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No próximo exemplo, analisaremos um sistema trifásico desequilibrado com carga em Δ.

a) IA = 38,7 ∠ 108,1o A, IB = 46,4 ∠ -45o A, IC = 21,2 ∠ 190,9o A
b) IN = - (IA + IB + IC) = 14,1 ∠ -166,9° A
c) As correntes nas fases podem ser calculadas por:
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Circuitos Elétricos II - Teoria e Prática
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Circuitos Elétricos II - Teoria e Prática

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Qual é o objetivo do tópico 2 da Unidade 1 sobre circuitos em corrente alternada (análise em regime senoidal)?

A) Apresentar os fundamentos básicos do software para a simulação de circuitos elétricos.
B) Realizar operações com números complexos.
C) Entender e aplicar cálculos com fasores.
D) Realizar cálculos no domínio da frequência.

AUTOATIVIDADE
Dado um circuito composto por uma fonte de tensão v1 ligada à uma carga resistiva, composta por dois resistores, R1 e R2 ligados em série:
a) Faça um esboço da aparência da forma de onda de tensão e da corrente nos terminais da carga. As grandezas estão defasadas? Se sim, em quantos graus?
b) Quais os valores das amplitudes de tensão e corrente na carga?
c) Quais os valores das amplitudes de tensão e corrente em R1 e em R2?
d) Desenhe as formas de onda de corrente e tensão para R1 e R2.
Dados: v1 = 10.sin (2π); R1 = 3Ω; R2 = 2Ω.

Nesse momento, veremos os aspectos relevantes do cálculo com números complexos, que são necessários para a resolução dos circuitos elétricos que envolvem corrente alternada. Abordaremos as notações de representação dos números na forma retangular, polar e exponencial. Em função da similaridade e da praticidade das representações, será utilizada a notação exponencial no lugar da comumente notação polar. Os exercícios de fixação e as autoatividades propostas visam a explorar aspectos dos cálculos que são comumente utilizados, como a multiplicação de grandezas elétricas (lei de Ohm), as ligações série e paralela de impedâncias, as transformações de rede (Y – ∆), a representação gráfica e as operações com fasores, entre outros. Nesse contexto, foram elaborados diversos exercícios para que seja possível desenvolver a habilidade de trabalhar o cálculo com fasores, resolvendo as expressões e, posteriormente, representando-os nos diagramas fasoriais. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS O conjunto dos números complexos engloba todo o conjunto dos números naturais, o que permite representar todo o conjunto de números, desde os positivos, os negativos, os inteiros e os fracionários. NOTAÇÃO RETANGULAR Tomando como exemplo um determinado número complexo Z, expressa-se esse número complexo na notação retangular como: Z = a ± jb ou Z = a ± ib Lê-se Z é igual a a mais ou menos jota b, em que: Z = número complexo na forma retangular; a = parte real do número complexo; b = parte imaginária do número complexo; i ou j = operador . Os números na forma retangular possuem uma parte real e uma parte imaginária, que é associada ao operador i2 = –1. Graficamente, os números podem ser apresentados também no plano complexo. Dados quatro números Z1, Z2, Z3 e Z4, que são representados no plano complexo Re x Im (Figura 25), observa-se que os quadrantes do gráfico são numerados da mesma forma que os quadrantes do plano real, comumente conhecidos. Z1 = a1 + ib1; Z2 = a1 – ib1; Z3 = –a1 – ib1; Z4= –a1 + ib1 NÚMEROS COMPLEXOS. NOTAÇÃO NA FORMA POLAR Tomando como exemplo um determinado número complexo Z, este é expressado na notação polar como: Z = ρ ∟ ± θ Lê-se Z é igual a rô ângulo mais/menos teta, em que: Z = número complexo na forma polar; ρ = módulo do número complexo; θ = ângulo que o módulo faz com a parte real do plano complexo; ∟ = operador que identifica a forma polar. Os números, na forma polar, possuem um módulo e um ângulo. Esse ângulo normalmente é referenciado em relação ao eixo real do plano complexo Re x Im. O sentido de giro do ângulo θ é o mesmo do círculo trigonométrico, ou seja, no sentido anti-horário. Quando o ângulo for negativo, isso significa que a orientação de referência passa a ser o sentido horário. Graficamente, os números podem ser apresentados também no plano complexo. Dados os números Z1 e Z2, que são representados no plano complexo Re x Im (Figura 26), observa-se que os quadrantes do gráfico são numerados da mesma forma que os quadrantes do plano real, comumente conhecidos. NOTAÇÃO NA FORMA EXPONENCIAL Tomando como exemplo um determinado número complexo Z, expressa-se esse número complexo na notação na forma exponencial como: Z = ρ e ±θi Lê-se Z é igual a rô e mais/menos teta i, em que: Z = número complexo na forma polar; ρ = módulo do número complexo; θ = ângulo que o módulo faz com a parte real do plano complexo; e = número de Euler 2,71828182846. Os números na forma exponencial possuem um módulo e um ângulo. Esse ângulo normalmente é referenciado em relação ao eixo real do plano complexo Re x Im. O sentido de giro do ângulo θ é o mesmo do círculo trigonométrico, ou seja, no sentido anti-horário. Quando o ângulo for negativo, a orientação de referência passa a ser o sentido horário. Graficamente, os números podem ser apresentados também no plano complexo. Dados os números Z1 e Z2, que são representados no plano complexo Re x Im (Figura 27), observa-se que os quadrantes do gráfico são numerados da mesma forma que os quadrantes do plano real, comumente conhecidos. Z1 = ρ1 eθ1i Z2 = ρ2 e–θ2i Sua representação é semelhante à aplicada na notação polar mostrada na Figura 27. CONVERSÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Dados dois valores: Z1 = a + bi Z2 = ρ1 eθ1i Convertendo-se de retangular para polar/exponencial: Convertendo-se de polar/exponencial para retangular: a = ρ.cos(θ) b = ρ.sen(θ) Z1= a + i.b = ρ.cos(θ) + ρ.sen(θ).i. Cálculos com números complexos Embora possam ser utilizadas todas as notações para fazer os cálculos com números complexos, usaremos, a fim de facilitar o estudo e a aplicabilidade dos conceitos, as notações com as operações equivalentes conforme demonstrado na Tabela 1. TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS. FIGURA 25 – PLANO COMPLEXO NA NOTAÇÃO RETANGULAR. FONTE: O autor. FIGURA 26 – PLANO COMPLEXO NA FORMA POLAR. FONTE: O autor. FIGURA 27 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA NOTAÇÃO RETANGULAR E POLAR. FONTE: O autor. Embora possam ser utilizadas todas as notações para fazer os cálculos com números complexos, usaremos, a fim de facilitar o estudo e a aplicabilidade dos conceitos, as notações com as operações equivalentes conforme demonstrado na Tabela 1. TABELA 1 – NOTAÇÕES PARA CÁLCULOS COM NÚMEROS COMPLEXOS. FONTE: O autor. Operação Notação Exemplo. Adição/subtração Retangular. Z1 = a1 + i b1; Z2 = a2 + i b2. Ztotal = Z1 ± Z2 = (a1 ± a2 ) + i(b1 ± b2). Observação: atenção com os sinais quando houver números negativos, por exemplo: Z3 = –a3 + i b3; Z4 = a4 – i b2. Ztotal = Z3 – Z4 = (a3 – a4 ) + i(b3 ± b4). Multiplicação/divisão Polar ou exponencial. Za = ρa eθai); Zb = ρb eθbi. Ztotal = Za.Zb = ρa.(ρb)±1 e(θa ± θb)i. Neste tópico, você aprendeu que: • Inserir componentes, realizar as ligações, simular e analisar o comportamento de componentes elétricos utilizando um software de simulação de circuitos elétricos. • As notações de números complexos: retangular, polar e exponencial. • Para converter uma notação em outra, como retangular para polar/exponencial: , e de polar/exponencial para retangular: a = ρ.cos(θ); b = ρ.sen(θ); Z1 = a + i.b = ρ.cos(θ) + ρ.sen(θ).i. • A fazer de uma forma mais conveniente as operações com complexos: adição/subtração realizar em retangular; multiplicação/divisão realizar em polar ou exponencial. RESUMO DO TÓPICO 1. AUTOATIVIDADE. 1 Dados os números complexos, faça as operações solicitadas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p). 2 Trabalhando com expressões: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t). 3 Resolva os sistemas lineares utilizando a regra de Cramer e a equação A . X = B: Dados: a) b) c) 0 75 14. TÓPICO 2 — UNIDADE 1 FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA. 1 INTRODUÇÃO Neste tópico, serão apresentados os elementos passivos e as fontes de alimentação que são utilizadas nos cálculos com corrente alternada, representados no domínio da frequência, bem como a aplicação da notação dos números complexos para a resolução de circuitos elétricos em corrente alternada. 2 FONTE SENOIDAL E SUA REPRESENTAÇÃO As fontes senoidais, por variarem de amplitude ao longo do tempo, apresentam algumas características especiais. Trabalhar no domínio do tempo pode ser complicado quando existem elementos reativos no circuito, como indutores e capacitores, nos quais as grandezas com tensão e corrente são afetadas pelos componentes. Também fazem parte das fontes senoidais os conceitos de

Em que contexto os fasores são utilizados para analisar o comportamento dos circuitos elétricos em corrente alternada?

A) Para simplificar os cálculos de circuitos elétricos em corrente contínua.
B) Para representar grandezas no domínio do tempo.
C) Para analisar grandezas em um determinado instante de tempo.
D) Para desconectar a grandeza do domínio do tempo e facilitar os cálculos de circuitos elétricos em corrente alternada.

A tensão nos terminais de um indutor é função da taxa de variação da corrente que circula por esse indutor em um determinado intervalo de tempo. A representação matemática dessa correlação é dada por: A transformada de Laplace da tensão nos terminais do indutor é dada por:

AUTOATIVIDADE
2 A afirmação “a potência média absorvida por um indutor é zero” é verdadeira ou falsa? Justifique.

AUTOATIVIDADE
7 Em um circuito série de dois elementos, a potência é de 940 [W] e o fator de potência é de 0,707 (adiantado). Sendo v = 99.sen(6000.t + 30°) a tensão aplicada, determine as constantes R e C do circuito.

AUTOATIVIDADE
8 Um motor de indução, cuja saída é de 2 h.p., tem rendimento de η = 85%. Com essa carga, o fator de potência é de 0,8 (atrasado). Determine as potências de entrada. Dica: utilize a expressão matemática para a potência quando em h.p. e quando é conhecido o valor do rendimento do motor.

8 A impedância de Thévenin de um circuito, vista dos terminais da carga, é ZTH = (80 + j 55) [Ω]. Para a máxima transferência de potência, a impedância da carga deve ser:

a) ( ) (– 80 + j 55) [Ω].
b) ( ) (– 80 – j 55) [Ω].
c) ( ) (80 – j 55) [Ω].
d) ( ) (80 + j 55) [Ω].

9 A grandeza que contém todas as informações sobre a potência em uma determinada carga é:

a) ( ) O fator de potência.
b) ( ) A potência aparente.
c) ( ) A potência média.
d) ( ) A potência reativa.
e) ( ) A potência complexa.

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