intermedia´rio, enta˜o
M ⊂M∗+ := {x ∈ F |σ(x) = x ∀σ ∈M∗}
3. Se H < Gal(F : K), enta˜o H ⊂ H+∗.
Sejam F o conjunto dos corpos intermedia´rios de F |K e G o conjunto dos subgrupos Gal(F : K), podemos
enta˜o definir as seguintes aplicac¸o˜es
∗ : F → G
M 7→M∗
+ : G → F
H 7→ H+
Exemplo 4.7. Consideremos a extensa˜o C|R. Seja σ um R−automorfismo de C, enta˜o: σ(a+ bi) = a+ bσ(i).
Assim, basta investigar σ(i). Agora, como i2 = −1, segue que −1 = σ(−1) = σ(i2) = σ(i)2, isto e´, σ(i) e´ raiz
do polinoˆmio irredut´ıvel R[x], donde σ(i) = ±i. Logo, temos duas possibilidades σ1 = id ou σ2(a+ bi) = a− bi
(que e´ um R-automorfismo, prove). Portanto Gal(C : R) = {id, σ2}.
Exemplo 4.8. Consideremos a extensa˜o Q(u)|Q, onde u = 3√2. Sejam σ ∈ Gal(Q(u) : Q) e x = a+ bu+ cu2,
a, b, c ∈ Q. Enta˜o, σ(x) = a+ bσ(u) + cσ(u)2. Ainda, como u3 = 2, temos σ(u)3 = σ(2) = 2, donde u e´ raiz de
x3 − 2. Exerc´ıcio: conclua que Gal(Q(u) : Q) = {id}
Mais ainda Q∗+ = {x ∈ Q(u)|σ(x) = x ∀σ ∈ Q∗}, mas Q∗ = {id}, donde Q∗+ = Q(u). Assim, Q∗+ 6⊂ Q.
4.2 Teorema fundamental da Teoria de Galois
Lema 4.9. (Dedekind.) Se K e F sa˜o corpos, enta˜o todo conjunto de monomorfismos (homomorfismos injeti-
vos) distintos de K em F e´ linearmente independente sobre F .
68 CAPI´TULO 4. TEORIA DE GALOIS
.
Lema 4.10. Um sistema de m equac¸o˜es homogeˆneas am1x1 + . . .+amnxn = 0 com n varia´veis com coeficientes
em um corpo tem uma soluc¸a˜o na˜o trivial se n > m.
Teorema 4.11. Seja G um subgrupo finito do grupo de automorfismos de um corpo K e seja K0 = G
+. Enta˜o,
[K : K0] = |G|.
4.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEORIA DE GALOIS 69
.
70 CAPI´TULO 4. TEORIA DE GALOIS
Corola´rio 4.12. Se G e´ o grupo de Galois da extensa˜o finita F |K e H e´ um subgrupo finito de G, enta˜o
[H+ : K] =
[F : K]
|H|
Teorema 4.13. Seja F |K extensa˜o finita, separa´vel e normal de grau n. Enta˜o |Gal(F : K)| = n.
4.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEORIA DE GALOIS 71
.
72 CAPI´TULO 4. TEORIA DE GALOIS
.
Corola´rio 4.14. Seja F |K uma extensa˜o finita, separa´vel e normal. Enta˜o,
(Gal(F : K))+ = K
Observac¸a˜o 4.15. A rec´ıproca do corola´rio e´ verdadeira, isto e´, se F |K for finita e (Gal(F : K))+ = K, enta˜o
F |K e´ normal e separa´vel.
4.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEORIA DE GALOIS 73
Teorema 4.16. Seja F |K uma extensa˜o finita, separa´vel e normal de grau n. Enta˜o
1. O grupo de Galois da extensa˜o possui ordem n.
2. Sejam F = {M |M e´ corpo intermedia´rio} e G = {H|H < Gal(F : K)}, enta˜o sa˜o bijec¸o˜es:
∗ : F → G
M 7→M∗
+ : G → F
H 7→ H+
Ale´m disso, sa˜o uma inversa da outra, isto e´, M = (M∗)+ e H = (H+)∗.
3. Seja M corpo intermedia´rio. Enta˜o, [F : M ] = |M∗| e [M : K] = [L : K]/|M∗|.
4. Seja M um corpo intermedia´rio e suponha M |K normal. Enta˜o
Gal(M : K) ∼= Gal(F : K)
Gal(F : M)
74 CAPI´TULO 4. TEORIA DE GALOIS
.
4.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEORIA DE GALOIS 75
Exemplo 4.17. Seja f(x) = x4 − 2 ∈ Q[x].
1. Seja K o corpo de decomposic¸a˜o de f(x) tal que K ∈ C. Enta˜o, em C, temos:
f(x) = (x− a)(x+ a)(x− ia)(x+ ia)
onde a = 4
√
2 e´ real e positivo. Portanto, K = Q(a, i) (exerc´ıcio). Como char(Q) = 0, segue que K|Q e´
finita, normal e separa´vel.
2. Vamos determinar o grau da extensa˜o. Sabemos que
[K : Q] = [Q(a, i) : Q(a)][Q(a) : Q]
O polinoˆmio mı´nimo de i sobre Q(a) e´ x2 + 1, ja´ que i2 + 1 = 0, mas i /∈ R ⊃ Q(a). Logo, [Q(a, i) :
Q(a)] = 2. Ainda, a e´ uma raiz de f(x) sobre Q e f(x) e´ irredut´ıvel sobre Q (Eisenstein). Portanto,
f(x) e´ o polinoˆmio mı´nimo de a sobre Q, donde segue que [Q(a) : Q] = 4. Logo, [K : Q] = 8.
3. Vamos agora determinar os elementos do grupo de Galois da extensa˜o K|Q.
Pelo Teorema Fundamental da Teoria de Galois, temos que |Gal(K : Q)| = [K : Q] = 8. Ainda, como
K|Q e´ finita, normal e separa´vel, segue que K|Q(a) e K|Q(i). Portanto:
(a) |Gal(K : Q(a))| = [K : Q(a)] = 2, donde existe τ automorfismo de K que fixa Q(a) e aplica i em
−i.
(b) |Gal(K : Q(i))| = [K : Q(i)] = 4, donde existe σ automorfismo de K que fica Q(i) e aplica a em ia.
Composic¸o˜es dos automorfismos τ, σ geram os Q−automorfismos de K:
Automorfismo Efeito em a Efeito em i
id a i
σ ia i
σ2 −a i
σ3 −ia i
τ a −i
στ ia −i
σ2τ −a −i
σ3τ −ia −i
4. Vamos encontrar a estrutura abstrata do grupo de Galois G. Como |Gal(K : Q)| = 8, temos que Gal(K :
Q) e´ isomorfo a um dos grupos: Z8, Z2×Z2×Z2, Z4×Z2, Q8 e D8. Como Gal(K : Q) na˜o e´ abeliadno,
temos que so´ pode ser isomorfo a D8 ou Q8. Agora, Gal(K : Q) possui 5 elementos de ordem 2 e Q8 so´
possui 1. Da´ı, Gal(K : Q) ∼= D8.
5. Vamos encontrar os subgrupos de G = Gal(K : Q).
Ordem Descric¸a˜o Estrutura abstrata
8 G D8
4 S = {id, σ, σ2, σ3} Z4
4 T = {id, σ2, τ, σ2τ} Z2 × Z2
4 U = {id, σ2, στ, σ3τ} Z2 × Z2
2 A = {id, σ2} Z2
2 B = {id, τ} Z2
2 C = {id, στ} Z2
2 D = {id, σ2τ} Z2
2 E = {id, σ3τ} Z2
1 I = {id} Z1
6. Observamos as relac¸o˜es de inclusa˜o entre os subgrupos de G e, sob a correspondeˆncia de Galois, obtemos
os corpos intermedia´rios.
76 CAPI´TULO 4. TEORIA DE GALOIS
7. Vamos descrever os elementos de S+. Por definic¸a˜o
S+ = {x ∈ K|σ(x) = x ∀σ ∈ S}
Como K e´ espac¸o vetorial sobre Q,
W = {1, i, a, a2, a3, ia, ia2, ia3}
e´ uma base de K sobre Q. Seja x ∈ K. Enta˜o
x = b0 + b1a+ b2a2 + b3a
3 + b4i+ b5ia+ b6ia
2 + b7ia
3
donde
σ(x) = b0 + b1ia− b2a2 − b3ia3 + b4i− b5a− b6a2 + b7a3
Assim, σ(x) = x se e somente se b1 = −b5, b2 = −b2 − b6, b3 = b7, b1 = b5, b6 = 0 e b7 = −b3, isto e´,
b1 = b2 = b3 = b5 = b6 = b7 = 0. Assim, x deve ser b+ ci, com b, c ∈ Q. Portanto, S+ = Q(i).
4.3 Exerc´ıcios
1. Sejam p e q primos ≥ 2 e α, u definidos por: u = cos(2pi
p
) + i sen(
2pi
p
) ∈ C e α = p√q ∈ R. Mostre que:
(a) α, αu, αu2, · · · , αup−1 sa˜o as p ra´ızes distintas de xp − q em C.
(b) irr(α,Q) = xp − q e irr(u,Q) = xp−1 + xp−2 + · · ·+ x+ 1.
(c) Gal(xp − q,Q) = {∑λijαiuj ;λij ∈ Q, 0 ≤ i ≤ p− 1, 0 ≤ j ≤ p− 2}.
Observac¸a˜o: Dado um polinoˆmio f(x) ∈ k[x], definimos Gal(f, k) como sendo o grupo Gal(Σ, k), onde
Σ e´ o corpo de decompsic¸a˜o de f sobre k.
2. Sejam α = 3
√
2 ∈ R e β = 3√2(−1
2
+
√
3
2
i) ∈ C. Mostre que:
(a) Q[α] ∼= Q[β].
(b) Gal(x3 − 2,Q) = Q[α, β] = Q[α, β] = Q[β, β].
3. Dado f(x) = x7 − 1 ∈ Q[x], seja Σ o corpo de decomposic¸a˜o de f sobre Q.
(a) Determine o grau da extensa˜o Q ⊂ Σ.
(b) Mostre que Γ(Σ,Q), o grupo de Galois da extensa˜o, e´ c´ıclico.
4. Sejam p um nu´mero primo e L o corpo de decomposic¸a˜o do polinoˆmio f(x) = xp
n − x sobre Zp. Mostre
que |L| = pn.
Sugesta˜o: Mostre que L = {a ∈ L; f(a) = 0} e conclua relacionando o nu´mero de ra´ızes de um polinoˆmio
com o seu grau.
5. Dado p um nu´mero primo considere o polinoˆmio f(x) = xp − 1 ∈ Q[x].
4.3. EXERCI´CIOS 77
(a) Determine Σ, o corpo de decomposic¸a˜o de f sobre Q.
(b) Determine o grupo de Galois da extensa˜o Σ : Q.
6. Seja K um subcorpo do nu´meros reais e seja f ∈ K[x] um polinoˆmio de grau 4. Mostre que se f tem
exatamente duas ra´ızes reais, o grupo de Galois de f , isto e´, o grupo de Galois da extensa˜o Σ : K, onde
Σ e´ o corpo de decomposic¸a˜o de f sobre K, e´ S4 ou D8.
7. Sejam f(x) e g(x) polinoˆmios irredut´ıveis sobre um corpo K tais que
mdc(deg(f(x)), deg(g(x))) = 1.
Se α for uma raiz de f(x) em alguma extensa˜o de K mostre que g(x) e´ irredut´ıvel sobre K(α).
8. Seja K ⊂ F uma extensa˜o de corpos tal que [F : K] = m e seja p(x) ∈ K[X] um polinoˆmio irredut´ıvel
sobre K de grau n. Se mdc(m,n) = 1, mostre que p(x) na˜o tem zeros em F .
9. Seja F uma extensa˜o alge´brica de K e seja D um subdomı´nio de F tal que K ⊂ D ⊂ F . Mostre que D e´
um corpo.
10. Sejam K um corpo e α transcendental sobre K. Seja E = K(α). Mostre que se β ∈ E − K enta˜o β e´
transcendental sobre K.
Sugesta˜o: Mostre que α e´ alge´brico sobre K(β).
11. (a) Mostre que a extensa˜o Q ⊂ Q(√2,√3) satisfaz as condic¸o˜es do Teorema de Galois.
(b) Encontre todos os subgrupos do grupo de Galois da extensa˜o Q ⊂ Q(√2,√3) e os respectivos corpos
intermedia´rios.
(c) Determine os subcorpos intermedidia´rios Q ⊂ E ⊂ Q(√2,√3) tais que E : Q e´ normal.
12. Responda Verdadeiro ou Falso para cada uma das seguintes afirmac¸o˜es, justificando sua resposta.
( ) Existem exatamente p automorfismos de Zp.
( ) O polinoˆmio f(x) = 2x5 − x− 1 e´ separa´vel sobre Z3.
( ) O grupo de Galois da extensa˜o C : R e´ abeliano.
( ) Uma extensa˜o de corpos L : K que tem grupo de Galois de ordem 1 e´ normal.
( ) Os corpos de decomposic¸a˜o dos polinoˆmios f(x) = x2−2 e g(x) = x2−4x+2 sobre Q sa˜o isomorfos.
( ) Se [F : K] for um nu´mero primo enta˜o F e´ uma extensa˜o simples de K.
13. Dado o polinoˆmio f(x) = x5 − 1 ∈ Q[x], seja Σ o corpo de decomposic¸a˜o de f sobre Q.
(a) Determine o grupo de galois da extensa˜o Σ : Q.
(b) Determine os subgrupos do grupo de Galois Γ(Σ : Q).
(c) Encontre os correspondentes corpos fixos.
(d) Encontre, se existirem, os subgrupos normais de Γ(Σ : Q) e verifique que as correspondentes extenso˜es
sa˜o normais.
14. Dado o polinoˆmio f(x) = x4 + x+ 1 ∈ Z2[x], seja Σ o corpo de decomposic¸a˜o de f sobre Z2.
(a) Determine o grupo de galois da extensa˜o Σ : Z2.
(b) Determine os subgrupos do grupo de Galois Γ(Σ : Z2).
(c) Encontre os correspondentes corpos fixos.
(d) Encontre, se existirem, os subgrupos normais de Γ(Σ : Z2) e verifique que as correspondentes extenso˜es
sa˜o normais.
15. Dado o polinoˆmio f(x) = x4 − 2x2 − 3 ∈ Q[x], seja Σ o corpo de decomposic¸a˜o de f sobre Q.
(a) Determine o grupo de galois da extensa˜o Σ : Q.
(b) Determine os subgrupos do grupo de Galois Γ(Σ : Q).
(c) Encontre os correspondentes corpos fixos.
78 CAPI´TULO 4. TEORIA DE GALOIS
(d) Encontre, se existirem, os subgrupos normais de Γ(Σ : Q) e verifique que as correspondentes extenso˜es
sa˜o normais.
16. Dado o polinoˆmio f(x) = x4 − 6x2 + 4 ∈ Q[x], seja Σ o corpo de decomposic¸a˜o de f sobre Q.
(a) Determine o grupo de galois da extensa˜o Σ : Q.
(b) Determine os subgrupos do grupo de Galois Γ(Σ : Q).
(c) Encontre os correspondentes corpos fixos.
(d) Encontre, se existirem, os subgrupos normais de Γ(Σ : Q) e verifique que as correspondentes extenso˜es
sa˜o normais.