Grátis: Sejam x e y números reais. Assinale a alternativa correta: (A) Todo x e y satisfaz |x| + |y| < √(2 |x² + y²|) (B) Existe x e y que não satisfaz |x...

Matemática

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Sejam x e y números reais. Assinale a alternativa correta:

(A) Todo x e y satisfaz |x| + |y| < √(2 |x² + y²|)
(B) Existe x e y que não satisfaz |x + y| < ||x| + |y||
(C) Todo x e y satisfaz |x| + |y| < √(2 |x| |y|)
(D) Todo x e y satisfaz |x - y| < |x| + |y|
(E) Não existe x e y que não satisfaz |x| + |y| < √(3 |x² + y²|)

Matematicamente

ano passado

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714 pág.

A Matemática no Vestibular do IME

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Vamos analisar cada alternativa: (A) Todo x e y satisfaz |x| + |y| < √(2 |x² + y²|) Essa desigualdade é conhecida como desigualdade triangular e é verdadeira para todos os números reais x e y. Portanto, a alternativa (A) está correta. (B) Existe x e y que não satisfaz |x + y| < ||x| + |y|| Essa desigualdade não é verdadeira para todos os números reais x e y, pois a desigualdade triangular não é satisfeita. Portanto, a alternativa (B) está incorreta. (C) Todo x e y satisfaz |x| + |y| < √(2 |x| |y|) Essa desigualdade não é verdadeira para todos os números reais x e y, pois a desigualdade triangular não é satisfeita. Portanto, a alternativa (C) está incorreta. (D) Todo x e y satisfaz |x - y| < |x| + |y| Essa desigualdade é conhecida como desigualdade triangular invertida e é verdadeira para todos os números reais x e y. Portanto, a alternativa (D) está correta. (E) Não existe x e y que não satisfaz |x| + |y| < √(3 |x² + y²|) Essa desigualdade não é verdadeira para todos os números reais x e y, pois a desigualdade triangular não é satisfeita. Portanto, a alternativa (E) está incorreta. Portanto, as alternativas corretas são (A) e (D).

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Os catetos medindo 3 cm e 4 cm. Os diâmetros dos três semicírculos, traçados na figura abaixo, coincidem com os lados do triângulo ABC. A soma das áreas hachuradas, em cm2, é:

(A) x²√2
(B) x²√3
(C) x²
(D) 58.212
(E) 62.822

O valor de x que satisfaz a equação sen(arccotg (1 + x)) = cos(arctg (x)) :

(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) √2
(E) -√2

A base de uma pirâmide é um retângulo de área S. Sabe-se que duas de suas faces laterais são perpendiculares ao plano da base. As outras duas faces formam ângulos de 30° e 60° com a base. O volume da pirâmide é:

(A) √3S
(B) S√3
(C) -2S√3
(D) 2S√3
(E) 2√3

Sejam x₁, x₂ os n primeiros termos de uma progressão aritmética. O primeiro termo e a razão desta progressão são os números reais x₁ e r, respectivamente. O determinante x₁² + cos²θ é:

(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8

Uma reta, com coeficiente angular m, passa pelo ponto (0, -1). Uma outra reta, com coeficiente angular m₂, passa pelo ponto (0,1). Sabe-se que m + m₂ = 2. O lugar geométrico percorrido pelo ponto de interseção das duas retas é uma:

(A) hipérbole de centro (0,0) e retas diretrizes y = ±√2
(B) circunferência de centro (m₁,m₂) e raio √(m₂² + m₁²)
(C) hipérbole de centro (0,0) e retas diretrizes x = ±√2
(D) elipse de centro (0,0) e retas diretrizes x = ±√2
(E) elipse de centro (m₁,m₂) e retas diretrizes y = ±√2

O pipoqueiro cobra o valor de R$ 1,00 por saco de pipoca. Ele começa seu trabalho sem qualquer dinheiro para troco. Existem oito pessoas na fila do pipoqueiro, das quais quatro têm uma moeda de R$ 1,00 e quatro uma nota de R$ 2,00. Supondo uma arrumação aleatória para a fila formada pelas oito pessoas e que cada uma comprará exatamente um saco de pipoca, a probabilidade de que o pipoqueiro tenha troco para as quatro pessoas que pagarão com a nota de R$ 2,00 é:

(A) 1
(B) 1
(C) ⅓
(D) 1
(E) 1

Em relação à teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos A, B e C:
I. Se A ⊆ B e B ⊆ C então A ⊆ C.
II. Se A ∩ B e B ⊆ C então A ⊆ C.
III. Se A ∪ B e B ⊆ C então A ⊆ C.
Estão corretas:

(A) nenhuma das alternativas
(B) somente a alternativa I
(C) somente as alternativas I e II
(D) somente as alternativas II e III
(E) todas as alternativas

Seja p(x) uma função polinomial satisfazendo a relação p(x)p(4) = p(-x) + p(|x|). Sabendo que p(3) = 28, o valor de p(4) é:

(A) 10
(B) 30
(C) 45
(D) 55
(E) 65

Uma progressão aritmética {xₙ}, onde n ∈ ℕ, tem x₁ > 0 e 3x₇ = 5x₁₃. Se Sₙ é a soma dos n primeiros termos desta progressão, o valor de n para que Sₙ seja máxima é:

(A) 10
(B) 11
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(E) 21

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