Calcule a integral dupla onde JJr (X - 3y?) dA onde R = {(x, y) |0 < x ≤ 2, 1y ≤ 2}

Para calcular a integral dupla \(\iint_R (x - 3y^2) \, dA\) onde \(R = \{(x, y) \mid 0 < x \leq 2, 1 \leq y \leq 2\}\), seguimos os seguintes passos: 1. Definir os limites de integração: - Para \(x\), os limites são de \(0\) a \(2\). - Para \(y\), os limites são de \(1\) a \(2\). 2. Escrever a integral dupla: \[ \int_{0}^{2} \int_{1}^{2} (x - 3y^2) \, dy \, dx \] 3. Calcular a integral interna (em relação a \(y\)): \[ \int_{1}^{2} (x - 3y^2) \, dy = \left[ xy - y^3 \right]_{1}^{2} \] Substituindo os limites: \[ = \left[ 2x - 8 \right] - \left[ x - 1 \right] = 2x - 8 - x + 1 = x - 7 \] 4. Agora, calcular a integral externa (em relação a \(x\)): \[ \int_{0}^{2} (x - 7) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - 7x \right]_{0}^{2} \] Substituindo os limites: \[ = \left[ \frac{2^2}{2} - 7 \cdot 2 \right] - \left[ 0 - 0 \right] = \left[ 2 - 14 \right] = -12 \] 5. Resultado final: A integral dupla \(\iint_R (x - 3y^2) \, dA\) é igual a \(-12\).