A derivada de uma função pode ser utilizada, dentre outros, para auxiliar nos estudos envolvendo a representação gráfica e a identificação de pontos de máximo e de mínimo da mesma. Considere a função real definida por f(x) = (2x + 1)3 A respeito desta função, analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas: I. A função f é crescente no intervalo I = [0, 3]. PORQUE II. A derivada da função f assume valor negativo no intervalo I = [0, 3]. Com base nestas informações, assinale a alternativa correta:

a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
b) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são proposições falsas.

Question

A derivada de uma função pode ser utilizada, dentre outros, para auxiliar nos estudos envolvendo a representação gráfica e a identificação de ponto...

Ed · Answer

Vamos analisar as asserções:

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = (2x + 1)^3 $.

1. **Cálculo da derivada**:
   Usando a regra da cadeia, temos:
   $$
   f'(x) = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2
   $$

2. **Análise da derivada**:
   A derivada $ f'(x) = 6(2x + 1)^2 $ é sempre não negativa, pois o quadrado de qualquer número é não negativo e 6 é um número positivo. Portanto, $ f'(x) \geq 0 $ para todo $ x $.

Agora, vamos analisar as asserções:

I. **A função f é crescente no intervalo I = [0, 3]**: Verdadeira, pois a derivada é não negativa em todo o intervalo, indicando que a função é crescente.

II. **A derivada da função f assume valor negativo no intervalo I = [0, 3]**: Falsa, pois a derivada é sempre não negativa, como já analisado.

Com base nas análises:

- A asserção I é verdadeira.
- A asserção II é falsa.

Portanto, a alternativa correta é: **c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.**

Ed · Answer

Vamos analisar as asserções:

I. A função f é crescente no intervalo I = [0, 3].
II. A derivada da função f assume valor negativo no intervalo I = [0, 3].

Para determinar se a função é crescente ou decrescente em um intervalo, podemos analisar o sinal da derivada nesse intervalo. Se a derivada for positiva, a função é crescente; se for negativa, a função é decrescente.

Vamos calcular a derivada da função f(x) = (2x + 1)^3:
f'(x) = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^2

Agora, vamos analisar o sinal da derivada no intervalo [0, 3]:
f'(x) = 6(2x + 1)^2
Para x = 0: f'(0) = 6(1)^2 = 6 > 0
Para x = 3: f'(3) = 6(7)^2 = 6*49 = 294 > 0

Como a derivada é sempre positiva no intervalo [0, 3], a função é crescente nesse intervalo.

Portanto, a asserção I é verdadeira. Já a asserção II é falsa, pois a derivada da função é positiva no intervalo [0, 3], e não negativa.

Assim, a alternativa correta é: c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.

Matemática

Av2- Cálculo diferencial e integral I (5)

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