Grátis: Seja :f →  definida por ( ) ( )2 0f x a x x h= − + , em que 0, e a h x são números reais fixados. O gráfico da função f pode ser obtido do g...

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Seja :f →  definida por ( ) ( )2 0f x a x x h= − + , em que 0, e a h x são números reais fixados. O gráfico da função f pode ser obtido do gráfico de ( )2 0y a x x= − do caso 3º, adicionando-se o valor h em todas suas imagens. Desse modo, obtém-se para gráfico de f o gráfico de ( )2 0y a x x= − transladado para cima ( )0h > ou para baixo ( )0h < .

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Matemática Básica - Volume 1 Ademir Sartim

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Parece que você está descrevendo um processo de translação vertical do gráfico da função \(y = a x^2\) para obter o gráfico da função \(f(x) = a(x-h)^2\). Essa translação consiste em adicionar o valor de \(h\) a todas as imagens da função original. Dessa forma, o gráfico de \(f\) será o gráfico de \(y = a(x-h)^2\) transladado para cima se \(h > 0\) ou para baixo se \(h < 0\). Esse processo é útil para visualizar como a função \(f\) se comporta em relação à função original após a translação vertical.

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Prove que:
1. O conjunto dos inteiros pares e o conjunto dos inteiros ímpares são fechados em relação à multiplicação

2. O conjunto dos inteiros pares é fechado em relação à adição.
3. O conjunto dos inteiros ímpares não é fechado em relação à adição.
4. A soma de dois inteiros ímpares é um inteiro par.
5. A soma de um inteiro par com um inteiro ímpar é um inteiro ímpar.
6. Um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado é par.
7. Um número inteiro é ímpar se e somente se o seu quadrado é ímpar.
8. Um número inteiro é divisível por 3 se e somente se o seu quadrado é divisível por 3.
9. Seja p∈ :

Se p é par, então np é par, n∀ ∈ .
Se p é ímpar, então np é ímpar, n∀ ∈ .

PRODUTO:
Sejam x > 0 e y > 0 ( x e y números reais positivos):
x
y
xy
0 10
O XU
P
Y
Pelo teorema de Tales:
OY OP
OU OX
= ⇔
y OP
x
=
Logo, OP = xy
Portanto, a medida do segmento OP é xy , que é definido como sendo sua abscissa.
Observe que, quando x e y têm sinais contrários ( )0 e 0 ou 0 e 0x y x y> < < > , o ponto P
de abscissa xy estará na semirreta negativa.
Para 0 e 0> 1
= ⇔ = ⇔ =
OP OY OP y OP xy
xOX OU
É importante atentar-se para o fato de que as notações e OP OY são medidas com sinais, cha-
madas de medidas algébricas.

Apenas a título de informação, faremos o comentário que segue.
O conjunto dos números reais é fechado em relação às quatro operações: adição, subtração, mul-
tiplicação e divisão. Possui também as propriedades operatórias: associativa, comutativa, distribu-
tiva da multiplicação em relação à adição, elemento neutro, elemento inverso e elemento simétrico.
Incluindo a relação de ordem definida no conjunto  , ele recebe o status de corpo ordenado.
O conjunto dos números racionais também é um corpo ordenado. No entanto, o corpo dos nú-
meros reais, além de possuir “mais” elementos, possui uma importantíssima propriedade, denomi-
nada de completeza. Por isso ele é chamado de corpo ordenado completo. O corpo dos números
racionais não é completo.
A axiomatização dos números reais foi estabelecida por matemáticos do século XIX.
O assunto comentado acima será estudado com detalhes em disciplinas mais avançadas, como
Análise Matemática e Estruturas Algébricas.

Sendo m e n números ímpares, mostre que:
a) 1+n é par
b) nm + é par
c) ( )1m n + é par
d) 2 2m n+ é par

Seja a função afim :f →  dada por ( )f x ax b= + .

a) Se 0a > , então f é crescente.

b) Se 0a < , então f é decrescente.

a) Verdadeiro.
b) Verdadeiro.

6.4 Exercícios
1) Para a limpeza da cisterna (reservatório de água) de um condomínio, com capacidade de 30.000 litros, foi ligada uma bomba de sucção às 6:00 horas da manhã. Às 9:00 horas do mesmo dia, o nível da cisterna marcava que ela ainda continha 87,5% de sua capacidade total.
a) Escreva uma função que forneça o volume de água da cisterna em função do tempo em que a bomba ficar ligada.
b) Quanto tempo a bomba deve ficar ligada para esvaziar completamente a cisterna?

6) Esboce o gráfico de:
a) y = 1/3x + 1, se x < 0; y = 1, se x >= 0
b) 2y = -x, se x < 1; 4, se 1 <= x <= 3
c) y = 2 - x, se x < 1; 3, se 1 <= x <= 3
d) y = 2, se x < 1; 4, se x >= 1

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Prove que:
1. O conjunto dos inteiros pares e o conjunto dos inteiros ímpares são fechados em relação à multiplicação

Sendo m e n números ímpares, mostre que:
a) 1+n é par
b) nm + é par
c) ( )1m n + é par
d) 2 2m n+ é par

Seja a função afim :f →  dada por ( )f x ax b= + .

a) Se 0a > , então f é crescente.

b) Se 0a < , então f é decrescente.

a) Verdadeiro.
b) Verdadeiro.

6) Esboce o gráfico de:
a) y = 1/3x + 1, se x < 0; y = 1, se x >= 0
b) 2y = -x, se x < 1; 4, se 1 <= x <= 3
c) y = 2 - x, se x < 1; 3, se 1 <= x <= 3
d) y = 2, se x < 1; 4, se x >= 1

7) Sendo f(x) = ax + b, determine a e b para que o Gr f contenha os pontos (1,2) e (2,3).

8) Resolva as inequações:
a) 3x - 4 >= 2x
b) 5/(4-2x) >= x
c) 2x + 3 > 0
d) 4x + 3(5-x) <= 0
e) 2(2-x) > 0

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Prove que:1. O conjunto dos inteiros pares e o conjunto dos inteiros ímpares são fechados em relação à multiplicação

Sendo m e n números ímpares, mostre que:a) 1+n é parb) nm + é parc) ( )1m n + é pard) 2 2m n+ é par

Seja a função afim :f →  dada por ( )f x ax b= + .a) Se 0a > , então f é crescente.b) Se 0a < , então f é decrescente.a) Verdadeiro.b) Verdadeiro.

6) Esboce o gráfico de:a) y = 1/3x + 1, se x < 0; y = 1, se x >= 0b) 2y = -x, se x < 1; 4, se 1 <= x <= 3c) y = 2 - x, se x < 1; 3, se 1 <= x <= 3d) y = 2, se x < 1; 4, se x >= 1

7) Sendo f(x) = ax + b, determine a e b para que o Gr f contenha os pontos (1,2) e (2,3).

8) Resolva as inequações:a) 3x - 4 >= 2xb) 5/(4-2x) >= xc) 2x + 3 > 0d) 4x + 3(5-x) <= 0e) 2(2-x) > 0

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1. O conjunto dos inteiros pares e o conjunto dos inteiros ímpares são fechados em relação à multiplicação

Sendo m e n números ímpares, mostre que:
a) 1+n é par
b) nm + é par
c) ( )1m n + é par
d) 2 2m n+ é par

Seja a função afim :f →  dada por ( )f x ax b= + .

a) Se 0a > , então f é crescente.

b) Se 0a < , então f é decrescente.

a) Verdadeiro.
b) Verdadeiro.

6) Esboce o gráfico de:
a) y = 1/3x + 1, se x < 0; y = 1, se x >= 0
b) 2y = -x, se x < 1; 4, se 1 <= x <= 3
c) y = 2 - x, se x < 1; 3, se 1 <= x <= 3
d) y = 2, se x < 1; 4, se x >= 1

8) Resolva as inequações:
a) 3x - 4 >= 2x
b) 5/(4-2x) >= x
c) 2x + 3 > 0
d) 4x + 3(5-x) <= 0
e) 2(2-x) > 0