Para encontrar a distância do centro da circunferência à origem, é necessário calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano. O centro da circunferência é dado pelas coordenadas (h, k), onde h é o coeficiente de x e k é o coeficiente de y na equação da circunferência. Dada a equação da circunferência: \(2x^2 + y^2 + 6x + 8y + 9 = 0\), podemos reescrevê-la na forma padrão \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) para identificar o centro (h, k). Completando o quadrado para x e y, obtemos: \(2(x^2 + 3x) + y^2 + 8y = -9\) \(2(x^2 + 3x + \frac{9}{2}) + y^2 + 8y + 16 = -9 + 2(\frac{9}{2}) + 16\) \(2(x + \frac{3}{2})^2 + (y + 4)^2 = 16\) Assim, o centro da circunferência é (-3/2, -4). Para encontrar a distância entre este ponto e a origem (0,0), podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano: \(d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}\). Substituindo os valores, temos: \(d = \sqrt{(-3/2 - 0)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{(-3/2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9/4 + 16} = \sqrt{25/4} = 5/2 = 2,5\). Portanto, a distância do centro da circunferência à origem é de 2,5 unidades de comprimento, o que corresponde à alternativa c) 5 u. c.