Sendo assim, determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y, pela parábola y = x² no intervalo de [0, 4]: A ) V = 2π u.v. B ) V = 4π u.v. C ) V = 12π u.v. D ) V = 8π u.v. E ) V = 3π u.v.

Question

Sendo assim, determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y, pela parábola y = x² no intervalo de [0, 4]:  A )  V = 2π u.v. B ...

Ed · Answer

Para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da parábola $ y = x^2 $ em torno do eixo $ y $ no intervalo de $ [0, 4] $, podemos usar o método dos discos.

Primeiro, precisamos expressar $ x $ em função de $ y $:
$$
x = \sqrt{y}
$$

O volume $ V $ é dado pela fórmula:
$$
V = \pi \int_{a}^{b} [f(y)]^2 \, dy
$$
onde $ f(y) = \sqrt{y} $ e os limites de integração são de $ y = 0 $ a $ y = 4 $.

Assim, temos:
$$
V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_{0}^{4} y \, dy
$$

Calculando a integral:
$$
V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left[ \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right] = \pi \left[ \frac{16}{2} \right] = 8\pi
$$

Portanto, o volume do sólido gerado é:
$$
V = 8\pi \, u.v.
$$

Assim, a alternativa correta é: **D) V = 8π u.v.**

Ed · Answer

Para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da parábola $y = x^2$ em torno do eixo y no intervalo de [0, 4], podemos utilizar o método dos discos ou cascas.

No caso da rotação em torno do eixo y, devemos integrar em relação a y. O raio da circunferência formada ao girar a parábola será dado por $r = y^{1/2}$ (pois $y = x^2$, então $x = \sqrt{y}$).

A fórmula para o volume V gerado pela rotação em torno do eixo y é dada por:
$$V = \pi \int_{a}^{b} [r(y)]^2 dy$$
$$V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{y})^2 dy$$
$$V = \pi \int_{0}^{4} y dy$$
$$V = \pi [\frac{y^2}{2}]_{0}^{4}$$
$$V = \pi \cdot \frac{4^2}{2} - \pi \cdot \frac{0^2}{2}$$
$$V = \pi \cdot 8$$

Portanto, o volume do sólido gerado pela rotação da parábola $y = x^2$ em torno do eixo y no intervalo de [0, 4] é $8\pi$.

Assim, a alternativa correta é: D) V = 8π u.v.

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