Analisando a definição de uma função par, que é g(x, y) = g(-x, -y) para todo (x, y) ∈ R2, podemos inferir algumas propriedades sobre a função f : R2 → R que é diferenciável e par. Vamos analisar as opções: a) ∇f(0, 0) = (0, 0) - Não podemos afirmar que o vetor gradiente de f em (0, 0) é necessariamente nulo, pois a função pode ter variações em outras direções. b) ∇f(0, 0) ≠ (0, 0) - Da mesma forma, não podemos afirmar que o vetor gradiente em (0, 0) é diferente de zero sem mais informações. c) f é duas vezes diferenciável - A propriedade de ser uma função par não implica diretamente que ela seja duas vezes diferenciável. d) f não é contínua - Não há indicação de que a função par e diferenciável f seja necessariamente não contínua. e) ∇f(x, y) é par - Como a função f é par, podemos inferir que o vetor gradiente ∇f(x, y) também será par, pois a paridade da função se mantém nas derivadas parciais. Portanto, a opção correta é: (e) ∇f(x, y) é par.