Circuitos Elétricos II - Teoria e Prática

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Indaial – 2021
CirCuitos ElétriCos ii
Prof.ª Júlia Grasiela Busarello Wolff
Prof. Léo Roberto Seidel
Prof. Rubens Bernardes de Carvalho
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2021
Elaboração:
Prof.ª Júlia Grasiela Busarello Wolff
Prof. Léo Roberto Seidel
Prof. Rubens Bernardes de Carvalho
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
W855c
Wolff, Júlia Grasiela Busarello
Circuitos elétricos II. / Júlia Grasiela Busarello Wolff; Léo Roberto 
Seidel; Rubens Bernardes de Carvalho. – Indaial: UNIASSELVI, 2021.
205 p.; il.
ISBN 978-65-5663-402-9
ISBN Digital 978-65-5663-403-6
1. Circuitos elétricos. - Brasil. I. Wolff, Júlia Grasiela Busarello. 
II. Seidel, Léo Roberto. III. Carvalho, Rubens Bernardes de. IV. Centro 
Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 621.3192
AprEsEntAção
Prezado acadêmico, seja bem-vindo ao livro didático de Circuitos 
Elétricos II, que foi desenvolvido para abordar alguns dos principais 
conteúdos de circuitos elétricos em corrente alternada (CA). Nesse contexto, 
é importante que você já tenha cursado a disciplina de Circuitos Elétricos I, 
na qual são abordadas muitas das teorias e métodos de resolução de circuitos 
aplicados neste conteúdo. A fim de que o curso tenha um cunho aplicado à 
engenharia elétrica, foram utilizados, no desenvolvimento deste material, 
uma vasta gama de exercícios direcionados às dificuldades comumente 
encontradas nesse estudo.
Com o intuito de facilitar seus estudos, este livro foi dividido em 
três unidades, cada qual com outros três tópicos. A Unidade 1 é dedicada 
à análise de circuitos em regime senoidal. É apresentado o software de 
simulação LTspice®, de domínio público, que será utilizado no decorrer dos 
experimentos e das simulações. Será realizada uma revisão dos números 
complexos direcionada ao uso em circuitos de corrente alternada, assim 
como a abordagem de fasores e métodos para a resolução de circuitos no 
domínio da frequência.
Na Unidade 2, serão abordadas as questões relativas à potência de 
circuitos senoidais, às definições de potência instantânea, média e reativa, 
bem como os cálculos que envolvem a potência complexa e o fator de potência. 
Em seguida, veremos o teorema da máxima transferência de potência.
Por fim, a Unidade 3 apresenta a representação dos circuitos trifásicos 
equilibrados, as relações das grandezas no contexto de fonte/carga, os tipos 
de ligação (Y e Δ), os diagramas fasoriais e o cálculo de potências em circuitos 
dessa natureza.
Ao final dos tópicos, há autoatividades dos temas apresentados. 
Ressalta-se que, embora possuam a resolução no Gabarito, elas devem ser 
realizadas antes da consulta às respostas, a fim de fortalecerem a fixação dos 
conteúdos.
Em função da extensão do conteúdo da disciplina de Circuitos 
Elétricos de Corrente Alternada (CA), o conhecimento da análise de correntes 
contínuas (CC) é de fundamental importância, uma vez que os conceitos 
serão adequados para a análise CA. 
São propostas listas de exercícios, tanto de resolução numérica 
quanto de simulação/prática, para explanar os conceitos propostos, bem 
como o comportamento físico dos componentes. Os exercícios com resolução 
numérica apresentam seu desenvolvimento – alguns em detalhes, outros de 
forma mais direta –, conforme o andamento da disciplina, a fim de incentivar 
o desenvolvimento pessoal no entendimento das resoluções. Os exercícios 
de simulação/práticos apresentam uma resolução proposta, que pode ser 
adaptada pelo seu professor, de acordo com as observações necessárias para 
um melhor aproveitamento do exercício.
É importante observar que o empenho individual no entendimento 
dos conteúdos, nos cálculos das grandezas e nas simulações propostas 
é um requisito importantíssimo para a evolução desta disciplina. Este 
material foi estruturado de forma concisa e faz-se de grande valia o uso de 
material bibliográfico diverso, comumente encontrado em livros técnicos 
e especializados no assunto, para posterior consulta e aprofundamento de 
conteúdo.
Nosso objetivo é que você tenha um conteúdo prático e dinâmico, 
capaz de tornar clara a sua evolução no conhecimento da disciplina ao longo 
do semestre, tanto em termos matemáticos quanto em termos dos fenômenos 
que envolvem a disciplina de Circuitos Elétricos CA.
Esperamos que este material sirva como ponto de partida para o seu 
autodesenvolvimento profissional.
Bons estudos!
Prof.ª Júlia Grasiela Busarello Wolff
Prof. Léo Roberto Seidel
Prof. Rubens Bernardes de Carvalho
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você terá 
contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementares, 
entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
sumário
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM 
REGIME SENOIDAL) ............................................................................................... 1
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS .............................. 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 SOFTWARE PARA SIMULAÇÃO .................................................................................................... 3
2.1 TUTORIAL DO LTSPICE® ............................................................................................................ 4
2.2 INSTALAÇÃO DO LTSPICE® ....................................................................................................... 5
3 ROTEIRO GENÉRICO PARA SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS EM 
LABORATÓRIO DIGITAL ................................................................................................................ 5
3.1 OBJETO DE ESTUDO – CIRCUITO ............................................................................................. 5
3.1.1 Análise teórica do funcionamento ....................................................................................... 5
3.1.2 Teste e/ou simulação .............................................................................................................5
3.1.3 Análise e conclusão................................................................................................................ 6
3.2 EXEMPLO DE AULA PRÁTICA UTILIZANDO O LTSPICE® PARA SIMULAÇÃO 
DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ........................................................................................................ 6
3.2.1 Exemplo de aplicação – circuito resistivo .......................................................................... 6
3.2.1.1 Etapa 1: realizar o cálculo do circuito ..................................................................... 7
3.2.1.2 Representação gráfica das grandezas calculadas .................................................. 7
3.2.1.3 Etapa 2: realizar a simulação do circuito ................................................................ 9
4 NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................................................................... 20
4.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS .......................................................................... 20
4.2 NOTAÇÃO RETANGULAR ....................................................................................................... 20
4.3 NOTAÇÃO NA FORMA POLAR .............................................................................................. 21
4.4 NOTAÇÃO NA FORMA EXPONENCIAL ............................................................................... 22
4.5 CONVERSÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS .......................................................................... 23
4.5.1 Cálculos com números complexos .................................................................................... 23
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 25
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 26
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS 
PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA .................................................... 31 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 31
2 FONTE SENOIDAL E SUA REPRESENTAÇÃO ........................................................................ 31
2.1 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA GENÉRICA DE UMA ONDA SENOIDAL .............. 32
2.1.1 Amplitude ............................................................................................................................. 33
2.1.2 Frequência (f [Hz]) ............................................................................................................... 34
2.1.3 Período (T [S]) ...................................................................................................................... 34
2.1.4 Uso de fasores ...................................................................................................................... 35
3 REPRESENTAÇÃO DOS ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA ..... 41
3.1 RESISTOR....................................................................................................................................... 41
3.1.1 No domínio do tempo ......................................................................................................... 41
3.1.2 Em termos fasoriais ............................................................................................................. 42
3.1.3 No domínio da frequência .................................................................................................. 43
3.2 INDUTOR ...................................................................................................................................... 44
3.2.1 Em termos fasoriais ............................................................................................................. 45
3.2.2 No domínio da frequência .................................................................................................. 46
3.3 CAPACITOR .................................................................................................................................. 49
3.3.1 Em termos fasoriais ............................................................................................................. 50
3.3.2 No domínio da frequência .................................................................................................. 51
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 54
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 56
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA .......................... 57 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 57
2 RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO RC ......................................................................... 61
2.1 EXEMPLO DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 
POR LAPLACE .............................................................................................................................. 63
2.1.1 Determinação de I, V1 e V2 como funções racionais de s ................................................ 64
2.1.2 Determinação das expressões no domínio do tempo para i, v1 e v2 ............................. 65
2.2 EXEMPLO DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA UTILIZANDO A 
ANÁLISE DE MALHAS .............................................................................................................. 65
2.2.1 Determinação da expressão para I e V no domínio da frequência ............................... 65
2.2.2 Determinação da expressão de i(t) e v(t) no domínio do tempo quando t > 0 ............ 66
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 68
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 75
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 76
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 77
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS ....................................................... 79
TÓPICO 1 — CONCEITOS DE POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, MÉDIA E REATIVA ............81
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 81
2 POTÊNCIA INSTANTÂNEA .......................................................................................................... 84
2.1 EXEMPLO PRÁTICO ................................................................................................................... 86
3 POTÊNCIA MÉDIA .......................................................................................................................... 86
3.1 EXEMPLO PRÁTICO 1 ................................................................................................................ 88
3.2 EXEMPLO PRÁTICO 2 ................................................................................................................ 89
4 POTÊNCIA EFICAZ OU POTÊNCIA RMS ................................................................................. 90
4.1 EXEMPLO PRÁTICO 1 ................................................................................................................ 91
4.2 EXEMPLO PRÁTICO 2 ................................................................................................................ 92
5 POTÊNCIA ATIVA, REATIVA E APARENTE..............................................................................95
6 POTÊNCIA COMPLEXA.................................................................................................................. 96
6.1 EXEMPLO PRÁTICO 1 ................................................................................................................ 99
6.2 EXEMPLO PRÁTICO 2 .............................................................................................................. 100
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 104
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 105
TÓPICO 2 — TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA ...................... 107
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 107
2 TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA ............................................ 107
2.1 EXEMPLO PRÁTICO ................................................................................................................. 110
3 CONSERVAÇÃO DE POTÊNCIA CA ......................................................................................... 111
3.1 EXEMPLO PRÁTICO ................................................................................................................. 113
4 INSTRUMENTOS E MÉTODOS PARA MEDIÇÃO DE POTÊNCIA .................................. 115
4.1 EXEMPLO PRÁTICO ................................................................................................................. 117
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 118
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 119
TÓPICO 3 — FATOR DE POTÊNCIA E SUA CORREÇÃO ...................................................... 123
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 123
2 FATOR DE POTÊNCIA .................................................................................................................. 124
2.1 EXEMPLO PRÁTICO 1 .............................................................................................................. 125
2.2 EXEMPLO PRÁTICO 2 .............................................................................................................. 126
3 CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA .................................................................................. 127
3.1 EXEMPLO PRÁTICO ................................................................................................................ 129
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 131
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 133
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 134
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 137
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS ........................................................ 139
TÓPICO 1 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS ..................................................... 141
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 141
2 TENSÕES TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS ................................................................................ 142
3 FONTES DE TENSÃO TRIFÁSICAS .......................................................................................... 145
3.1 FONTE TRIFÁSICA EM Y ......................................................................................................... 146
3.1.1 Análise de um sistema Y-Y ............................................................................................... 149
3.1.2 Análise pelo circuito monofásico equivalente ............................................................... 151
3.1.3 Análise de um sistema Y-Δ ............................................................................................... 152
3.2 FONTE CONECTADA EM Δ .................................................................................................... 157
4 SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS ..................................................................... 158
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 159
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 160
TÓPICO 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS ........................................................ 163
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 163
2 ANÁLISE DAS POTÊNCIAS NUM CIRCUITO TRIFÁSICO ............................................... 163
2.1 DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA REATIVA E DA POTÊNCIA COMPLEXA ............ 166
3 WATTÍMETROS E LEITURA DE POTÊNCIA .......................................................................... 172
3.1 LIGAÇÃO DE UM WATTÍMETRO AO CIRCUITO ELÉTRICO ......................................... 174
3.2 MEDIÇÃO DE ENERGIA TRIFÁSICA.................................................................................... 176
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 183
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 184
TÓPICO 3 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS ............................................. 185
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 185
2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS PARA SISTEMAS DESEQUILIBRADOS........................... 185
3 ANÁLISE DE SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS ........................................... 190
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 198
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 201
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 202
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 205
1
UNIDADE 1 — 
CIRCUITOS EM CORRENTE 
ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME 
SENOIDAL)
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• utilizar um software de simulação para circuitos elétricos;
• realizar operações com números complexos;
• entender e aplicar cálculos com fasores;
• realizar cálculos no domínio da frequência.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade, 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
TÓPICO 2 – FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS 
PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
TÓPICO 3 – ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1 — 
UNIDADE1
SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
1 INTRODUÇÃO
Este tópico tem como objetivo apresentar os fundamentos básicos do 
software para a simulação de circuitos elétricos, tornando possível a realização de 
simulações do funcionamento dos circuitos propostos, bem como a comparação 
dos resultados simulados com os cálculos realizados.
Outro ponto interessante é a revisão de números complexos, a qual visa a 
destacar as operações e os cálculos que são utilizados em análise de circuitos, bem 
como qual a melhor notação a ser usada em determinada operação e a aplicação 
do uso de matrizes na resolução de sistemas lineares. Na resolução de sistemas 
lineares, embora existam diversos métodos de resolução, abordaremos o método 
de Cramer e o método da resolução da expressão A · X = B, os quais utilizam a 
forma matricial para a estruturação e a resolução do problema.
2 SOFTWARE PARA SIMULAÇÃO
Existem diversos softwares para a simulação de circuitos elétricos/
eletrônicos: alguns disponíveis gratuitamente, outros pagos, alguns podem 
ser acessados on-line, enquanto outros precisam ser instalados. De cunho 
profissional ou estudantil, esses softwares têm um comportamento similar, 
no qual é necessária a inclusão dos componentes e realização da ligação dos 
componentes entre si. Isso pode ser feito, normalmente, de duas formas: 
utilizando o ambiente gráfico para a inserção de cada um dos componentes 
e, posteriormente, realizando a ligação entre eles; ou pela montagem de 
um arquivo com sequências de linhas, que apresentam, ao mesmo tempo, a 
descrição do componente e os pontos em que são ligados. Essa “montagem” 
precisa ser feita antes da simulação propriamente dita.
Com o intuito de desenvolvermos a habilidade para o uso de algum 
programa de simulação para as atividades laboratoriais, sugerimos o uso do 
LTspice®. Disponibilizado pela Analog Devices, uma das empresas de maior 
crescimento dentro do setor de tecnologia, conforme a revenda MOUSE Electronics.
Reconhecida em todo o setor como líder mundial em tecnologia de 
conversão de dados e de condicionamento de sinais, a Analog Devices 
atende a mais de 100.000 clientes, representando praticamente todos 
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
4
os tipos de equipamentos eletrônicos. [...] fabricante líder global de 
circuitos integrados de alto desempenho utilizados em aplicações de 
processamento de sinais analógicos e digitais, a Analog Devices está 
sediada em Norwood, Massachusetts, EUA, e com instalações de 
projeto e manufatura em todo o mundo (ANALOG DEVICES, c2021).
Segundo o portal Vida de Silício, “[...] é um software produzido pela 
Linear Tehcnology e que agora é parte da Analog Devices, cuja finalidade é a 
simulação e a análise do comportamento de circuitos elétricos contendo os mais 
variados componentes [...]” (MILHAGEM UFMG, 2019. s. p.). 
Um software de simulação é comumente usado para estimar os valores 
das grandezas elétricas, quando ligados em configurações específicas, com 
componentes como resistores, indutores, capacitores, diodos, amplificadores 
operacionais, conversores AD/DA e uma vasta gama de componentes e/ou 
associação de componentes estruturados na forma de modelos de funcionamento, 
caracterizando, muitas vezes, um outro tipo de componente.
Conhecer o comportamento das associações e/ou configurações de ligação, 
ou seja, analisar o comportamento dos circuitos elétricos quando ligados a outros 
componentes ou circuitos elétricos, antes da eventual montagem física, reduz 
consideravelmente o tempo de desenvolvimento e de projeto.
2.1 TUTORIAL DO LTSPICE® 
O LTspice® é um software de simulação SPICE de alto desempenho, 
captura esquemática e visualizador de formas de onda com aprimoramentos 
e modelos para facilitar a simulação de circuitos analógicos. No download do 
LTspice®, estão incluídos os macromodelos para a maioria dos reguladores de 
comutação da Analog Devices, amplificadores e uma biblioteca de dispositivos 
para simulação geral de circuitos (LTSPICE, 2021).
Como vantagens apresentadas, o LTspice® reduz o tempo de teste para 
se chegar ao produto final mais rapidamente, simplifica os cálculos de circuitos 
em engenharia e possibilita o uso de produtos líderes da indústria para criar um 
melhor design (LTSPICE, 2021).
Para realizar uma simulação no LTspice®, podemos inserir as informações 
de entrada de duas formas: por uma sequência de linhas de descrição ou por sua 
interface gráfica, que possibilita desenhar o circuito e selecionar a representação 
desejada dos resultados. Neste material, focaremos na segunda maneira, ou seja, 
utilizando a interface gráfica que possibilita selecionar os componentes desejados 
e realizar as conexões entre os componentes, criando o desenho esquemático 
necessário. Essa forma é mais didática, uma vez que o usuário percebe como e 
de que forma os componentes se inter-relacionam e atuam uns sobre os outros.
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
5
2.2 INSTALAÇÃO DO LTSPICE®
A instalação do software pode ser feita diretamente do site da Analog 
Device (LTSPICE, 2021). Para acompanhar melhor o desenrolar da instalação, 
há um passo a passo no portal Vida de Silício, que também traz exemplos de 
utilização do LTspice® (MILHAGEM UFMG, 2019).
3 ROTEIRO GENÉRICO PARA SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS 
ELÉTRICOS EM LABORATÓRIO DIGITAL
A fim de que as aulas de laboratório possam ser realmente aproveitadas 
para instigar um maior entendimento dos fenômenos elétricos no comportamento 
das grandezas elétricas, sugerem-se alguns procedimentos para a realização das 
aulas de práticas de circuitos elétricos.
3.1 OBJETO DE ESTUDO – CIRCUITO
Em todos os experimentos, é fornecido circuito que deve ser estudado e 
entendido, além de ser montado em protoboard e/ou simulado no software de 
preferência. Nesse momento, optamos por utilizar o LTspice® para realizar as 
medições solicitadas. 
3.1.1 Análise teórica do funcionamento
Sempre que solicitado, o circuito sob estudo deve ser calculado com 
base nas equações de circuitos elétricos e nas leis que regem o comportamento 
físico dos diferentes componentes existentes no circuito. Essa análise tem como 
premissa a compreensão teórica do comportamento físico do circuito, a fim de se 
ter uma ideia de como o circuito funcionará na prática.
3.1.2 Teste e/ou simulação
Para os experimentos realizados em laboratório físico, deve-se:
• separar os componentes, bancadas, instrumentos de medição e protoboard;
• realizar as conexões solicitadas;
• revisar as ligações;
• chamar o professor para uma verificação. 
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
6
Somente após a realização desses passos, deve-se energizar o circuito e 
realizar as ações solicitadas.
Para os experimentos realizados no simulador, é necessário:
• desenhar o circuito conforme esquema apresentado;
• ajustar as grandezas dos componentes e simular de acordo com as solicitações 
de parametrização;
• obter os valores medidos em termos de amplitudes de sinal e/ou forma de 
onda solicitada.
3.1.3 Análise e conclusão
Se solicitado, deve-se comparar os resultados obtidos nos desenvolvimentos 
teóricos com os resultados em laboratórios, práticos ou simulados, verificando as 
possíveis disparidades (se houverem), assim como a aproximação dos valores das 
grandezas medidas. A conclusão do experimento aponta para uma indicação acerca 
do que foi realizado e se os objetivos propostos foram atingidos.
3.2 EXEMPLO DE AULA PRÁTICA UTILIZANDO O LTSPICE® 
PARA SIMULAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
Como modelo para o desenvolvimento das atividades propostas, será 
apresentado um circuito de exemplo, bem como serão realizados todos os passos, 
tanto em termos de cálculo quanto em termos de simulação e análise. Esse 
modelo pode ser adaptado livremente pelo professor para realçar algum tópico 
considerado importante e pertinente às questões envolvidas em aula.
3.2.1 Exemplo de aplicação – circuitoresistivo
Um circuito composto por uma fonte de tensão v1, ligada a uma carga 
resistiva, composta por dois resistores, R1 e R2, ligados em série. 
1. Faça um esboço da aparência da forma de onda de tensão e da corrente nos 
terminais da carga. As grandezas estão defasadas? Se sim, em quantos graus?
2. Quais os valores das amplitudes de tensão e corrente na carga?
3. Quais os valores das amplitudes de tensão e corrente em R1 e em R2?
4. Desenhe as formas de onda de corrente e tensão para R1 e R2.
Dados:
v1 = 10.sin (2π)
R1 = 3Ω; R2 = 2Ω
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
7
Circuito (Figura 1).
FIGURA 1 – CIRCUITO
FONTE: O autor
Etapas de resolução: 
• Etapa 1: realizar o cálculo do circuito.
• Etapa 2: realizar a simulação do circuito.
3.2.1.1 Etapa 1: realizar o cálculo do circuito
3.2.1.2 Representação gráfica das grandezas 
calculadas
• Amplitude da tensão: 10 V; amplitude da corrente: 2 A.
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
8
FIGURA 2 – TENSÃO E CORRENTE DO CIRCUITO
FONTE: O autor
• Amplitude da tensão em R1: 6 V; amplitude da corrente em R1: 2 A.
FIGURA 3 – TENSÃO E CORRENTE EM R1
FONTE: O autor
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
9
• Amplitude da tensão em R2: 4 V; amplitude da corrente em R2: 2 A.
FIGURA 4 – TENSÃO E CORRENTE EM R2
FONTE: O autor
3.2.1.3 Etapa 2: realizar a simulação do circuito
Resolução utilizando o programa de simulação LTspice®. A seguir, 
veremos um passo a passo de como realizar a simulação do circuito proposto.
Após abrir o LTspice® (Figura 5), na barra de comandos (Figura 6), deve-
se clicar no primeiro ícone, ou utilizar o atalho CTRL + N, para abrir uma nova 
plataforma para a construção do circuito esquemático (Figura 7).
FIGURA 5 – ABERTURA DO SOFTWARE LTSPICE®
FONTE: O autor
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
10
FIGURA 6 – BARRA DE COMANDOS
FONTE: O autor
FIGURA 7 – ABRINDO NOVA PLATAFORMA
FONTE: O autor
É aberta uma área para desenhar o circuito esquemático desejado. No 
caso do exercício, são dois resistores (R1 = 3Ω; R2 = 2Ω) ligados em série, com 
uma fonte de corrente alternada. Uma onda de corrente alternada tem a forma 
genérica dada por:
v(t) = Vm . sin(ω . t + φ)
Em que: Vm é a amplitude da onda; ω é a frequência angular da onda 
[radianos]; φ é a fase da onda (radianos).
Sabendo-se que: 
ω = 2 * π * f
Em que f é a frequência da onda (Hz).
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
11
FIGURA 8 – SÍMBOLO DO RESISTOR NA BARRA DE MENU
FONTE: O autor
Depois de clicar na área de trabalho, será inserida a imagem do resistor R1 
e, clicando mais uma vez, a do resistor R2 (Figura 9).
FIGURA 9 – IMAGEM DOS RESISTORES R1 E R2
FONTE: O autor
Para sair do modo de inserção, deve-se clicar em “Esc” no teclado. Se for 
necessário apagar alguma informação da área de trabalho, basta clicar em “Delete” no 
teclado e, depois, no objeto que se quer excluir.
ATENCAO
Um clique no componente com o botão direito do mouse permite editar o 
valor da resistência (Figura 10).
A onda solicitada é v1 = 10.sin(2π), portanto tem frequência de 1 Hz.
Para o desenho do circuito esquemático, clica-se no símbolo do resistor na 
barra de menu (Figura 8).
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
12
FIGURA 10 – EDITANDO O VALOR DA RESISTÊNCIA
FONTE: O autor
Em seguida, deve-se preencher com os valores desejados e clicar em OK 
(Figura 11).
FIGURA 11 – PREENCHIMENTO DOS VALORES
FONTE: O autor
Para inserir a fonte de tensão, pressiona-se a tecla F2, para que apareça o 
menu indicado (Figura 12).
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
13
FIGURA 12 – INSERINDO A FONTE DE TENSÃO
FONTE: O autor
Depois, em “Voltage”, posicione a fonte no local desejado, dê um clique 
e depois “ESC”. Edite o valor da fonte de tensão com o botão direito do mouse 
(Figura 13).
FIGURA 13 – DEFININDO O VALOR DA FONTE DE TENSÃO
FONTE: O autor
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
14
Para mudar o tipo de fonte, deve-se clicar em “Advanced”, depois selecionar 
a fonte senoidal (SINE) e a amplitude de 10 V com a frequência de 1 Hz.
FIGURA 14 – ESCOLHENDO A FONTE E A AMPLITUDE
FONTE: O autor
Em seguida, para ligar os componentes, basta utilizar o lápis no menu 
(Figura 15).
FIGURA 15 – CONECTANDO OS COMPONENTES
FONTE: O autor
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
15
Para toda simulação de circuitos, é necessário um ponto de referência 
de aterramento, o ponto de terra. Para a medição dos sinais, posteriormente, o 
programa utiliza esse ponto como base de referência para a medição dos sinais. 
Com a ponteira de prova, o programa faz a medição das grandezas que utilizam 
dois pontos de contato: um dos pontos é o local onde se quer medir e o outro o 
ponto de terra. Portanto, foi usado o ponto comum apresentado na Figura 16.
FIGURA 16 – PONTO DE TERRA
FONTE: O autor
O próximo passo é a simulação do circuito. É necessário ajustar o tempo 
de simulação. Ao clicar no ícone apresentado (Figura 17), o sistema abre uma 
janela para a inserção do tempo de simulação (Figura 18).
FIGURA 17 – INSERÇÃO DO TEMPO DE SIMULAÇÃO
FONTE: O autor
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
16
FIGURA 18 – SOFTWARE LTSPICE®
FONTE: O autor
Como estamos utilizando um sinal na frequência de 1 Hz, a simulação 
poderia ser realizada durante 1 segundo, porém, a fim de se ter uma visão do 
comportamento dos sinais, usaremos o tempo de 5 segundos para a simulação. O 
ajuste do tempo é realizado na janela a seguir (Figura 19).
FIGURA 19 – AJUSTE DE TEMPO DA SIMULAÇÃO
FONTE: O autor
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
17
Após determinar o tempo, o sistema abre um painel para a representação 
dos sinais desejados (Figura 20).
FIGURA 20 – PAINEL DE REPRESENTAÇÃO DOS SINAIS
FONTE: O autor
Nesse momento, o circuito já foi simulado e as informações estão 
disponíveis para acesso.
Assim, verificaremos a tensão fornecida pela fonte. Aproximar o cursor do 
terminal positivo da fonte, o ponteiro do mouse se transforma em uma ponteira e, ao 
clicar no terminal, é mostrada a forma de onda de tensão da fonte (Figura 21).
FIGURA 21 – ONDA DE TENSÃO DA FONTE
FONTE: O autor
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
18
Em detalhe, pode-se observar que o sinal tem as características desejadas – 
amplitude de 10 V e frequência de 1 Hz. Isso pode ser verificado pela representação 
de uma oscilação completa no tempo de 1 segundo, lembrando que o período (T) 
da onda pode ser calculado por T = 1/f. Ainda é possível verificar que o sinal é 
representado pela variável V(n001), ou seja, a tensão no ponto 001 em relação ao 
terra (referência). 
FIGURA 22 – SIMULAÇÃO DA ONDA DE TENSÃO DA FONTE
FONTE: O autor
A representação da tensão da fonte e da corrente circulante no circuito 
(Figura 23) demonstra que, por ser um circuito resistivo, a tensão e corrente 
estão em fase. A amplitude da corrente é representada pelo eixo adjacente que 
está à direita do gráfico. Conforme calculada a corrente do circuito, apresenta 
variação somente em módulo, mantendo as mesmas características do sinal 
fornecido pela fonte.
FIGURA 23 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO DA FONTE E DA CORRENTE CIRCULANTE 
NO CIRCUITO
FONTE: O autor
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
19
O programa faz um ajuste automático dos eixos para representar as 
grandezas, porém, se quisermos realizar o ajuste manual, basta clicar com o botão 
direito do mouse no eixo das escalas a serem alteradas.
FIGURA 24 – AJUSTE DOS EIXOS
FONTE: O autor
Agora, vamos praticar no exercício proposto a seguir, baseado nas 
formas de onda desejadas.
AUTOATIVIDADE
Dado um circuito composto por uma fonte de tensão v1 ligada à uma 
carga resistiva, composta por dois resistores, R1 e R2 ligados em série: 
a)Faça um esboço da aparência da forma de onda de tensão e da corrente 
nos terminais da carga. As grandezas estão defasadas? Se sim, em quantos 
graus?
b) Quais os valores das amplitudes de tensão e corrente na carga?
c) Quais os valores das amplitudes de tensão e corrente em R1 e em R2?
d) Desenhe as formas de onda de corrente e tensão para R1 e R2.
Dados: v1 = 10.sin (2π); R1 = 3Ω; R2 = 2Ω.
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
20
Nesse momento, veremos os aspectos relevantes do cálculo com números 
complexos, que são necessários para a resolução dos circuitos elétricos que 
envolvem corrente alternada. Abordaremos as notações de representação dos 
números na forma retangular, polar e exponencial. Em função da similaridade e 
da praticidade das representações, será utilizada a notação exponencial no lugar 
da comumente notação polar.
Os exercícios de fixação e as autoatividades propostas visam a explorar 
aspectos dos cálculos que são comumente utilizados, como a multiplicação de 
grandezas elétricas (lei de Ohm), as ligações série e paralela de impedâncias, 
as transformações de rede (Y – ∆), a representação gráfica e as operações com 
fasores, entre outros.
Nesse contexto, foram elaborados diversos exercícios para que seja 
possível desenvolver a habilidade de trabalhar o cálculo com fasores, resolvendo 
as expressões e, posteriormente, representando-os nos diagramas fasoriais.
4.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
O conjunto dos números complexos engloba todo o conjunto dos 
números naturais, o que permite representar todo o conjunto de números, 
desde os positivos, os negativos, os inteiros e os fracionários.
4.2 NOTAÇÃO RETANGULAR
Tomando como exemplo um determinado número complexo Z, expressa-
se esse número complexo na notação retangular como:
Z = a ± jb ou Z = a ± ib
Lê-se Z é igual a a mais ou menos jota b, em que: Z = número complexo 
na forma retangular; a = parte real do número complexo; b = parte imaginária do 
número complexo; i ou j = operador .
Os números na forma retangular possuem uma parte real e uma parte 
imaginária, que é associada ao operador i2 = –1.
Graficamente, os números podem ser apresentados também no plano 
complexo. Dados quatro números Z1, Z2, Z3 e Z4, que são representados no plano 
complexo Re x Im (Figura 25), observa-se que os quadrantes do gráfico são numerados 
da mesma forma que os quadrantes do plano real, comumente conhecidos.
Z1 = a1 + ib1; Z2 = a1 – ib1; Z3 = –a1 – ib1; Z4= –a1 + ib1
4 NÚMEROS COMPLEXOS
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
21
FIGURA 25 – PLANO COMPLEXO NA NOTAÇÃO RETANGULAR
FONTE: O autor
4.3 NOTAÇÃO NA FORMA POLAR
Tomando como exemplo um determinado número complexo Z, este é 
expressado na notação polar como:
Z = ρ ∟ ± θ
Lê-se Z é igual a rô ângulo mais/menos teta, em que: Z = número complexo 
na forma polar; ρ = módulo do número complexo; θ = ângulo que o módulo faz 
com a parte real do plano complexo; ∟ = operador que identifica a forma polar.
Os números, na forma polar, possuem um módulo e um ângulo. Esse 
ângulo normalmente é referenciado em relação ao eixo real do plano complexo 
Re x Im. O sentido de giro do ângulo θ é o mesmo do círculo trigonométrico, ou 
seja, no sentido anti-horário. Quando o ângulo for negativo, isso significa que a 
orientação de referência passa a ser o sentido horário.
Graficamente, os números podem ser apresentados também no plano 
complexo. Dados os números Z1 e Z2, que são representados no plano complexo 
Re x Im (Figura 26), observa-se que os quadrantes do gráfico são numerados da 
mesma forma que os quadrantes do plano real, comumente conhecidos.
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
22
FIGURA 26 – PLANO COMPLEXO NA FORMA POLAR
FONTE: O autor
4.4 NOTAÇÃO NA FORMA EXPONENCIAL
Tomando como exemplo um determinado número complexo Z, expressa-
se esse número complexo na notação na forma exponencial como:
Z = ρ e ±θi
Lê-se Z é igual a rô e mais/menos teta i, em que: Z = número complexo na 
forma polar; ρ = módulo do número complexo; θ = ângulo que o módulo faz com 
a parte real do plano complexo; e = número de Euler 2,71828182846.
Os números na forma exponencial possuem um módulo e um ângulo. Esse 
ângulo normalmente é referenciado em relação ao eixo real do plano complexo Re 
x Im. O sentido de giro do ângulo θ é o mesmo do círculo trigonométrico, ou seja, 
no sentido anti-horário. Quando o ângulo for negativo, a orientação de referência 
passa a ser o sentido horário.
Graficamente, os números podem ser apresentados também no plano 
complexo. Dados os números Z1 e Z2, que são representados no plano complexo 
Re x Im (Figura 27), observa-se que os quadrantes do gráfico são numerados da 
mesma forma que os quadrantes do plano real, comumente conhecidos.
Z1 = ρ1 eθ1i
Z2 = ρ2 e–θ2i
Sua representação é semelhante à aplicada na notação polar mostrada na 
Figura 27.
TÓPICO 1 — SOFTWARE DE SIMULAÇÃO – NÚMEROS COMPLEXOS
23
IGURA 27 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA NOTAÇÃO RETANGULAR E POLAR
FONTE: O autor
4.5 CONVERSÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Dados dois valores:
Z1 = a + bi
Z2 = ρ1 eθ1i
Convertendo-se de retangular para polar/exponencial:
Convertendo-se de polar/exponencial para retangular:
a = ρ.cos(θ) b = ρ.sen(θ)
Z1= a + i.b = ρ.cos(θ) + ρ.sen(θ).i
4.5.1 Cálculos com números complexos
Embora possam ser utilizadas todas as notações para fazer os cálculos 
com números complexos, usaremos, a fim de facilitar o estudo e a aplicabilidade 
dos conceitos, as notações com as operações equivalentes conforme demonstrado 
na Tabela 1.
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
24
TABELA 1 – NOTAÇÕES PARA CÁLCULOS COM NÚMEROS COMPLEXOS
FONTE: O autor
Operação Notação Exemplo
Adição/subtração Retangular
Z1 = a1 + i b1; Z2 = a2 + i b2
Ztotal = Z1 ± Z2 = (a1 ± a2 ) + i(b1 ± b2)
Observação: atenção com os sinais quando houver 
números negativos, por exemplo:
Z3 = –a3 + i b3; Z4 = a4 – i b2
Ztotal = Z3 – Z4 = (a3 – a4 ) + i(b3 ± b4)
Multiplicação/divisão Polar ou exponencial
Za = ρa eθai); Zb = ρb eθbi
Ztotal = Za.Zb = ρa.(ρb)±1 e(θa ± θb)i
25
Neste tópico, você aprendeu que:
• Inserir componentes, realizar as ligações, simular e analisar o comportamento 
de componentes elétricos utilizando um software de simulação de circuitos 
elétricos.
• As notações de números complexos: retangular, polar e exponencial.
• Para converter uma notação em outra, como retangular para polar/ 
exponencial: , e de 
polar/exponencial para retangular: a = ρ.cos(θ); b = ρ.sen(θ); Z1 = a + i.b = 
ρ.cos(θ) + ρ.sen(θ).i.
• A fazer de uma forma mais conveniente as operações com complexos: 
adição/subtração realizar em retangular; multiplicação/divisão realizar em 
polar ou exponencial.
RESUMO DO TÓPICO 1
26
AUTOATIVIDADE
1 Dados os números complexos, faça as operações solicitadas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
27
2 Trabalhando com expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
28
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
29
3 Resolva os sistemas lineares utilizando a regra de Cramer e a equação 
A . X = B:
Dados:
a)
b)
c)
0
75
14
30
31
TÓPICO 2 — 
UNIDADE 1
FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS 
PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, serão apresentados os elementos passivos e as fontes de 
alimentação que são utilizadas nos cálculos com corrente alternada, representados 
no domínio da frequência, bem como a aplicação da notação dos números 
complexos para a resolução de circuitos elétricos em corrente alternada.
2 FONTE SENOIDAL E SUA REPRESENTAÇÃO
As fontes senoidais, por variarem de amplitude ao longo do tempo, 
apresentam algumas características especiais. Trabalhar no domínio do tempo 
pode ser complicado quando existem elementos reativos no circuito, como 
indutores e capacitores,nos quais as grandezas com tensão e corrente são afetadas 
pelos componentes.
Também fazem parte das fontes senoidais os conceitos de período e 
frequência. Embora sejam relevantes para o estudo das variações temporais, 
o comportamento dos circuitos elétricos pode ser analisado de uma forma 
simplificada, pela utilização dos fasores.
Dada uma forma de onda genérica, que pode ser expressa 
matematicamente como:
x(t) = Xm.sin(ωt + φ)
Em que: x(t) = representa uma grandeza senoidal genérica, como a 
corrente, a tensão ou a potência em um componente ou sistema; Xm = é o valor 
máximo da amplitude que a onda pode chegar; ω = frequência angular da onda 
dada em radianos; e φ = ângulo de fase da onda.
Essa onda genérica, representada por x(t), pode ser uma fonte, uma tensão, 
uma corrente ou uma potência aplicada em um componente ou uma rede. Nesse 
contexto, Xm é a amplitude máxima da grandeza x(t).
32
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Para um melhor entendimento das formas de onda senoidais, vamos 
tomar como exemplo duas ondas x1(t) e x2(t) representadas por:
x1(t) = Xm1.sin(ωt + φ)
x2(t) = Xm2.sin(ωt + θ)
Essas formas de ondas são representadas na Figura 28. Pode-se observar 
que, se φ = θ, diz-se que as ondas x1(t) e x2(t) estão em fase, caso contrário, as ondas 
são consideradas defasadas.
FIGURA 28 – ÂNGULO DE DEFASAGEM ENTRE ONDAS SENOIDAIS
FONTE: O autor
2.1 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA GENÉRICA DE UMA 
ONDA SENOIDAL
Uma onda senoidal pode ser representada, de forma genérica, pela 
expressão matemática:
v(t) = Vm.sen (ωt + φ); sendo ω = 2πf
Em que: v(t) = fonte de tensão alternada (V); Vm = amplitude máxima 
da tensão alternada (V); ω = frequência angular da fonte (rad); φ = ângulo de 
defasagem; f = frequência do sinal (Hz).
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
33
2.1.1 Amplitude
A amplitude representa o valor instantâneo máximo que a onda pode 
assumir, em dado instante de tempo, e a grandeza que representa o sinal da fonte.
Por exemplo: dado o sinal senoidal, a seguir, verifique o valor da 
grandeza desejada:
v1(t) = 120 * sin(ωt + φ)
v2(t) = 60 * sin(ωt – 90o)
Enquanto v1(t) inicia em zero, o que significa que não existe desfasamento 
nessa forma de onda, o sinal v2(t) está defasado em 90°, ou seja, houve um 
deslocamento temporal no sinal da onda v2(t) em relação à onda v1(t).
t 0 0,25 0,5 0,75 1,0
v1(t) 0 120 0 -120 0
v2(t) -60 0 60 0 -60
FIGURA 29 – FORMA DE ONDA DAS TENSÕES V
1
(T) E V
2
(T)
FONTE: O autor
34
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
O ângulo de fase representa a relação angular de deslocamento da forma de 
onda. Uma onda senoidal com início em um instante 0 é apresentada na figura a seguir, 
denominada como v1(t). Quando se deseja representar um deslocamento angular acima 
de 45°, a forma de onda permanece a mesma, porém não inicia mais em 0, pois teve seu 
valor recolocado 45° antes, conforme apresentado pelo sinal v2(t) na figura.
ÂNGULO DE DEFASAGEM
FONTE: O autor
IMPORTANT
E
2.1.2 Frequência (f [Hz])
Determina a quantidade de repetições de uma onda no intervalo de tempo 
de um segundo. Por exemplo, uma onda de tensão senoidal com frequência de 
1 Hertz corresponde ao fato de que a onda faz uma oscilação completa em 1 
segundo; já uma onda de 2 Hertz executa duas oscilações em 1 segundo – em 
outras palavras, a onda executou duas oscilações por segundo.
2.1.3 Período (T [S])
É definido como o tempo necessário para que o sinal execute um ciclo 
completo, ou seja, até que o ciclo comece a se repetir. Como exemplo temos uma 
onda que possui um período de 0,25 s, isto significa a dizer que a onda precisa de 
0,25 segundos para realizar uma oscilação completa.
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
35
Período e frequência são grandezas inversas e se relacionam pela expressão: 
T = 1/f. Por exemplo, em uma onda senoidal com frequência de 5 Hz, qual é o período 
dessa onda?
 Dessa forma, a onda executa cinco repetições de seu sinal em 1 segundo e cada 
repetição precisa de 0,2 segundo para transcorrer.
FORMA DE ONDA DE TENSÃO DE 5 HZ
FONTE: O autor
IMPORTANT
E
2.1.4 Uso de fasores
Os fasores são usados para simplificar os cálculos de circuitos elétricos 
em corrente alternada. Ao utilizar a representação fasorial, desconecta-se a 
grandeza do domínio do tempo. É como se as grandezas fossem representadas 
em um determinado instante de tempo. Assim todas as outras grandezas são 
representadas nesse instante e é possível analisar o comportamento dessas 
grandezas entre si. Se houver necessidade de expressar os valores calculados no 
domínio do tempo, reescreve-se a grandeza utilizando esse domínio.
36
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Na forma fasorial, a notação utilizada é a notação polar ou exponencial. Uma 
vez que as grandezas são representadas assim, a análise do seu comportamento pode 
ser feita utilizando praticamente toda a teoria de circuitos elétricos de corrente contíua 
e, dependendo do que se quer analisar, ainda é possível usar o diagrama fasorial.
Com base na equação de Euler, que correlaciona a função exponencial 
com as funções trigonométricas de seno e cosseno na forma:
exi = cosx + i.sinx
Em que: i2 = –1. Por meio dessa relação, uma grandeza complexa, dada por 
C, pode ser representada como:
C = M.exi = M.(cosx + i.sinx) = M.cosx + i.M.sinx = CRe + i.CIm
Supondo que uma tensão CA, dada por: va(t) = Vm.sin(ωt + φ), como já 
visto anteriormente, no domínio do tempo tem um comportamento oscilatório 
de amplitude: Vm; frequência: f = ω/2π e fase: φ. A forma polar dessa onda 
senoidal é dada por:
is(t) = Im.cos(ωt + φ) → Is = Im.eφi → Is = Im ∟φ
Observa-se que, na forma fasorial, a grandeza não depende do tempo, 
mas da amplitude e do ângulo de fase do sinal original. Dessa forma, o sinal:
is(t) = 2.cos(ωt + 0o)
Representado pela imagem na Figura 30.
FIGURA 30 – FORMA DE ONDA
FONTE: O autor
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
37
Passa a ser representado da forma fasorial como:
Is = 2.e0
◦i → Is = 2
Conforme representado pela Figura 31.
FIGURA 31 – REPRESENTAÇÃO FASORIAL
FONTE: O autor
Da mesma forma, quando existe alguma defasagem, esta é representada 
no fasor por:
Is(t) = 2.cos(ωt + 45o)
A Figura 32 mostra a representação gráfica da onda senoidal:
FIGURA 32 – FORMA DE ONDA DE CORRENTE SENOIDAL
FONTE: O autor
38
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Já a representação gráfica fasorial pode ser vista na Figura 33:
FIGURA 33 – REPRESENTAÇÃO DE CORRENTE FASORIAL
FONTE: O autor
Para sistemas trifásicos, que serão estudados posteriormente, há três 
tensões CA defasadas de 120°; matematicamente, para um sistema de sequência 
negativa, temos:
vR(t) = 220.sin(377t + 0o)
vS(t) = 220.sin(377t + 120o)
vT(t) = 220.sin(377t – 120o)
A representação das grandezas de tensões trifásicas, no domínio do 
tempo, pode ser vista na Figura 34 – observa-se que o período dos sinais trifásicos 
é de 16,6667 ms.
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
39
FIGURA 34 – TENSÕES TRIFÁSICAS
FONTE: O autor
A utilização de fasores facilita o entendimento dos fenômenos físicos e os 
cálculos que envolvem as grandezas relativas aos circuitos analisados.
FIGURA 35 – REPRESENTAÇÃO NA FORMA POLAR DAS TENSÕES TRIFÁSICAS
FONTE: O autor
Nesse sentido, quando a tensão trifásica apresentar uma defasagem na 
tensão de referência, todas as tensões também são defasadas. Por exemplo, se 
a tensão vr(t) tiver um ângulo de 45°, em vez de 0°, o diagrama senoidal e o 
diagrama fasorial das tensões trifásicas têm o comportamento apresentado nas 
Figuras 36 e 37, respectivamente.
40
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
FIGURA36 – TENSÕES SENOIDAIS A 45°
FONTE: O autor
No diagrama dos fasores das tensões trifásicas, observa-se que a 
defasagem entre os fasores ainda é de 120°, sendo que Vr está em 45° em relação 
à referência, eixo real do plano complexo, Vs em 165°, ou seja, 120° em relação à 
Vr, e Vt em -75°, o que representa uma defasagem de 120° em relação à Vr.
FIGURA 37 – TENSÕES FASORIAIS A 45°
FONTE: O autor
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
41
3 REPRESENTAÇÃO DOS ELEMENTOS PASSIVOS NO 
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
Nesse momento, veremos o comportamento dos elementos resistor, 
indutor e capacitor, mediante à alimentação senoidal, o correspondente fasor 
associado e o comportamento desses componentes quando analisados no domínio 
da frequência. 
Como já foi estudado o comportamento das grandezas de tensão e corrente 
nos resistores, indutores e capacitores, também conhecidos como componentes 
passivos, apresentaremos as equações de interesse para cada componente.
3.1 RESISTOR
Componentes passivos entre os mais utilizados em circuitos elétricos, a 
tensão e a corrente no resistor têm um comportamento linear.
FIGURA 38 – CIRCUITO RESISTIVO SÉRIE
FONTE: O autor
3.1.1 No domínio do tempo
Dado um circuito resistivo série alimentado com a corrente i(t) = Im.sin(ωt), 
conforme apresentado na Figura 39, matematicamente os sinais podem ser 
representados por:
vR(t) = i(t).R ⇒ vR(t) = Im.R.sin(ωt)
Observa-se, na Figura 39, que a corrente está em fase com a tensão no 
resistor.
42
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
FIGURA 39 – CORRENTE E TENSÃO NO RESISTOR PARA A FREQUÊNCIA DE 1 HZ
FONTE: O autor
3.1.2 Em termos fasoriais
A corrente apresentada no domínio do tempo pode ser descrita na notação 
fasorial como IR = Im.e0
◦.i. A tensão pode ser calculada usando a equação da lei de 
Ohm: 
VR = R.IR ⇒ VR = R.Im.e0
◦.i
A representação gráfica da Figura 40 mostra a disposição dos fasores no 
plano complexo Re x Im.
FIGURA 40 – REPRESENTAÇÃO DE I E V NO RESISTOR
FONTE: O autor
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
43
3.1.3 No domínio da frequência
Dada a equação da lei de Ohm que descreve o comportamento linear de 
tensão e corrente no resistor no domínio do tempo, cuja representação pode ser 
observada na Figura 41, tem-se:
vR(t) = R.iR(t) ⇒ vR = R.iR
Aplicando a transformada de Laplace na expressão da tensão no resistor, 
observa-se que, pelo fato de envolver grandezas constantes, tem-se:
L{vR} = L{R} . L{iR}
Logo, a transformada de valores constantes não altera o valor da resistência 
e a equação pode ser descrita como:
VR = R.IR
Dessa forma, a Figura 41 apresenta o modelo da resistência no domínio 
da frequência.
FIGURA 41 – RESISTÊNCIA NO DOMÍNIO DO TEMPO
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 522)
Na representação matemática:
v(t) = R.i(t)
44
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
FIGURA 42 – RESISTÊNCIA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 522)
Na representação matemática:
V = R.I
3.2 INDUTOR
Diferentemente do resistor, o indutor tem um comportamento entre 
tensão e corrente, que é função da taxa de variação (d/dt). 
FIGURA 43 – CIRCUITO INDUTIVO PURO
FONTE: O autor
Dado o circuito indutivo puro, alimentado com a corrente i(t) = Im.sin(ωt), 
conforme apresentado na Figura 43, a tensão no indutor é dada por:
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
45
FIGURA 44 – COMPORTAMENTO DA CORRENTE E TENSÃO E NO INDUTOR
FONTE: O autor
3.2.1 Em termos fasoriais
Com:
Vm = ω.L.Im
A tensão no indutor também pode ser tida como:
vL(t) = Vm.sin(ωt + φ + 90o)
Essa expressão representa que a tensão (vL(t)) está adiantada em 90° (π/2) 
em relação à corrente (iL(t)) no indutor (Figura 44) ou, ainda, pode-se dizer que 
a corrente no indutor está atrasada em 90° (π/2) em relação à tensão no indutor.
A notação fasorial corresponde à representação complexa das grandezas 
dadas no domínio do tempo. É como se fizéssemos uma tomada instantânea 
das grandezas temporais e analisássemos as correlações entre elas nesse 
instante. Dessa forma, é possível entender seu comportamento em um instante 
e, consequentemente, compreender o comportamento do conjunto no domínio 
do tempo. Em termos matemáticos, a notação fasorial simplifica, em muito, os 
cálculos das grandezas elétricas, permitindo, ainda, uma representação gráfica 
desse comportamento no diagrama fasorial (Figura 45).
46
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Da corrente no indutor, dada por iL(t) = Im.sin(ωt + φ), tem-se IL = Im.eφi. 
A tensão sobre o indutor, dada por vL(t) = Vm cos(ωt + φ + 90o), é 
representada fasorialmente por VL = Vm.e(φ+90)
◦i.
Esses fasores são representados no plano complexo Re x Im como mostra 
a Figura 45.
FIGURA 45 – DIAGRAMA FASORIAL DAS GRANDEZAS TENSÃO E CORRENTE EM 
UM INDUTOR PURO
FONTE: O autor
3.2.2 No domínio da frequência
A tensão nos terminais de um indutor é função da taxa de variação da 
corrente que circula por esse indutor em um determinado intervalo de tempo. A 
representação matemática dessa correlação é dada por:
A transformada de Laplace da tensão nos terminais do indutor é dada por:
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
47
A equação de VL(s) pode ser representada de duas formas, duas 
configurações diferentes, sendo uma na qual uma impedância de sL está ligada 
em série com uma fonte independente de tensão LI0, conforme mostrado na Figura 
46; e a outra a de uma impedância sL em paralelo com uma fonte de corrente 
dada por I0/s, conforme apresentado na Figura 47, modelo que pode ser obtido 
explicitando a corrente na equação da tensão, como sendo:
FIGURA 46 – MODELO DO INDUTOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA UTILIZANDO UMA 
FONTE INDEPENDENTE DE TENSÃO
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 523)
Cuja representação matemática é:
V = sL.I – L.I0
FIGURA 47 – MODELO DO INDUTOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA UTILIZANDO UMA 
FONTE DE CORRENTE
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 523)
48
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Cuja representação matemática é:
A Figura 48 apresenta o indutor no domínio do tempo e a equação 
matemática que o caracteriza. Cabe observar que, se o indutor não tiver energia 
armazenada I0 = 0, o circuito equivalente, no domínio da frequência, passa a ser 
exclusivamente a impedância sIL(s), conforme apresentado na Figura 49.
FIGURA 48 – INDUTOR NO DOMÍNIO DO TEMPO
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 522)
Cuja representação matemática é:
FIGURA 49 – INDUTOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA COM CONDIÇÕES INICIAIS NULAS
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 523)
Cuja representação matemática é:
V = sL.I
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
49
3.3 CAPACITOR
O capacitor, assim como o indutor, também tem um comportamento que é 
proporcional à taxa de variação entre tensão e corrente.
FIGURA 50 – CIRCUITO CAPACITIVO PURO
FONTE: O autor
Ao alimentar o circuito da Figura 50 com uma corrente senoidal, 
representada por i(t) = Im.sin(ωt + φ), a tensão do capacitor é dada isolando a 
tensão na equação:
Com:
Nesse caso, a tensão no indutor pode ser descrita como:
vc(t) = Vm.sin(ωt + φ – 90o)
Essa expressão representa que a tensão (vC(t)) está atrasada em 90° (π/2) 
em relação à corrente (iC(t)) no capacitor (1) ou, ainda, pode-se dizer que a corrente 
no capacitor está adiantada em 90° (π/2) em relação à tensão no capacitor.
50
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
FIGURA 51 – COMPORTAMENTO DA CORRENTE E TENSÃO NO CAPACITOR
FONTE: O autor
3.3.1 Em termos fasoriais
A representação fasorial de corrente e tensão no capacitor, representadas 
graficamente no diagrama fasorial da FX, é expressa matematicamentenos 
seguintes termos: dada uma corrente que circula em um capacitor como: 
iC(t) = Im.sin(ωt + φ) na forma fasorial IC = Im.eφi, a tensão nesse capacitor pode ser 
obtida por vC(t) = Vm.sin(ωt + φ – 90o), que, representado fasorialmente, tem-se 
VC = Vm.e(φ–90
◦)i.
FIGURA 52 – DIAGRAMA FASORIAL DAS GRANDEZAS TENSÃO E CORRENTE EM UM 
CAPACITOR PURO
FONTE: O autor
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
51
3.3.2 No domínio da frequência
A corrente no capacitor é função da taxa de variação da tensão aplicada 
nesse capacitor, sendo dada por:
A transformada de Laplace da tensão nos terminais do indutor é dada por:
Essa equação indica que a corrente no capacitor pode ser representada 
pela soma de duas outras correntes, conforme apresentado na Figura 53, na 
qual em um ramo tem-se uma admitância sC (Siemens) ligada em um ramo em 
paralelo com uma fonte independente de corrente CV0 (ampères-segundos). Outra 
configuração é obtida quando, na equação da corrente no capacitor, se evidencia 
a tensão no capacitor VC:
Em cuja tensão do capacitor pode ser representada por uma impedância 
1/sC, ligada em série com uma fonte de tensão dada por V0/s, conforme apresentado 
na Figura 54.
FIGURA 53 – MODELO DO CAPACITOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA UTILIZANDO UMA 
FONTE INDEPENDENTE DE CORRENTE
FONTE: O autor
52
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Cuja representação matemática é:
I = sCV – CV0
FIGURA 54 – MODELO DO CAPACITOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA UTILIZANDO UMA 
FONTE INDEPENDENTE DE TENSÃO
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 524)
Cuja representação matemática é:
O modelo do capacitor no domínio do tempo é apresentado na Figura 
55, assim como seu modelo matemático. No domínio da frequência, quando 
se utiliza um capacitor descarregado, em que V0 = 0, observa-se que as fontes 
dos modelos apresentados perdem a sua função, ou seja, tanto o modelo com a 
fonte de corrente (Figura 53) quanto o modelo com a fonte de tensão (Figura 54) 
originam o modelo resultante apresentado na Figura 56.
FIGURA 55 – CAPACITOR NO DOMÍNIO DO TEMPO
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 523)
TÓPICO 2 — FONTE SENOIDAL, CONCEITO DE FASOR E ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
53
Cuja representação matemática é:
FIGURA 56 – CAPACITOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA COM CONDIÇÕES INICIAIS NULAS
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 524)
Cuja representação matemática é:
Conhecendo-se o comportamento individual de cada elemento passivo, 
pode-se iniciar o procedimento da análise do comportamento dos componentes 
no domínio da frequência.
54
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Uma fonte senoidal pode ser representada genericamente por: x(t) = Xm.sin(ωt + φ), 
em que Xm é o valor máximo da amplitude que a onda pode chegar, ω é a 
frequência angular da onda dada em radianos e φ é o ângulo de fase da onda.
• Frequência (f [Hz]) é a quantidade de repetições de uma onda no intervalo de 
tempo de um segundo.
• Período (T [S]) é o tempo necessário para que o sinal execute um ciclo completo.
• Período e frequência são grandezas inversamente proporcionais: T = 1\f.
• A forma fasorial de uma onda senoidal é dada por:
xs(t) = Xm.cos(ωt + φ) → Xs = Xm.eφi
• Representações e notações que podem ser utilizadas:
Senoidal: is(t) = 2.cos(ωt + 45o) Fasorial: Is = 2.e45◦i
55
• Comportamento dos elementos passivos no domínio da frequência:
COMPORTAMENTO DOS ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
FONTE: O autor
Domínio do tempo Domínio da frequência
v(t) = R.i(t) V = R.I
V = sL.I – L.I0
I = sCV – CV0
56
1 Considere uma tensão senoidal caracterizada pelo sinal dado e apresente: 
v(t) = 80.sen(31,41.t + 72o)
a) A amplitude do sinal.
b) A frequência e o período do sinal.
c) O ângulo de defasagem.
d) O fasor desse sinal.
e) O valor da corrente quando essa tensão é aplicada a uma impedância de 
15 – j25Ω.
2 Considere o circuito, a seguir, e calcule a corrente que circula por cada 
componente considerando:
i(t) = 5.cos(ωt + 28°) A; R = 250 Ω; XL = j450 Ω; XC = –j135 Ω
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 496)
AUTOATIVIDADE
Icc
t = 0
R L C
+
v(t)
–
57
TÓPICO 3 — 
UNIDADE 1
ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
1 INTRODUÇÃO
Os indutores e os capacitores, quando não possuem energia armazenada, 
seja na forma de campos magnéticos (I0) ou campos elétricos (V0), têm sua 
representação no domínio da frequência como uma impedância indutiva sL ou 
capacitiva 1\sC. Dessa forma, as relações entre as grandezas tensão, corrente e 
impedância no componente podem ser calculadas pela lei de Ohm:
V = Z.I
Na qual Z representa a impedância do elemento no domínio da frequência, 
conforme apresentado na Figura 41 para o resistor, na Figura 48 para o indutor e na 
Figura 55 para o capacitor.
A representação da admitância (Siemens) como sendo o inverso da 
impedância (Ohm) também é verdadeira, valendo todas as regras da associação e 
as simplificações série e paralela, assim como as transformações estrela/triângulo 
podem ser aplicadas às impedâncias e admitâncias no domínio da frequência.
Relembrando o caso geral da correlação de impedância e admitância, tem-se:
Em que: Z = impedância (Ω); R = resistência (Ω); X: reatância (Ω); Y: 
admitância (S ou Ω-1); G = Condutância (S ou Ω-1); B = susceptância (S ou Ω-1).
Da mesma forma que os métodos conhecidos da corrente das malhas e 
tensões nos nós, as Leis de Kirchhoff e as técnicas utilizadas para calcular os equivalentes 
Thévenin e Norton podem ser aplicadas na análise de problemas no domínio da frequência.
ATENCAO
58
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Neste tópico, serão aplicados os conceitos de transformada de Laplace e 
da transformada Inversa de Laplace, que são apresentados e aprofundados em 
disciplinas de cálculo, análise de sinais e sistemas, teoria de controle, dentre outras.
Como nosso interesse é a aplicação (além da do método em si), pode-se 
fazer uso das tabelas de transformada de Laplace que correlacionam a função no 
domínio do tempo f(t) com a função no domínio da frequência F(s).
A transformada de Laplace unilateral pode ser obtida pela resolução da 
expressão:
A transformada de Laplace unilateral analisa os eventos para t > 0, o que 
acontece no tempo t < 0 é representado pelas condições iniciais.
A transformada inversa de Laplace pode ser encontrada pela resolução de:
Para t > 0. Contudo, ressaltam-se algumas das propriedades da 
transformada de Laplace e pares de transformada. A transformada de Laplace 
do produto de um escalar por uma função é igual ao produto do escalar pela 
transformada da função.
F(k.f(t)) = k.F(f(t))
Transformada de Laplace da soma de funções é igual à soma das 
transformadas de cada função.
F(f1(t) + f2(t) + f3 (t)) = F(f1(t)) + F(f2(t)) + F(f3(t))
 
A transformada da derivada e da integral é dada por:
Alguns pares de transformada de Laplace podem ser encontrados na 
Tabela 2.
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
59
TABELA 2 – PARES DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
60
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
FONTE: Ogata (2010, p. 781-782)
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
61
2 RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO RC
Para exemplificar a abordagem no domínio da frequência, utilizaremos 
um circuito RC, também conhecido como circuito de descarga do capacitor 
(Figura 57). 
FIGURA 57 – CIRCUITO DE DESCARGA DE CAPACITOR
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 526)
A corrente que circula no circuito é dada, segundo a lei de Ohm, como:
A tensão em um circuito RC leva em consideração a tensão de pré-carga 
do capacitor (V0), sendo obtida por:
Pela abordagem clássica, tem-se que:
Pela abordagem no domínio da frequência, pode-se ajustar o modelo de 
acordo com as necessidades; nesse caso, como o interesse é na corrente da malha, 
podemos utilizar o modelo equivalente, queevidencia a corrente do circuito, 
conforme apresentado na Figura 58.
FIGURA 58 – CIRCUITO DE DESCARGA DE CAPACITOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 
(CORRENTE)
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 526)
62
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Aplica-se a Lei das tensões de Kirchhoff ou lei das malhas, que correlaciona 
o somatório das tensões em uma malha, obtendo-se:
Ao se explicitar a corrente na equação, tem-se:
Para encontrar a expressão da corrente no domínio do tempo, aplica-se a 
transformada inversa de Laplace, para encontrar a expressão:
A tensão é obtida pela lei de Ohm, sendo dada por:
Observa-se que as expressões para a corrente e a tensão encontradas são 
idênticas às obtidas pelo método clássico.
Recalcula-se o circuito utilizando o modelo para o capacitor apresentado 
na Figura 59. 
FIGURA 59 – CIRCUITO DE DESCARGA DE CAPACITOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 
(TENSÃO)
FONTE: Nilsson e Riedel (2015 p. 527)
O objetivo é o cálculo da tensão aplicada na carga R; logo, a lei das 
correntes de Kirchhoff ou lei dos nós pode ser descrita como: 
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
63
Após obter a determinação da tensão no domínio da frequência, aplica-se 
a transformada inversa de Laplace para obter a expressão da tensão no domínio 
do tempo:
A corrente do circuito é obtida pela lei de Ohm, sendo dada por:
2.1 EXEMPLO DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITO NO 
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA POR LAPLACE
Segundo Nilsson e Riedel (2015), a chave no circuito (Figura 60) esteve na 
posição a por um longo tempo. Em t=0, ela passa repentinamente para a posição b.
FIGURA 60 – CIRCUITO PARA O EXEMPLO DE RESOLUÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
FONTE: Nilsson e Riedel (2015 p. 527)
a b
100 V +– 5 kΩi
10 kΩ
t = 0
+
v1–
+
v2–
0,2 𝜇F
0,8 𝜇F
64
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
2.1.1 Determinação de I, V
1
 e V
2
 como funções racionais 
de s
Após um longo tempo, os capacitores estarão carregados e a tensão 
aplicada no resistor é de 100 V. Tomando a associação dos capacitores (Ceq), 
pode-se utilizar a equação que representa a corrente nesse circuito:
Assim, tem-se:
A corrente do circuito é dada por:
As tensões nos capacitores podem ser calculadas por divisor de tensão; 
para isso, calcula-se a tensão no resistor de 5 kΩ:
Já as tensões nos capacitores são dadas por:
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
65
2.1.2 Determinação das expressões no domínio do tempo 
para i, v
1
 e v
2
No domínio do tempo, tem-se que:
i(t) = L{I(s)} = 20.e–1250.t.u(t)mA
vc1(t) = L{Vc1(s)} = 80.e
–1250.t.u(t)V
vc2(t) = L{Vc2(s)} = 20.e
–1250.t.u(t)V
2.2 EXEMPLO DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA 
FREQUÊNCIA UTILIZANDO A ANÁLISE DE MALHAS
Para o circuito da Figura 61, considera-se que, no instante em que a chave 
é fechada, não existe pré-carga dos componentes, ou seja, não existe energia 
armazenada.
FIGURA 61 – CIRCUITO PARA A ANÁLISE DE MALHAS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
FONTE: Nilsson e Riedel (2015 p. 529)
2.2.1 Determinação da expressão para I e V no domínio 
da frequência
Para o cálculo da corrente na malha:
Para o cálculo da tensão no indutor:
160 V
4,8 Ω 4 H
0,25 Fi
t = 0
+ v –
66
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
No caso das funções de corrente e tensão no domínio do tempo, para 
encontrar as raízes do polinômio do denominador da equação em s da corrente, 
tem-se que:
Aplicando frações parciais para polos complexos, tem-se:
Calculando os coeficientes K1 e K2:
Calculando os coeficientes na forma polar:
Consultando as tabelas de transformada de Laplace, encontramos a 
seguinte correlação L–1{F(s)} → L{f(t)}:
2.2.2 Determinação da expressão de i(t) e v(t) no domínio 
do tempo quando t > 0
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
67
Logo:
Ou, ainda, i(t) = 50.e–j0,6.sen(0,8t).u(t).
Seguindo um procedimento semelhante para calcular a tensão no domínio 
do tempo, tem-se:
Calculando os coeficientes K1 e K2 :
Calculando os coeficientes na forma polar:
Consultando as tabelas de transformada de Laplace, encontramos a 
seguinte correlação L–1{F(s)} → L{f(t)}.
Logo:
VL(s) = 2.|100s|, e–0,6t.cos(0,8t + 90°)
vL(t) = 200s . e–j0,6. cos(0,8t + 90°). u(t) ou vL(t) = 200s .e–j0,6.sen(0,8t).u(t)
68
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
LEITURA COMPLEMENTAR
CORRENTE CONTÍNUA VS CORRENTE ALTERNADA
Denis
A energia elétrica é um bem de extrema importância para nossas 
vidas cotidianas. Utilizamos ela nos mais diversos aparelhos e equipamentos. 
Primordialmente, o princípio básico da energia elétrica é simples: a diferença de 
potencial elétrico entre dois pontos permite o estabelecimento de uma corrente 
elétrica entre ambos.
Tipos de corrente
Uma corrente elétrica é simplesmente o fluxo de elétrons através de um 
condutor. Assim esse fluxo pode ocorrer de duas formas:
Na Corrente Contínua (DC), o fluxo de elétrons ocorre sempre no 
mesmo sentido. Esse é o caso, por exemplo, de circuitos abastecidos por pilhas 
e baterias. Em geral, os circuitos que aparecem nos vestibulares são circuitos de 
corrente contínua.
Na Corrente Alternada (AC), o fluxo de elétrons alterna de sentido, 
fazendo um movimento de “vai e vem”. É esse tipo de corrente que abastece as 
nossas casas. A frequência da corrente que recebemos da companhia elétrica vale 
60 Hz, ou seja, essa corrente completa 60 ciclos por segundo!
A corrente alternada parece mais complexa, né? Então por que usamos ela 
para a maioria das coisas? Senta que lá vem história!
A batalha das correntes
Até o final do século XIX, os poucos lugares que possuíam equipamentos 
elétricos eram abastecidos por corrente contínua, vendida e defendida pelo 
inventor Thomas Edison.
No entanto, a corrente contínua possuía um problema grave: grande parte 
de sua potência elétrica era perdida em cabos de transmissão. Logo, até então, era 
inviável a transmissão de eletricidade a longas distâncias.
Dessa forma, para expandir o uso de energia elétrica, seria necessária a 
construção de uma usina elétrica próxima de cada centro urbano.
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
69
Em seguida, tendo consciência desse problema, Nikola Tesla, ex-
funcionário de Edison, surgiu com a solução: a corrente alternada. Ou seja, com 
o uso de certos equipamentos, a corrente alternada poderia ser transportada a 
longas distâncias sem muita perda de potência!
Consequentemente, ambos passaram a disputar pelo direito de eletrificar 
diversas cidades americanas. Foi assim que a Batalha das Correntes começou:
Edison vs Tesla
Visto que não tinha chances contra seu concorrente, Edison optou por 
uma estratégia mais ousada. Por isso, iniciou uma campanha de desinformação, 
tentando fazer a população acreditar que a corrente alternada de Tesla era 
extremamente perigosa.
Mas nada disso adiantou e, no fim, Tesla ganhou a batalha e o direito 
de eletrificar cidades. Para tal, geradores hidrelétricos foram construídos nas 
Cataratas do Niágara.
O processo de geração de corrente alternada é um pouco complexo, 
mas não se preocupe, temos um blog post inteirinho dedicado a isso: Energia 
Elétrica, Geradores e a Indução Eletromagnética: <https://blog.biologiatotal.com.
br/geracao-de-energia-eletrica/>.
70
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Estátua de Nikola Tesla em frente às Cataratas do Niágara
Gostou da história? Então, agora senta que lá vem Física!
Potência e resistência
Como vimos, o que deu a vitória a Tesla, foi a capacidade da corrente 
alternada de ser transmitida com menor perda de potência.
Tá, mas como isso é possível?
Antes de mais nada, para entender esse fenômeno, precisamos aprender 
sobre duas grandezas físicas: potência e resistência elétrica.
Potência elétrica
A potência elétrica é formalmente definida como a rapidez com que 
um trabalho é realizado. Da mesma forma, podemos defini-la também como a 
quantidadede energia elétrica transformada em outra forma de energia por 
unidade de tempo.
A unidade no sistema internacional para a potência é o watt (W), que 
equivale a 1 Joule de energia por segundo.
Diferentes equipamentos possuem potências elétricas distintas. Por 
exemplo, um chuveiro elétrico transforma 5000 J de energia elétrica em energia 
térmica por segundo, logo sua potência vale 5000 W.
Tá, mas como esse chuveiro transforma a energia elétrica em térmica?
Resistência elétrica
Antes de mais nada, chamamos de resistência elétrica a capacidade de um 
condutor de se opor à passagem de corrente elétrica.
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
71
A unidade no sistema internacional para a resistência é o ohm (Ω).
Um resistor é, então, um dispositivo que possui alta resistência elétrica 
e que, limitando a passagem de corrente elétrica, consegue transformar energia 
elétrica em térmica, gerando calor.
Resistor presente em chuveiros
Essa forma de “perder energia elétrica” e gerar calor é nomeada efeito 
joule.
Tá, mas o que isso tem a ver com a perda de potência nos cabos de 
transmissão? Tudo, pois os cabos também possuem certa resistência, ou seja, 
sobre eles também atua o efeito joule.
Potência perdida na transmissão
A potência individual de um equipamento, como o chuveiro, não é muito 
alta. Porém, imagine diversos equipamentos ligados ao mesmo tempo, não só na 
sua casa, mas em toda a sua cidade. Assim, a potência elétrica total necessária 
para suprir essa cidade é muito alta!
Suponhamos, por exemplo, que Jubilândia, uma pequena cidade, utilize 
20 milhões de Watts (20 MW) de potência em horários de pico.
No Brasil, utilizamos uma diferença de potencial de 110 ou 220 Volts em 
nossas casas. Ao passo que consideraremos nos cálculos que, em Jubilândia, as 
casas utilizem 110 V.
Existe uma fórmula simples que relaciona potência (P), diferença de 
potencial (V) e corrente elétrica (i):
P = V i ou i = P / V
(Fórmula 1)
Assim, para Jubilândia, a corrente elétrica que percorre os cabos de 
transmissão vale.
72
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Sendo: i = P / V
i = 20.000.000 W / 110 V
Resultando em: i = 182.000 ampere
Por isso, para saber quanto de potência é perdida por efeito joule nos 
cabos, podemos usar uma segunda fórmula:
P = i² R
(Fórmula 2)
Vamos considerar que um cabo de transmissão, que possui uma resistência 
de 0.7 ohms por metro, é responsável por suprir energia à Jubilândia.
Sendo assim, a potência perdida nos cabos de transmissão vale:
P = (182.000 ampere)² * (0.7 ohm por metro)
P = 23.186.800.000 watts por metro
Portanto, para que 20 MW sejam fornecidos para a cidade, 23.000 MW 
seriam perdidos nos cabos, por metro de distância entre a cidade e a usina 
geradora de energia. Isso é, obviamente, inviável.
Tá, mas qual seria a solução?
A solução: redução da corrente
Vimos que a potência perdida depende de duas variáveis: a resistência do 
cabo e a corrente elétrica passando por esse cabo (veja a fórmula 2).
Para reduzir a resistência por metro de um condutor, precisamos aumentar 
o seu diâmetro, já que dessa forma haverá mais material para carregar a corrente. 
No entanto, a quantidade extra desse material custaria muito caro.
A solução mais eficaz é reduzir a corrente, já que, como notamos na 
fórmula 2, a relação entre potência dissipada e corrente é quadrática. Por exemplo, 
reduzindo em 10 vezes a corrente no cabo, reduzimos em 100 vezes a potência 
dissipada!
Tá, mas como faremos para reduzir a corrente nos cabos sem modificar a 
potência que abastece a cidade? Simples, basta aumentar a diferença de potencial 
que atua sobre eles (veja a fórmula 1)!
TÓPICO 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FEQUÊNCIA
73
Na prática, a diferença de potencial que utilizamos em cabos de 
transmissão é muito maior do que os 110 V que chegam em nossas casas: algo em 
torno de 750.000 V (750 kV).
Com essa diferença de potencial, a corrente transmitida pelos cabos seria 
algo em torno de:
i =P/V
i = 20.000.000 W / 750.000 V
Assim, i = 26,7 ampere
Dessa forma, a potência dissipada por efeito joule valeria:
P = i² R
P = (26,7 ampere)² * 0,7 ohm por metro
Dessa forma, P = 500 watts por metro
Sendo assim, com essa mudança na diferença de potencial, reduzimos a 
potência perdida de 23.000 MW para 500 W, ou seja, uma redução de fantásticos 
97,82%!
Tá, mas como podemos modificar a diferença de potencial de um circuito?
Transformadores: a carta na manga da corrente alternada
Os transformadores são equipamentos que nos permitem aumentar a 
diferença de potencial em um circuito elétrico (reduzindo a corrente presente no 
mesmo) ou reduzi-la (aumentando a corrente).
Transformadores
Inegavelmente, os transformadores foram a razão da vitória de 
Tesla: transformadores só funcionam com corrente alternada! Sendo assim, não 
existe forma de transmitir, de forma eficiente, potência elétrica fazendo uso de 
corrente contínua.
74
UNIDADE 1 — CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (ANÁLISE EM REGIME SENOIDAL)
Vale lembrar que, a energia elétrica é transmitida com alta diferença de 
potencial (ou alta tensão), porém, nossas casas continuam necessitando de uma 
baixa diferença de potencial (ou baixa tensão).
Sendo assim, são necessários dois transformadores:
• Transformador A: aumenta a diferença de potencial produzida na usina para 
que sejam reduzidas as perdas de potência nos cabos de transmissão.
• Transformador B: reduz a diferença de potencial que chega dos cabos de 
transmissão para 110 V (ou 220 V), para que nossos equipamentos domésticos 
possam funcionar corretamente.
FONTE: <https://blog.biologiatotal.com.br/corrente-continua-alternada/>. Acesso em: 3 fev. 2021.
75
RESUMO DO TÓPICO 3
Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem 
pensando em facilitar sua compreensão. Acesse o QR Code, que levará ao 
AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
CHAMADA
Neste tópico, você aprendeu que:
• Para o cálculo das grandezas de interesse, é possível calcular utilizando a 
impedância (Z) ou a admitância (Y).
• Os métodos tradicionais de resolução de circuitos elétricos, como associação 
de impedâncias, teoremas de Norton e Thevenin, leis de Kirchhof das tensões 
e corrente, transformação de fontes, podem ser usados para a resolução dos 
circuitos no domínio da frequência.
• Quando os circuitos sob análise não tiverem energia armazenada em seus 
componentes passivos, o modelo utilizado para resistor, indutor e capacitor 
pode ser representado por:
FONTE: O autor
• A função de transferência no domínio da frequência relaciona o sinal de saída 
com o sinal de entrada:
Domínio do tempo Domínio da frequência
R R
L sL
C
76
1 Para o circuito apresentado a seguir, suponha que os componentes passivos 
não possuam energia armazenada no instante em que a chave – que fecha 
os terminais da fonte de corrente – é aberta. Obtenha o valor da tensão 
v(t) para o circuito, utilizando a transformada de Laplace, considerando 
ICC = 30 mA; C = 40 nF; R = 880Ω e L = 30 mH..
FONTE: Nilsson e Riedel (2015, p. 496)
2 Qual é a expressão da corrente que circula pelo indutor, quando submetido 
a uma resposta degrau, para o circuito apresentado na questão anterior? 
3 Dado o filtro passa baixa passivo, encontre a função de transferência do 
circuito utilizando Laplace.
AUTOATIVIDADE
Icc
t = 0
R L C
+
v(t)
–
77
REFERÊNCIAS
ANALOG DEVICES Inc. Mouser Eletronics, Florianópolis, c2021. Disponível 
em: https://br.mouser.com/manufacturer/analog-devices/. Acesso em: 29 maio 
2020.
CIRCUIT design tools & calculators. Analog Devices, Wilmington, MA, c2021. 
Disponível em: https://www.analog.com/en/design-center/design-tools-and-
calculators.html. Acesso em: 13 out. 2020.
LTSPICE. Analog Devices, Wilmington, MA, c2021. Disponível em: https://
www.analog.com/en/design-center/design-tools-and-calculators/ltspice-
simulator.html. Acesso em: 13 out. 2020.
MILHAGEM UFMG. LTSpice:primeiros passos. Portal Vida de Silício, [S. l.], 21 
fev. 2019. Disponível em: https://portal.vidadesilicio.com.br/ltspice-primeiros-
passos/. Acesso em: 29 maio de 2020.
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall; 2015. Disponível em: https://www.academia.edu/38829779/
CIRCUITOS_EL%C3%89TRICOS_CIRCUITOS_EL%C3%89TRICOS_
CIRCUITOS_EL%C3%89TRICOS. Acesso em: 13 out. 2020.
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall; 2010. Disponível em: https://www.academia.edu/39215638/Ogata_
Engenharia_de_Controle_Moderno_5_ed_1_. Acesso em: 13 out. 2020.
78
79
UNIDADE 2 — 
POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• apresentar os conceitos de potência instantânea, média, ativa, reativa e 
aparente;
•	 compreender	a	definição	de	valor	eficaz;
•	 realizar	os	cálculos	simples	de	potências;
•	 conceituar	potência	complexa	e	fator	de	potência;
•	 desenhar	o	triângulo	de	potências;
•	 compreender	e	calcular	o	teorema	da	máxima	transferência	de	potência;
•	 realizar	cálculos	de	potência	em	corrente	alternada;
•	 entender	como	corrigir	o	fator	de	potência;
•	 realizar	o	cálculo	básico	do	consumo	de	energia	elétrica	de	uma	residência	
ou	indústria	de	pequeno	porte.
Esta	unidade	está	dividida	em	três	tópicos.	No	decorrer	da	unidade,	
você	 encontrará	 autoatividades	 com	 o	 objetivo	 de	 reforçar	 o	 conteúdo	
apresentado.
TÓPICO	1	–	CONCEITOS	DE	POTÊNCIAS	INSTANTÂNEA,	MÉDIA	E	
REATIVA
TÓPICO	2	–	TEOREMA	DA	MÁXIMA	TRANSFERÊNCIA	DE	POTÊNCIA
TÓPICO	3	–	FATOR	DE	POTÊNCIA	E	SUA	CORREÇÃO
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
80
81
UNIDADE 2
TÓPICO 1 — 
CONCEITOS DE POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, MÉDIA E REATIVA
1 INTRODUÇÃO
	 A	 análise	 de	 potência	 complexa	 em	 engenharia	 elétrica	 é	 de	 suma	
importância,	pois	a	geração,	a	transmissão	e	a	distribuição	de	energia	elétrica	por	
sistemas	de	potência	dependem	da	compreensão	dessa	grandeza.
A	 potência	 elétrica	 complexa	 é	 a	 caraterística	 mais	 importante	 em	
concessionárias	de	energia,	sistemas	eletrônicos	e	sistemas	de	comunicação.	Esses	
sistemas	trabalham	com	a	transmissão	de	potência	de	um	ponto	a	outro.
Os	equipamentos	possuem	um	selo	ou	manual	que	indica	quanta	potência	
necessitam	para	funcionar	adequadamente.	Por	exemplo,	ventiladores,	chuveiros,	
motores,	 ferros	de	passar	 roupas,	 secadoras,	 lavadoras,	 geladeiras,	 televisores,	
computadores,	 notebooks	 e	 motores,	 entre	 outros	 tantos	 eletrodomésticos	 e	
equipamentos,	não	podem	exceder	a	potência	indicada	neles.	Caso	o	usuário	exceda	
a	potência	elétrica	do	equipamento,	isso	pode	danificá-lo	permanentemente.
Em	todo	o	mundo,	as	formas	mais	comuns	de	geração	de	energia	elétrica	
ocorrem	nas	frequências	de	50	ou	60	Hz.
Segundo	o	engenheiro	Duílio	Moreira	Leite:
“sempre	houve	duas	 frequências	para	o	 sistema	de	potência,	 50	Hz	
na	Europa	e	60	Hz	na	América	do	Norte	(Estados	Unidos	e	Canadá)”.	
A	 origem,	 no	 primeiro	 caso,	 “é	 que	 os	 europeus	 sempre	 pensaram	
no	sistema	métrico,	múltiplos	e	submúltiplos	de	10	(como	no	caso	do	
metro,	decímetro,	centímetro	etc.).	Por	isso,	pensaram	que	o	segundo	
deve	 ter	 100	meios	 ciclos	 ou	 50	 ciclos”,	 surgindo	 aí	 a	 definição	 da	
frequência	em	50	Hz,	porque	ela	é	dependente	de	tempo	em	segundos	
(apud	CUNHA,	2010,	s.p.).
No	Brasil,	a	frequência	é	de	60	Hz	em	todos	os	estados.	É	importante	ficar	
claro	que	a	escolha	de	transmissão	de	energia	elétrica	em	corrente	alternada,	em	
vez	de	corrente	contínua,	permitiu	a	transmissão	de	potência	em	alta	tensão	da	
unidade	geradora	até	o	consumidor.	A	tensão	nominal	do	equipamento	é	definida	
como	aquela	entre	fase	e	neutro.	O	Quadro	1	1	mostra	as	tensões	nominais	nas	
cidades	brasileiras.
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
82
QUADRO 1 – TENSÕES NOMINAIS EM CIDADES E ESTADOS BRASILEIROS
Estado
Tensão fase-neutro 
(Volts – Voltage 
Phase-neutral)
Exceções
Acre 127	V
Alagoas 220	V
Amapá 127	V
Amazonas 127	V
Bahia 220	V
Exceções	(127	V):
Aiquara;	Alagoinhas;	Almadina;	Antas;	Antônio	Cardoso;	
Apuarema;	 Araçás;	 Aratuípe;	 Aurélio	 Leal;	 Barra	 do	
Rocha;	 Governador	 Lomanto	 Júnior;	 Belmonte;	 Bom	
Jesus	da	Lapa;	Boquira;	Brejões;	 Buerarema;	Cabeceiras	
do	 Paraguaçú;	 Cacoahaeira;	 Camaçari;	 Canavieiras;	
Candeias;	Castro	Alves;	Catú;	Cipó;	Conceição	da	Feira;	
Conceição	 do	Almeida;	 Conceição	 do	 Jacuipe;	 Coração	
de	 Maria;	 Coronel	 João	 Sá;	 Correntina;	 Cravolândia;	
Cruz	 das	 Almas;	 Dário	 Meira;	 Firmino	Alves;	 Floresta	
Azul;	Gongogi;	Governador	Mangabeira;	Ibicaraí;	Ibicui;	
Ibirapitanga;	 Ibirataia;	 Iguai;	 Ilheus;	 Ipecaeta;	 Ipiau;	
Irará;	Itabuna;	Itacaré;	Itagiba;	Itaju	do	Colonia;	Itajuipe;	
Itanagra;	 Itaparica;	 Itape;	 Itapitanga;	 Itaquara;	 Itatim;	
Itiruçú;	 Itororó;	 Jaborandi;	 Jaguaquara;	 Jeremoabo;	
Jiquirica;	 Jitauna;	 Jussari;	 Lagedo	 do	 Tabocal;	 Lauro	 de	
Freitas;	 Madre	 de	 Deus;	 Maracas;	 Maragogipe;	 Muniz	
Ferreira;	Muritiba;	 Nazaré;	 Nova	 Canaã;	 Nova	 Itarana;	
Novo	 triunfo;	Ouricangas;	Paulo	Afonso;	Pedrão;	Pedro	
Alexandre;	 Piraí	 do	 Norte;	 Pojuca;	 Rafael	 Jambeiro;	
Salvador;	Santa	Cruz	da	Vitória;	Santa	Inês;	Santanópolis;	
Santa	 Terezinha;	 Santa	 Luzia;	 Santa	 Maria	 da	 Vitória;	
Santana;	 Santo	 Amaro;	 Santo	 Antônio	 de	 Jesus;	 Santo	
Estevão;	São	Desidério;	São	Felipe;	São	Felix;	São	Felix	do	
Coribe;	São	Francisco	do	Conde;	São	José	da	Vitória;	São	
Miguel	das	Matas;	 Sapeaçú;	 Sátiro	Dias;	 Saubara;	 Serra	
do	 Ramalho;	 Serra	 Preta;	 Simões	 Filho;	 Sítio	 do	 Mato;	
Sítio	 do	 Quino;	 Teodoro	 Sampaio;	 Terranova;	 Ubaíra;	
Urucuca;	Varzedo;	Vera	Cruz
Ceará 220	V
Distrito	
Federal 220	V
Espírito	Santo 127	V 220	VAlegre;	Gaçuí
Goiás 220	V
Maranhão 220	V
Mato	Grosso 127	V 220	VAraguaiana;	Barra	das	Garças;	Cocalinho
Mato	Grosso	
do	Sul 127	V
Minas	Gerais 127	V
Pará 127	V
TÓPICO 1 — CONCEITOS DE POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, MÉDIA E REATIVA
83
Paraíba 220	V
Paraná 127	V 220	VRio	Negro
Pernambuco 220	V
Piauí 220	V
Rio	de	Janeiro 127	V 220	VNova	Friburgo
Rio Grande do 
Norte 220	V
Rio Grande 
do	Sul 220	V
127	V
Arroio	 do	 Sal;	 Canoas;	 Capão	 da	 Canoa;	 Capela	 de	
Santana;	General	Câmara;	Imbé;	Porto	Alegre;	Rio	Grande;	
São	Leopoldo;	Torres;	Tramandaí;	Três	Cachoeiras;	Três	
Palmeiras
Rondônia 127	V
Roraima 127	V
Santa	Catarina 220	V
São	Paulo 127	V
220	V
Assis;	 Bastos;	 Biritiba-Mirim;	 Boituva;	 Bora;	 Caçapava;	
Campo	 Limpo	 Paulista;	 Cândido	Mota;	 Caraguatatuba;	
Cruzalia;	 Echapora;	 Florinea;	 Guarujá;	 Iacri;	 Ibirarema;	
Iepe;	Indaiatuba;	Iperó;	Itupeva;	Jambeiro;	João	Ramalho;	
Jundiaí;	 Loveira;	 Lutécia;	 Maracaí;	 Mogi	 das	 Cruzes;	
Oscar	 Bressane;	 Palmital;	 Paraguaçú;	 Paulista;	 Platina;	
Porto	Feliz;	Quatá;	Rancharia;	Ribeirão	do	Sul;	Rinópolis;	
Salesópolis;	 Salto	 Grande;	 Santa	 Branca;	 São	 José	 dos	
Campos;	 São	 Sebastião;	 Tupã;	 Várze2019a	 Paulista;	
Vinhedo
Sergipe 110	V,	115	V,	117	V,	127	V
Tocantins 220	V 127	VDianópolis
FONTE: <https://www.inf.ufrgs.br/~cabral/Tensao.nominal.estados.Brasil.html>. 
Acesso em: 4 fev. 2021.
A variação de frequência e, consequentemente, de tensão e de potência 
existente entre os países que fazem fronteira com o Brasil, como o Paraguai e o Uruguai, 
deve ser observada. Na Usina Hidroelétrica de Itaipu, ocorre a geração de energia em 
duas diferentes frequências, pois ficou definido que metade da energia gerada nessa usina 
seria em 60 Hz, padrão usado no Brasil, enquanto a outra metade seria em 50 Hz, padrão 
utilizado no Paraguai.
INTERESSA
NTE
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
84
2 POTÊNCIA INSTANTÂNEA
A	potência	 instantânea	 é	 a	potência	 em	qualquer	 instante	de	 tempo.	É	
através	dela	que	o	elemento	absorve	energia.	A	definição	de	potência	instantânea	
é: “a potência instantâneap(t)	absorvida	por	um	elemento	é	o	produto	da	tensão	
instantânea v(t)	aplicada	ao	elemento	pela	corrente	instantânea	i(t)	que	passa	no	
elemento,	ou	seja:	p(t) = v(t).i(t)”	(HAYT;	KEMMERLY,	1971,	p.	26)
Ressalta-se que, neste Livro Didático, as grandezas instantâneas serão 
mencionadas em letras minúsculas.
ATENCAO
A	tensão	elétrica	em	um	circuito	senoidal	é	dada	por:
v(t) = Vm.cos(ωt + θv)
Em	que:	Vm	é	a	tensão	de	pico	ou	amplitude	da	tensão	e	θv	é	o	ângulo	de	
fase	da	tensão	complexa.
A	corrente	elétrica	em	um	circuito	senoidal	é	obtida	pela	expressão:
i(t) = Im.cos(ωt + θi)
Em	que:	Im	é	a	corrente	de	pico	ou	amplitude	da	corrente	e	θi	é	o	ângulo	
de	fase	da	corrente	complexa.
Num	circuito	senoidal,	a	potência	instantânea	é	dada	por:
p(t) = Vm. Im. cos(ωt + θv) . cos(ωt + θi)
Nesse	caso,	aplicaremos	a	identidade	trigonométrica:
Portanto,	podemos	expressar	a	equação	da	potência	instantânea	como:
TÓPICO 1 — CONCEITOS DE POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, MÉDIA E REATIVA
85
Com	 isso,	 verificamos	 que	 a	 potência	 instantânea	possui	 duas	partes.	A	
primeira	é	constante,	que	é	independente	do	tempo;	o	seu	valor	depende	apenas	
da	diferença	de	fase	entre	a	tensão	e	a	corrente.	Já	a	segunda	parte	é	uma	função	
senoidal,	 cuja	 frequência	 é	 de	 2ω,	 sendo	 duas	 vezes	 a	 frequência	 angular	 da	
tensão	ou	da	corrente.
O	gráfico	da	potência	instantânea	que	entra	no	circuito	senoidal	é	mostrado	
na	Figura	1.
FIGURA 1 – POTÊNCIA INSTANTÂNEA
FONTE: Alexander; Sadiku (2003, p. 393)
Conforme já estudamos em outras disciplinas, a unidade da grandeza de 
potência é o watt (W). Por isso, é importante lembrar que:
• a potência instantânea positiva p(t) indica que o circuito absorveu potência da fonte;
• a potência instantânea negativa p(t) indica que a potência é absorvida pela fonte.
NOTA
Agora,	vamos	resolver	um	exemplo	para	que	esses	conceitos	fiquem	bem	
claros.
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
86
2.1 EXEMPLO PRÁTICO
Dados	 v(t) = 100.cos(377t +	 60o)	 e	 i(t) = 5.cos(377t –	 15o),	 determine	 a	
potência	instantânea	desse	circuito	elétrico.
Solução:	para	resolver	esse	exercício,	utilizaremos	a	equação	da	potência	
instantânea	a	seguir:
Assim,	tem-se:
Colocando	a	amplitude	de	250	em	evidência,	tem-se:
p(t) = 250.[cos(15o)	+	cos(754t + 45o)]
Utilizando	a	propriedade	distributiva	da	multiplicação,	tem-se:
p(t) = 250.cos(75o)	+	250.cos(754t + 45o)]
Resultado:
p(t) = 64,7	+	250.cos(754t + 45o)	[W]	
3 POTÊNCIA MÉDIA
“A	potência	média	e	a	média	da	potência	instantânea	em	um	período”	
(ALEXANDER;	 SADIKU,	 2003,	 p.	 393).	 A	 importância	 da	 potência	 média	
baseia-se	no	 fato	de	que	a	potência	 instantânea	não	pode	ser	mensurada	por	
equipamentos	ou,	ainda,	que	a	sua	medição	é	muito	difícil	de	ser	realizada	a	
cada	instante.	Por	esse	motivo,	utilizamos	a	potência	média	que	é	definida	pela	
seguinte	expressão	matemática:
TÓPICO 1 — CONCEITOS DE POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, MÉDIA E REATIVA
87
Em	que:	T	é	o	período.	Podemos	obter	o	mesmo	resultado	integrando	p(t) 
em To = T/2.	
	 Agora,	 substituindo	 a	 expressão	 para	 a	 potência	 instantânea	 p(t) na 
expressão	para	a	potência	média	P,	obtém-se:
O	primeiro	integrando	da	expressão	fornece	uma	constante	e	o	segundo,	
uma	senoide.	Como	a	média	de	uma	senoide	em	um	período	é	 igual	a	zero,	o	
segundo	termo	não	existirá	mais;	então:
Nota-se	que	a	expressão	para	P	não	depende	do	tempo,	por	isso,	é	dita	
potência	média.	Podemos	determinar	a	potência	média	com	v e i	no	domínio	do	
tempo	ou	com	V e I	no	domínio	da	 frequência.	Essa	é	mais	uma	vantagem	da	
potência	média	em	relação	à	potência	instantânea.
As	 formas	 fasoriais,	 que	 são	as	 representações	de	 amplitude	 e	 fase,	no	
domínio	da	frequência,	de	v(t) e i(t)	são	dadas,	respectivamente,	por:
Para	utilizar	os	fasores,	utiliza-se:
A	parte	real	da	expressão	anterior	é	a	potência	média	P:
Agora,	considerando	dois	casos	especiais	da	equação	anterior:
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
88
•	 Se	θv = θi	,	a	tensão	e	a	corrente	estão	em	fase,	ou	seja,	tem	o	mesmo	ângulo,	
portanto,	não	possuem	defasagem.	Isso	nos	remete	a	um	circuito	puramente	
resistivo	ou	uma	carga	R	resistiva:
◦	 Em	que:	|i|2 = i	x	i*.
•	 Se	θv – θi = ± 90o,	tem-se	um	circuito	puramente	reativo,	ou	seja,	capacitivo	ou	
indutivo;	então:
◦	 Isso	nos	remete	à	conclusão	de	que	nenhum	circuito	puramente	reativo	não	
absorve	potência.
Um circuito puramente resistivo absorve potência em todos os instantes, já um 
circuito puramente reativo não absorve potência em momento algum.
IMPORTANT
E
Agora,	 vamos	 resolver	 um	 exemplo	 para	 consolidar	 os	 conteúdos	
estudados.
3.1 EXEMPLO PRÁTICO 1
Dados	v(t) = 150.cos(377.t + 80°)	e	 i(t) = 20.cos(377.t + 35°),	determine	a	
potência	média	desse	circuito	elétrico.
Solução: neste caso, a potência média é dada por:
TÓPICO 1 — CONCEITOS DE POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, MÉDIA E REATIVA
89
3.2 EXEMPLO PRÁTICO 2
Calcule	a	potência	média	absorvida	por	uma	impedância	de	e	Z = 10	– j50[Ω]	 
quando	a	tensão	de	V = 120∠0o	é	aplicada	a	ela.
Solução: a	corrente	que	flui	pela	impedância	elétrica	é	de:
Essa	é	a	corrente	em	ampères	na	forma	retangular	complexa.	Entretanto,	
faz	mais	sentido	em	circuitos	elétricos	e	em	circuitos	de	potência	para	representar	
as	grandezas	corrente,	tensão,	potência	e	impedância	ou	admitância	nas	formas	
fasoriais,	ou	seja,	em	amplitude	e	fase.	Portanto,	na	forma	fasorial,	tem-se:
i = 2,35∠78,8o [A]
A	potência	elétrica	média	é	dada	por:
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
90
4 POTÊNCIA EFICAZ OU POTÊNCIA RMS
“O	valor	 eficaz	de	uma	 corrente	 elétrica	periódica	 é	 o	 valor	da	 corrente	
contínua	 que	 transmite	 a	 mesma	 potência	 média	 a	 uma	 carga	 resistiva”	
(ALEXANDER;	SADIKU,	2003,	p.	401).	O	valor	eficaz	pode	ser	definido	como	a	
corrente	que	produz	o	mesmo	aquecimento	provocado	pela	corrente	contínua	de	
igual	valor.	O	valor	rms	(em	inglês,	root mean square)	significa	raiz	quadrática	média.
Para	deduzir	a	expressão	matemática	para	a	potência	eficaz,	sabendo	que	
a	potência	média	absorvida	por	um	resistor	em	um	circuito	de	corrente	alternada	
é dada por:
Já	a	potência	absorvida	pelo	resistor	em	um	circuito	de	corrente	contínua	
é dada por:
Igualando	as	duas	últimas	expressões,	obtém-se:
A	expressão	anterior	permite	calcular	o	valor	eficaz	da	corrente	elétrica	
alternada.	Da	mesma	forma,	a	expressão	matemática	para	obter	o	valor	eficaz	da	
tensão	elétrica	é	dada	por:
TÓPICO 1 — CONCEITOS DE POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, MÉDIA E REATIVA
91
Com	isso,	o	valor	eficaz	ou	valor	rms	é	sempre	dado	pela	raiz	quadrada	
do	valor	médio	do	quadrado	do	sinal	periódico.	Portanto,	podemos	escrever:
Ief = Irms
Vef = Vrms
Para	qualquer	função	periódica	x(t),	o	valor	rms	é	dado	por:
O valor eficaz de um sinal periódico é a raiz do valor médio quadrático ou rms.
ATENCAO
4.1 EXEMPLO PRÁTICO 1
Determine	o	valor	rms	da	forma	de	onda	de	corrente	da	Figura	2.
FIGURA 2 – FORMA DE ONDA ARBITRÁRIA
FONTE: Alexander; Sadiku (2003, p. 402)
Solução: na	Figura	2,	percebe-se	que	o período	T	é	de	4	segundos,	pois	é	o	
tempo	necessário	para	que	uma	forma	de	onda	se	complete	–	assim,	nota-se	que,	
em	t	=	4	segundos,	a	forma	se	repete.
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
92
Com	 isso,	 pode-se	 expressar	 a	 função	 para	 a	 corrente	 no	 domínio	 do	
tempo, i(t),	descrita	por	essa	forma	de	onda:
O	valor	rms	é	dado	por:
4.2 EXEMPLO PRÁTICO 2
Determine	a	potência	média	gerada	pelas	fontes	de	corrente	e	de	tensão	
e	a	potência	média	absorvida	por	cada	um	dos	elementos	passivos	(R,	L	e	C)	no	
circuito	da	Figura	3.
FIGURA 3 – CIRCUITO ELÉTRICO RLC COM FONTE DE CORRENTE E FONTE DE TENSÃO
FONTE: Os autores
TÓPICO 1 — CONCEITOS DE POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, MÉDIA E REATIVA
93
Solução:	aplica-se	a	análise	de	malhas,	conforme	ilustrado	na	Figura	3.	
Para	a	malha	1,	tem-se	que:
I1 = 1∠0o [A]
Para	a	malha	2,	a	equação	de	malhas	é:
(j1 – j5).I2 – j1.I1	+	100	∠ 30o	=	0
– j1.I1 – j4.I2 = –100	∠ 30o	=	0
AplicandoI1 = 1∠0o [A]	na	equação	anterior,	tem-se:
– j1.(1	∠ 0o)	– j4.I2 = –100	∠	30o
– j1 – j4.I2 = –100	∠	30o
j4.I2 = –100	∠	30o +	j1
Ou	ainda:
Isso	irá	resultar	na	forma	retangular:
I2 = (12,25	– j21,65) [A]
	 Ou	na	forma	polar:
I2 = (24,88 ∠ – 60,5o) [A]
Para	 a	 fonte	 de	 tensão,	 a	 corrente	 que	 flui	 a	 partir	 dela	 é	 de	 
I2 = 24,88∠ – 60,5o [A]	e	a	tensão	nela	é	de	V = 100∠30o [V];	desse	modo,	a	potência	
média é:
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
94
Seguindo	a	convenção	do	sinal	passivo,	essa	potência	média	é	fornecida	
pela	 fonte	 ao	 circuito,	 isto	 é,	 o	 circuito	 absorve	 a	 potência	média	 da	 fonte	 de	
tensão.
Para	 a	 fonte	de	 corrente,	 a	 corrente	 através	dela	 é	de	 I1 = 1∠0o [A]	 e	 a	
tensão	nela	é	de:
Resolvendo,	tem-se	que:
Ou	na	forma	polar:
A	potência	média	fornecida	pela	fonte	de	corrente	é:
Ela	é	negativa	de	acordo	com	a	convenção	do	sinal	passivo,	significando	
que	a	fonte	de	corrente	está	fornecendo	potência	ao	circuito.
Para	o	resistor,	a	corrente	através	dele	é	de	İ1 = 1∠0o [A]	e	a	tensão	nele	é	
de	10.İ1 = 10∠0o,	de	modo	que	a	potência	absorvida	pelo	resistor	é	de:
Para	o	capacitor,	a	corrente	que	flui	por	ele	é	de	I2 = (24,88 ∠ – 60,5o) [A]	e	a	
tensão	nele	é	de	–j5.I2	=	(5	∠ –90°).(24,88	∠ –60,5°)	∴	(124,4	∠ –150,5°)	[V].
	A	potência	média	absorvida	pelo	capacitor	é	de:
TÓPICO 1 — CONCEITOS DE POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, MÉDIA E REATIVA
95
Para	o	 indutor,	a	corrente	através	dele	é	de:	 İ1 – İ2	=	 (1	∠	0°)	–	 (24,88	∠ 
–60,5°)	∴ İ1 – İ2	=	(24,4	∠	117,5°)	[A].
A	tensão	nele	é	de:	j1.(İ1 – İ2)	=	j1.	(24,4	∠	117,5°)	∴ (24,4	∠ –	152,5°)	[V].
Logo,	a	potência	média	absorvida	pelo	indutor	é	de:
5 POTÊNCIA ATIVA, REATIVA E APARENTE
Um	sistema	elétrico	de	potência,	que	é	uma	das	aplicações	de	circuitos	
elétricos,	utiliza	os	conceitos	e	os	valores	de	potências	ativa,	reativa	e	aparente.	A	
potência	ativa	é	simbolizada	por	P	e	sua	unidade	é	o	watt	(W).	A	potência	ativa	é	
definida	como	P = V.I.cos(θ).
A	potência	reativa	é	denotada	por	Q	e	sua	unidade	é	o	volt-ampère	reativo	
(VAr).	Ela	é	definida	como	Q = V.I.sen(θ).
Por	fim,	 a	potência	 aparente	 é	denotada	por	 S	 e	 sua	unidade	 é	 o	volt-
ampère	(VA).	Ela	é	definida	como	S = V.I.
A	 expressão	 matemática,	 a	 seguir,	 indica	 como	 relacionar	 essas	 três	
potências: S = P + jQ.	O	módulo	da	potência	aparente	é	dado	por		 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 ,	 
ou	 ainda	 por	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 .	 A	 fase	 da	 potência	 aparente	 é	 dada	 por	 
θ = arc cos(f.p),	ou	ainda	por	cos(θ) = FP,	em	que	FP	é	o	fator	de	potência	–	o	qual	
será	estudado	no	Tópico	3	desta	unidade.
Pelo	triângulo	de	potências,	podemos	definir	as	expressões	para	cada	uma	
das	potências	descritas.	A	Figura	4	mostra	o	triângulo	de	impedâncias.
FIGURA 4 – TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS
FONTE: <https://www.flukeacademy.com.br/blog/post/32/tri%C3%A2ngulo_de_
pot%C3%AAncia_x_tetraedro_de_pot%C3%AAncia>. Acesso em: 2 fev. 2021.
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
96
6 POTÊNCIA COMPLEXA
Segundo	 Alexander	 e	 Sadiku	 (2003),	 “os	 engenheiros	 de	 sistemas	 de	
potência	criaram	o	termo	potência	complexa	para	determinar	o	efeito	total	das	
cargas	em	paralelo”.
Os	 três	 lados	 S,	 P	 e	 Q	 do	 triângulo	 de	 potências	 podem	 ser	 obtidos	
do	produto	 	 	 	 	 	 ,	 cujo	 resultado	é	um	número	complexo	chamado	de	potência 
complexa	 	 .	 Nota-se	 que	 o	 símbolo	 İ*	 representa	 o	 conjugado	 complexo	 
da	grandeza	 corrente	 elétrica.	 Sua	parte	 real	 é	 igual	 à	potência	média	P	e	 sua	
parte	imaginária	é	igual	à	potência	reativa	Q.
Lembre-se	que	a	potência	complexa	é	importante	na	análise	de	potência,	
por	 conter	 todas	 as	 informações	 pertinentes	 à	 potência	 absorvida	 por	 uma	
determinada	carga.
Seja																						e	İ = I.ej(a+ ∅),	então:
O	módulo	de	 	 	 	é	a	potência	aparente	S = V.I.	O	ângulo	de	 fase	adiantado,	 
ou	seja,	quando	a	corrente	I	está	adiantada	em	relação	à	tensão	V,	determina	uma	
potência	Q	adiantada.
De	maneira	análoga,	o	ângulo	de	fase	atrasado,	ou	seja,	quando	a	corrente	
I	está	atrasada	em	relação	à	tensão	V,	determina	uma	potência	Q	atrasada.
O	diagrama	de	potências	reativo	indutivo	pode	ser	visto	na	Figura	5.
FIGURA 5 – TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS PARA UM CIRCUITO INDUTIVO
FONTE: <http://professor.ufop.br/sites/default/files/adrielle/files/aula_9-2.pdf>. 
Acesso em: 19 nov. 2020.
TÓPICO 1 — CONCEITOS DE POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, MÉDIA E REATIVA
97
Para	uma	carga	indutiva,	a	corrente	está	atrasada	em	relação	à	tensão,	ou	
seja,	elas	não	iniciam	no	mesmo	ponto	do	gráfico,	conforme	mostra	a	Figura	6.
FIGURA 6 – GRÁFICO PARA UMA CARGA INDUTIVA
FONTE: <https://www.dmesg.com.br/wp-content/uploads/2016/12/FP_Indutivo.jpg>. 
Acesso em: 9 nov. 2020.
Já	o	diagrama	de	potências	reativo	capacitivo	é	apresentado	na	Figura	7.
FIGURA 7 – TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS PARA UM CIRCUITO CAPACITIVO
FONTE: <http://professor.ufop.br/sites/default/files/adrielle/files/aula_9-2.pdf>. 
Acesso em: 19 nov. 2020.
Para	uma	carga	capacitiva,	a	corrente	elétrica	está	antecipada	em	relação	
à	tensão,	conforme	mostra	o	gráfico	da	Figura	8.
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
98
FIGURA 8 – GRÁFICO PARA UMA CARGA CAPACITIVA
FONTE: <https://www.dmesg.com.br/wp-content/uploads/2016/12/FP_Capacitivo.jpg>. 
Acesso em: 9 nov. 2020.
O	 fator	de	potência	 é	dado	por:	FP =	 cos(θ).	 Finalmente,	para	uma	 carga	
puramente	resistiva,	a	tensão	e	a	corrente	estão	em	fase,	conforme	visto	na	Figura	9.
FIGURA 9 – TENSÃO E CORRENTE EM FASE
FONTE: <https://www.dmesg.com.br/wp-content/uploads/2016/12/FP_Resistivo.jpg>. 
Acesso em: 9 nov. 2020.
Em	 suma,	 o	 Quadro	 2	 apresenta	 as	 equações	 que	 descrevem	 as	
componentes	do	triângulo	de	potências.
TÓPICO 1 — CONCEITOS DE POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, MÉDIA E REATIVA
99
QUADRO 2 – RESUMO DAS POTÊNCIAS
FONTE: Os autores
Nº Tipo de potência Símbolo Equação principal Equações auxiliares
1 Potência média, ativa	ou	real P P = VI.cos	(θ)
P = I2.R	ou
																		ou,	ainda,
2 Potência reativa Q Q = VI.sen	(θ)
Q = I2.X	ou,
															,	ou,	ainda,
3 Potência aparente S S = VI
S = I2.Z 	ou
S = V2.Z	ou,	ainda,
4 Fator	de	potência FP FP = cos	(θ) 	ou,
“Paul Boucherot (1869-1943) foi um engenheiro francês, que contribuiu para a 
análise de circuitos elétricos, incluindo as relações entre potência ativa e aparente” (MOURA; 
MOURA; ROCHA, 2018, p. 172).
INTERESSA
NTE
É	fundamental	 ter	 isso	em	mente	sempre	que	for	analisar	um	problema	e	
construir	o	triângulo	de	potências.	O	exemplo,	a	seguir,	 ilustra,	analiticamente,	os	
conceitos	apresentados	até	aqui.
6.1 EXEMPLO PRÁTICO 1
Dado	 um	 circuito	 elétrico	 com	 uma	 impedância	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 e	 uma	 
tensão	aplicada	de																						,	determine	o	triângulo	de	potências	e	apresente	
todos	os	cálculos.
Solução:	a	corrente	elétrica,	na	forma	retangular,	é	dada	por:
Ou	na	forma	polar:
İ = 20	∠ 23,13o	[A]
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
100
A	potência	ativa	é	dada	por:
P = R .|I2|∴ P =	3	.|(20)2|∴ P =	1200	[W]
A	potência	reativa	é	dada	por:
Q = X.I2 ∴ Q =	4.(20)2 ∴ Q =	1600	[VAr] atrasada
A	potência	aparente	é	composta	por:
S = Z.I ∴ S =	20.100 ∴ S =	2000	[VA] 
A	impedância	elétrica,	na	forma	polar,	é	dada	por:
O	fator	de	potência	é	dado	por:
FP =	cos(θ)	∴ FP =	cos(53,13o)	∴ FP =	0,60 (atrasado)
O	desenho	do	diagrama	de	potências	é	mostrado	na	Figura	10.
FIGURA 10 – TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS
FONTE: Edminister (1974, p. 114)
Agora,	 iremos	 mostrar	 como	 resolver	 um	 outro	 tipo	 de	 problema	 de	
análise	de	potências	em	um	circuito	senoidal	ou	de	corrente	alternada.
6.2 EXEMPLO PRÁTICO 2
 No	circuito	da	Figura	11,	 calcule	as	potências	ativa,	 reativa	e	aparente	
fornecidas	pelos	geradores	(MOURA;	MOURA;	ROCHA,	2018).
TÓPICO 1 — CONCEITOS DE POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, MÉDIA E REATIVA
101
FIGURA 11 – CIRCUITO ELÉTRICO RLC COM FONTES DE TENSÃO SENOIDAIS
FONTE: Moura; Moura; Rocha (2018, p. 175)
Solução:	transformando	o	circuitopara	o	domínio	da	frequência,	tem-se:
A	partir	desses	cálculos,	pode-se	desenhar	o	circuito	da	Figura	12,	o	qual	
mostra	os	componentes	no	domínio	da	frequência.
FIGURA 12 – CIRCUITO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
FONTE: Moura; Moura; Rocha (2018, p. 175)
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
102
Agora,	 pode-se	 seguir	 para	 as	 equações	 de	malha	 para	 o	 circuito	 da	
Figura	12.
A	equação	da	outra	malha	é	dada	por:
0	= j2.I2 –	2.I1	+	2.I3 –	2.I4
I4 = –(–j20)	∴ I4 = j20	[A]
Substituindo	I3	na	primeira	equação,	tem-se	I1	na	forma	retangular:
I1	=	2,5	– j2,5	[A]
Já	na	forma	polar,	I1	torna-se:
Substituindo	os	valores	de	I1, I3 e I4	na	segunda	equação,	tem-se:
I2	=	22,5	– j2,5	[A]
O	cálculo	da	potência	aparente	é	expresso	por:
Com	isso,	pode-se	afirmar	que:
P = 0	[W]
Q	=	50	[VAr]
TÓPICO 1 — CONCEITOS DE POTÊNCIAS INSTANTÂNEA, MÉDIA E REATIVA
103
A	potência	S2 é dada por:
Com	isso,	pode-se	afirmar	que	as	potências	ativa	P e reativa Q	são:
P = 225	[W]
Q =	25	[VAr]
A	potência	S3 é dada por:
S = VAB.I*
S	=	2.(I3 – I4)	.	(j20)
S	=	2.(– j5 – j20)	.	(j20)
S	=	(– j10 – j40)	.	(j20)
S	=	(– j50)	.	(j20)
S	=	– j21000
Como																	,	tem-se:
Com	isso,	pode-se	afirmar	que	as	potências	ativa	P e reativa Q	são:
P =	1000	[W]
Q =	0	[VAr]
104
Neste tópico, você aprendeu que:
•	 A	potência	instantânea	é	uma	potência	medida	a	cada	instante	de	tempo.
•	 A	potência	média	é	a	média	da	potência	instantânea	em	um	período.
•	 Os	 indutores	 e	 os	 capacitores	 não	 absorvem	 potência	 média;	 apenas	 os	
resistores	absorvem	potência	média	em	um	circuito.	
•	 A	potência	complexa	é	dada	por:	S =V.I*.
•	 A	potência	aparente	é	dada	por:	S = P + jQ.	
•	 O	fator	de	potência	é	dado	por:	FP = cos(θ).
RESUMO DO TÓPICO 1
105
AUTOATIVIDADE
1	 Dado	 um	 circuito	 em	 que,	 aplicada	 a	 tensão	 de	 v = 150	 .	 sen(ωt + 10o),	
a	 corrente	 resultante	 é	de	 i = 5	 .	 sen(ωt – 50o).	Determine	o	 triângulo	de	
potências.
2	 A	 afirmação	 “a	 potência	 média	 absorvida	 por	 um	 indutor	 é	 zero”	 é	
verdadeira	ou	falsa?	Justifique.
3	 Uma	 corrente	 elétrica	 de	 I =	 10	 ∠	 30o	 [A]	 flui	 por	 uma	 impedância	 de	 
Z = 20	∠ –22o 	[Ω].	Determine	a	potência	média	transmitida	a	essa	impedância	
elétrica.
4	 Dados	 v(t) =	 120.cos(377t +	 45o)	 e	 i(t) =	 10.cos(377t –	 10o),	 determine	 a	
potência	instantânea	e	média	desse	circuito	elétrico.
5	 Calcule	a	potência	instantânea	e	a	potência	média	absorvida	por	um	circuito	
linear	passivo,	sendo	(t) =	80.cos(10t +	20o)	e	i(t) =	15.cos(1.t +	60o).	
6	 Para	uma	carga	Vrms =	110	∠	85°	[V],	Irms =	0,4	∠	15°	[A],	determine:
a)	As	potências	complexa	e	aparente.
b)	As	potências	real	e	reativa.
7	 Em	um	circuito	série	de	dois	elementos,	a	potência	é	de	940	[W]	e	o	fator	
de	potência	é	de	0,707	(adiantado).	Sendo	v = 99.sen(6000.t +	30°)	a	tensão	
aplicada,	determine	as	constantes	R	e	C	do	circuito.
8	 Um	motor	de	indução,	cuja	saída	é	de	2	h.p.,	tem	rendimento	de	η	=	85%.	
Com	 essa	 carga,	 o	 fator	 de	 potência	 é	 de	 0,8	 (atrasado).	 Determine	 as	
potências	de	entrada.	Dica:	utilize	a	expressão	matemática	para	a	potência	
quando	em	h.p.	e	quando	é	conhecido	o	valor	do	rendimento	do	motor:	 
																												.
9	 Dado	o	circuito	série,	a	seguir,	determine	o	triângulo	de	potências.
FONTE: O autor
106
10	 A	 corrente	 eficaz	 total	 no	 circuito,	 a	 seguir,	 é	 de	 30	 [A].	 Determine	 a	
impedância	equivalente	do	circuito,	as	potências	ativa,	reativa,	aparente	e	
o	fator	de	potência	desse	circuito.
FONTE: O autor
11	 No	circuito	em	paralelo,	a	seguir,	a	potência	total	é	de	1.100	W.	Determine	
a	potência	em	cada	resistor	e	a	leitura	do	amperímetro.
FONTE: O autor
12	 Calcule	 a	 potência	 média	 absorvida	 em	 cada	 um	 dos	 cinco	 elementos	
apresentados	no	circuito	a	seguir:
FONTE: O autor
107
UNIDADE 2
TÓPICO 2 — 
TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
1 INTRODUÇÃO 
Certamente,	no	Livro	Didático	de	em	Circuitos	Elétricos	I,	já	estudamos	o	
teorema	da	máxima	transferência	de	potência	para	circuitos	de	corrente	contínua.	
Nessa	disciplina,	 foi	mostrado	que,	 para	 circuitos	 resistivos,	 se	 o	 circuito	 sem	
carga	 fosse	 representado	 por	 um	 circuito	 equivalente	 de	 Thévenin,	 a	máxima	
transferência	de	potência	resultaria	na	igualdade	entre	o	valor	resistivo	da	carga	
e	a	resistência	equivalente	de	Thévenin,	ou	seja,	em	RL = RTH.
Neste	tópico,	estudaremos	como	aplicar	o	teorema	da	máxima	transferência	
de	potência	para	circuitos	de	corrente	alternada.
2 TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
O	circuito	elétrico	de	corrente	alternada	(Figura	13)	alimenta	uma	carga	
ZL	e	é	representado	por	seu	equivalente	de	Thévenin.	
FIGURA 13 – CIRCUITO UTILIZADO PARA EXEMPLIFICAR A MÁXIMA TRANSFERÊNCIA 
DE POTÊNCIA EM CA
FONTE: Alexander; Sadiku (2003, p. 315)
Nota-se	 que	 a	 carga	 é	 representada	 por	 uma	 impedância	 que	 pode	
representar	um	motor	elétrico,	uma	antena,	uma	TV,	uma	unidade	consumidora	
residencial,	uma	indústria,	uma	cidade	etc.
108
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
Na	forma	retangular,	a	impedância	de	Thévenin	ZTH	é	expressa	por:
ZTH = RTH + jXTH
Já	a	impedância	da	carga	ZL,	na	forma	retangular,	é:
ZL = RL + jXL
A	corrente	através	da	carga	é	dada	pela	razão	entre	a	tensão	de	Thévenin	
e a soma das impedâncias de Thévenin e da carga:
As	impedâncias	podem	ser	representadas	pelas	partes	reais	e	imaginárias,	
fornecendo:
A	potência	média	liberada	para	a	carga	é	dada	por:
O	objetivo	do	teorema	da	máxima	transferência	de	potência	em	circuitos	
de	corrente	alternada	é	ajustar	os	parâmetros	de	carga	RL e XL,	contanto	que	P 
tenha	valor	máximo.
Para	isso,	fizemos	as	derivadas	de	P	em	relação	a	XL e RL	 iguais	a	zero.	
Com	isso,	obtém-se:
Fazendo	com	que										seja	zero,	tem-se:
 
XL = –XTH
TÓPICO 2 — TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
109
Fazendo	com	que										seja	zero,	resulta	em:
Com	 isso,	 conclui-se	 que,	 para	 que	 ocorra	 a	 máxima	 transferência	 de	
potência média, ZL	deve	ser	escolhida	de	tal	forma	que:
XL = –XTH
E
RL = –RTH
Ou	seja,
O	 teorema	 da	 máxima	 transferência	 de	 potência	 afirma	 que	 para	 a	
máxima	transferência	de	potência	média,	a	impedância	da	carga,	ZL, deve ser 
igual	ao	conjugado	complexo	da	impedância	de	Thévenin,	ZTH, para o regime 
senoidal	estacionário.
Fazendo-se:
RL = RTH
XL = –XTH
Na	equação:
Tem-se	que:
Para	uma	carga	puramente	real,	faremos	XL = 0,	ou	seja:
Perante	essa	expressão,	concluímos	que	para	a	máxima	transferência	de	
potência	para	uma	carga	resistiva,	a	impedância	ou	resistência	de	carga	é	igual	à	
magnitude	de	impedância	de	Thévenin.
110
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
2.1 EXEMPLO PRÁTICO
Determine	 a	 impedância	 ZL	 da	 carga	 que	maximiza	 a	 potência	 média	
absorvida	no	circuito	da	Figura	14.	Qual	é	a	potência	média	máxima?
FIGURA 14 – CIRCUITO PARA ANALISAR A MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
FONTE: Os autores
Solução:	 primeiramente,	 desenharemos	 o	 circuito	 equivalente	 de	
Thévenin	nos	terminais	da	carga,	para	obter	ZTH:
Para	encontrar	o	valor	da	tensão	de	Thévenin,	aplicaremos	um	divisor	de	
tensão:
Ou,	ainda,	na	forma	polar:
VTH =	60	∠ –	25,4o	[V]
TÓPICO 2 — TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
111
A	impedância	da	carga	absorve	a	potência	máxima	do	circuito	quando:
A	potência	média	máxima	é:
A	seguir,	estudaremos	a	conservação	de	potência	em	corrente	alternada	(CA).
3 CONSERVAÇÃO DE POTÊNCIA CA
Segundo	 Alexander	 e	 Sadiku	 (2003),	 o	 princípio	 de	 conservação	 de	
potência	 aplica-se	 a	 circuitos	 de	 corrente	 contínua,	 bem	 como	 de	 corrente	
alternada.	 Para	 ilustrar	 esse	 conceito,	 utilizaremos	 a	 lei	 das	 correntes	 de	
Kirchhoff,	para	um	circuito	CA	com	duas	impedâncias	em	paralelo:
İ = İ1 + İ2
A	Figura	 15	mostra	uma	 fonte	de	 alimentação	de	 corrente	 alternada,	 a	
qual	alimenta	duas	cargas:	(a)	em	paralelo	e	(b)	em	série.
FIGURA 15 – CIRCUITOS CA EM PARALELO E EM SÉRIE
FONTE: Alexander; Sadiku(2003, p. 406)
112
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
A	potência	complexa	fornecida	pela	fonte	é	dada	por:	
Em	que:						e						são	as	potências	complexas	transmitidas	às	cargas					. 
e							,	respectivamente.
“As	potências	complexa,	real	e	reativa	das	fontes	são	iguais	às	respectivas	
somas	das	potências	complexa,	real	e	reativa	das	cargas	individuais.	Isso	não	é	
verdade	apenas	para	a	potência	aparente”	(HAYT;	KEMMERLY,	1971,	p.	72).
Se	as	cargas	estiverem	associadas	em	série	com	a	fonte	de	tensão,	a	lei	de	
Kirchhoff	das	tensões	resulta	em:
A	potência	complexa	fornecida	pela	fonte	é:
Em	que:						e						são	as	potências	complexas	transmitidas	às	cargas					. 
e							,	respectivamente.
Concluímos	 que	 independentemente	 da	 associação	 de	 impedâncias,	 a	
potência	total	fornecida	pela	fonte	é	igual	à	potência	total	transmitida	à	carga.
TÓPICO 2 — TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
113
3.1 EXEMPLO PRÁTICO
O	circuito	elétrico	da	Figura	16	mostra	uma	carga	alimentada	por	uma	
fonte	 de	 tensão	 de	 uma	 linha	 de	 transmissão.	 A	 linha	 é	 representada	 pela	
impedância de Z = (2	+ j4)	[Ω]	e	pelo	caminho	de	retorno.	Determine	a	potência	
real	e	a	potência	reativa	absorvida	por:
a)	fonte;
b)	linha;
c)	carga.
FIGURA 16 – CIRCUITO ELÉTRICO PARA ANÁLISE DE POTÊNCIAS REAL E REATIVA
FONTE: Os autores
Solução:	a	impedância	elétrica	total	do	circuito	é	dada	por:
Z =	(2	+ j4)	+	(10	– j10)
Z = 12 – j6	[Ω]
Já	a	impedância	na	forma	fasorial	é	dada	por:
A	corrente	que	flui	pelo	circuito	é	determinada	pela	lei	de	Ohm:
a)	Para	a	fonte,	a	potência	complexa	é	dada	por:
114
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
Com	 isso,	 a	 potência	 real	 é	 P =	 3226,56	 [W]	 e	 a	 potência	 reativa	 é 
Q = 1613,63	[VAr]	(adiantado).
b)	Para	a	linha,	a	tensão	é	dada	por:
A	potência	complexa	absorvida	pela	linha	é	de:
Na	forma	quadrada,	tem-se:	
Com	 isso,	a	potência	 real	é	o	primeiro	 termo	da	expressão	anterior	e	a	
potência	reativa	é	o	segundo	termo	(atrasado).	
c)	Para	a	carga,	a	tensão	é	de:
A	potência	complexa	absorvida	pela	carga	é	de:
Ou	na	forma	fasorial:
A	potência	 real	 é	 2688,61e	 a	potência	 reativa	 é	 j2688,61	 com	FP	 adiantado.	
Observa-se	que																								conforme	esperado.	Foram	utilizados	os	valores	 
rms	de	tensão	e	de	corrente.
TÓPICO 2 — TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
115
4 INSTRUMENTOS E MÉTODOS PARA MEDIÇÃO DE 
POTÊNCIA
O	wattímetro	é	o	 instrumento	que	mede	a	potência	média	e	 também	é	
conhecido	como	medidor	de	energia.	Ele	é	um	instrumento	que	realiza	a	medição	
de	 potência	 elétrica	 fornecida	 ou	 absorvida	 por	 um	 elemento	 em	 um	 circuito	
elétrico.	Essa	medição	ocorre,	simultaneamente,	pelos	valores	de	tensão	e	corrente,	
e	 os	multiplica	 para	 obter	 a	 potência	 em	watts.	Há	 três	 tipos	 de	wattímetros:	
eletrodinâmico,	eletrônico	e	digital.
A	Figura	17	mostra	um	exemplo	de	wattímetro	analógico	e	um	medidor	
de	energia	digital,	que	não	deixa	de	ser	um	wattímetro.
FIGURA 17 – WATTÍMETRO ANALÓGICO E MEDIDOR DE ENERGIA DIGITAL
FONTE: <http://twixar.me/4Xzm>; <http://twixar.me/lXzm>. Acesso em: 2 fev. 2021.
A	forma	de	medição	de	potência	em	uma	rede	elétrica	também	é	realizada	
por	wattímetro,	que	contém	uma	bobina	de	corrente	de	baixa	impedância,	sendo	
zero	a	 impedância	 ideal.	Essa	bobina	é	conectada	em	série	com	a	carga	e	uma	
bobina	de	tensão	de	alta	 impedância,	cuja	impedância	ideal	é	 infinita,	a	qual	é	
conectada	em	paralelo	com	a	carga.
Se	 a	 tensão	 e	 a	 corrente	 são	 periódicas	 e	 o	 wattímetro	 está	 conectado	
(Figura	18),	ele	medirá	a	seguinte	potência:
Em	que:	v(t) e i(t)	são	definidos	e	mostrados	na	Figura	18.
116
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
FIGURA 18 – CONEXÃO DO WATTÍMETRO PARA MEDIÇÃO DE POTÊNCIA NO 
DOMÍNIO DO TEMPO
FONTE: Irwin (2000, p. 453)
Foi	convencionado	que	 i(t)	entra	no	 terminal	±	da	bobina	de	corrente	e	
v(t)	é	positivo	no	terminal	±	da	bobina	de	tensão.	No	domínio	da	frequência,	o	
circuito	equivalente	é	mostrado	na	Figura	19,	na	qual	a	corrente	e	a	tensão	são	
referidas	como	as	mesmas	no	domínio	do	tempo	e	a	leitura	do	wattímetro	será	de:
Se	v(t) e i(t)	ou						e	İ	são	devidamente	escolhidos,	a	leitura	será	a	potência	
média.	 Nas	 Figuras	 18	 e	 19,	 as	 conexões	 produzirão	 uma	 leitura	 de	 potência	
fornecida	a	carga.	Uma	vez	que	as	duas	boninas	estão	completamente	isoladas	
uma	 da	 outra,	 elas	 poderiam	 ser	 conectadas	 em	 qualquer	 lugar	 do	 circuito,	
resultando	em	uma	leitura	que	poderia	não	ter	um	significado	lógico.
Se	 uma	 das	 bobinas	 do	 wattímetro	 estiver	 invertida,	 as	 equações	 para	 a	
potência	 terão	 o	 sinal	 trocado	 em	 relação	 àquelas	 que	 eram	 antes	 da	 inversão,	
devido	 à	mudança	na	variável	de	 referência	 relacionada	 ao	 terminal	 ±.	Devido	 à	 
construção	física	de	wattímetros,	o	terminal	±	da	bobina	de	potencial	deveria	sempre	
ser	conectado	à	mesma	linha	que	a	bobina	de	corrente.	Se	for	necessário	inverter	um	
enrolamento,	uma	das	bobinas	deverá	ser	invertida	(IRWIN,	2000,	p.	453).
TÓPICO 2 — TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
117
FIGURA 19 – CONEXÃO DO WATTÍMETRO PARA MEDIÇÃO DE POTÊNCIA NO 
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
FONTE: Irwin (2000, p. 453)
4.1 EXEMPLO PRÁTICO
Dada	a	rede	mostrada	na	Figura	20,	determine	a	leitura	do	wattímetro.
FIGURA 20 – CIRCUITO PARA LEITURA DE POTÊNCIA MÉDIA NO WATTÍMETRO
FONTE: Irwin (2000, p. 454)
Solução:	utilizando	o	teorema	de	Thévenin	ou	qualquer	outra	técnica	de	
análise	de	circuitos	elétricos,	pode-se	mostrar	que:
Com	isso,	a	leitura	do	wattímetro	será	de:
A	potência	média	fornecida	à	impedância	elétrica	é	de	Z =	(2	+ j4)	[Ω].
118
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
•	 Para	 ocorrer	 a	máxima	 transferência	 de	 potência	 em	um	 circuito	 elétrico,	 o	
teorema	da	máxima	transferência	de	potência	diz	que	a	impedância	na	carga	
deve	ser	igual	à	impedância	de	Thévenin,	ou	seja,																										.
•	 A	expressão	matemática	para	cálculo	da	potência	em	um	circuito	em	que	ocorre	 
a	máxima	transferência	de	potência	é:																											.
•	 A	 conservação	 de	 potência	 CA	 ocorre	 em	 circuitos	 elétricos	 senoidais,	 pois	
todas	as	potências	fornecidas	ou	absorvidas	pelas	fontes	de	corrente	e	de	tensão	
e	as	potências	nos	elementos	passivos	(R,	L	ou	C),	quando	somadas,	devem	ser	
iguais	a	zero.	Se	 isso	ocorrer,	é	a	prova	real	de	que	houve	a	conservação	de	
potência	em	corrente	alternada.
•	 Todas	as	formas	de	potência	CA	são	conservadas:	instantânea,	real,	reativa	e	
complexa.
•	 O	wattímetro	é	o	instrumento	que	mede	a	potência	média	em	equipamentos	e	
máquinas	elétricas.
119
1	 Qual	é	o	instrumento	utilizado	para	a	medição	de	potência	média?	Como	
ele	funciona	e	quais	são	os	seus	principais	tipos?
2	 Explique	com	suas	palavras	o	que	é	e	como	funciona	o	teorema	da	máxima	
transferência	de	potência	em	circuitos	de	corrente	alternada.
3	 No	circuito	a	seguir,	o	resistor	de	60	Ω	absorve	uma	potência	média	de	240	
W.	Determine	V	e	a	potência	complexa	de	cada	ramo	do	circuito,	bem	como	
a	potência	complexa	total	do	circuito,	supondo	que	a	corrente	do	resistor	de	
60	Ω	não	apresenta	deslocamento	de	fase.
FONTE: Alexander; Sadiku (2003, p. 410)
4	 No	circuito	a	seguir,	Z1	=	60∠	–	30°	[Ω]	e	Z2	=	40	∠	45°	[Ω].	Calcule	os	valores	
totais de: 
FONTE: Alexander; Sadiku (2003, p. 410)
a)	Potência	aparente.	
b)	Potência	real.	
c)	Potência	reativa.
d)	FP	fornecido	pela	fonte	e	visto	pela	fonte.
AUTOATIVIDADE
120
5	 Para	o	circuito	mostrado	a	seguir,	determine	a	impedância	ZL da	carga	que	
absorve	a	potência	média	máxima	e	calcule	essa	potência.
FONTE: Alexander; Sadiku (2003, p. 399)
6	 No	circuito	a	seguir,	determine	o	valor	de	RL, que	irá	absorver	a	potência	
média	máxima.	Calcule	essa	potência.
FONTE: Alexander; Sadiku (2003, p. 400)
7	 No	circuito	a	seguir,	o	resistor	RL é	ajustado	até	absorver	a	potência	média	
máxima.	Calcule	RL e	a	potência	média	máxima	absorvida	por	ele.FONTE: Alexander; Sadiku (2003, p. 400)
121
8	 A	impedância	de	Thévenin	de	um	circuito,	vista	dos	terminais	da	carga,	é	
ZTH	=	(80	+	j 55)	[Ω].	Para	a	máxima	transferência	de	potência,	a	impedância	
da carga deve ser:
a)	(			)	(–	80	+	j	55)	[Ω].
b)	(			)	(–	80	–	j	55)	[Ω].
c)	 (			)	(80	–	j 55)	[Ω].
d)	(			)	(80	+	j 55)	[Ω].
9	 A	 grandeza	 que	 contém	 todas	 as	 informações	 sobre	 a	 potência	 em	uma	
determinada carga é:
a)	(			)	O	fator	de	potência.
b)	(			)	A	potência	aparente.
c)	 (			)	A	potência	média.
d)	(			)	A	potência	reativa.
e)	 (			)	A	potência	complexa.
10	 Dado	o	circuito	mostrado	a	seguir,	encontre	o	valor	de	ZL	para	que	haja	
uma	máxima	transferência	de	potência	média.	Determine,	também,	o	valor	
da	potência	média	máxima	transferida	para	a	carga.
FONTE: Irwin (2000, p. 438)
11	 Para	o	circuito	mostrado	a	seguir,	encontre	o	valor	de	ZL	para	que	haja	uma	
máxima	transferência	de	potência	média.	Determine,	também,	o	valor	da	
potência	média	máxima	fornecido	à	carga.
FONTE: Irwin (2000, p. 439)
x
x
j4	Ω
–j2	Ω
122
12	 Dada	a	rede	a	seguir,	determine	ZL	para	que	haja	uma	máxima	transferência	
de	potência	média	total	transferida	para	a	carga.
FONTE: Irwin (2000, p. 440)
13	 Determine	 ZL	 para	 uma	 transferência máxima	 de	 potência	 média	 e	 a	
potência	média	máxima	transferida	para	a	carga	na	rede	a	seguir:
FONTE: Irwin (2000, p. 440)
123
UNIDADE 2
TÓPICO 3 — 
FATOR DE POTÊNCIA E SUA CORREÇÃO
1 INTRODUÇÃO
O	 problema	 relacionado	 ao	 fator	 de	 potência	 é	 antigo.	 Muitos	
equipamentos,	como	motores,	transformadores	e	fornos	a	arco	voltaico,	utilizam,	
para	o	seu	correto	funcionamento,	determinadas	quantidades	de	energia	reativa	
(capacitiva	 ou	 indutiva),	 provindas	 de	 fontes	 ligadas	 ao	 sistema	 elétrico	 de	
energia.	 Como	 fontes,	 podemos	 citar	 os	 capacitores,	 os	 geradores,	 os	motores	
síncronos,	as	próprias	linhas	de	transmissão	de	energia	elétrica	da	concessionária	
da	região	etc.
Os	 capacitores	 e	 os	 motores	 síncronos	 têm	 fator	 de	 potência	 reativo	
capacitivo,	enquanto	transformadores,	fornos	a	arco,	motores	de	indução,	reatores	
e	bobinas	em	geral	apresentam	fator	de	potência	reativo	indutivo.
Para evitar o transporte de energia reativa de terminais distantes da carga 
consumidora,	instalam-se,	próximo	aos	terminais,	as	fontes	de	energia	reativa,	ou	
seja,	os	bancos	de	capacitores.	Com	isso,	as	perdas	na	transmissão	são	reduzidas.
Geralmente,	 o	 maquinário	 utilizado	 pelas	 indústrias	 consome	 energia	
reativa	indutiva,	que	é	uma	carga	formada	por	“n”	resistores	em	série	com	“n”	
indutores,	os	quais	podem	ser	associados	e	representados	por	uma	única	carga	
indutiva,	composta	por	um	resistor	equivalente	e	um	indutor	equivalente.
A	 energia	 reativa	 indutiva	 consumida	 pelos	 equipamentos	 industriais	
não	produz	nenhum	trabalho	útil,	sendo	responsável	apenas	pela	formação	do	
campo	magnético,	 que	 faz	 com	 que	 as	máquinas	 funcionem.	Quando	 a	 fonte	
geradora	de	energia	indutiva	se	encontra	longe	da	planta	industrial,	ocorrem	as	
perdas	Joule	de	valor	elevado	nas	linhas	de	transmissão	e	distribuição	de	energia	
elétrica.	Para	evitar	esse	 tipo	de	situação,	estudaremos	o	 fator	de	potência	das	
máquinas	 e	 os	métodos	para	 realizar	 a	 sua	 correção,	 a	fim	de	 evitar	 perdas	 e	
danos	em	equipamentos.
Assim,	 neste	 tópico,	 estudaremos	 o	 cálculo	 do	 fator	 de	 potência	 em	
circuitos	elétricos,	com	aplicações	em	equipamentos	industriais	e	no	setor	elétrico	
de	potência.	
124
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
2 FATOR DE POTÊNCIA
O	fator	de	potência,	também	conhecido	por	FP,	é	por	definição:
f.p. =	cos(θ)
Em	que:	θ	é	o	ângulo	de	defasagem	entre	tensão	e	corrente	elétricas	que	
fluem	no	circuito	ou,	ainda,	na	carga	em	questão.	Essa	carga	pode	ser	um	motor	
ou	um	transformador,	ou,	no	caso	do	setor	elétrico	de	potência,	pode	ser	uma	
residência,	uma	indústria,	bem	como	uma	cidade	inteira	de	consumidores.
A	 partir	 desse	 ponto	 de	 estudo,	 deduziremos	 a	 equação	 do	 fator	 de	
potência,	explicando	alguns	aspectos	relacionados	ao	cálculo	do	FP.
A	tensão	em	circuito	elétrico	de	CA	(Figura	21)	é	dada	por:
v(t) = Vm.cos(ωt + θv)
FIGURA 21 – CIRCUITO ELÉTRICO RLC SÉRIE EM CA PARA ANÁLISE DO FP
FONTE: <http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/alterna1/alterna5.gif>. 
Acesso em: 2 fev. 2021.
A	corrente	elétrica	nesse	circuito	é	determinada	pela	seguinte	expressão:
i(t) = Im.cos(ωt + θi)
Na	forma	fasorial,	podemos	representar	a	potência	média	como:
Anteriormente,	aprendemos	que																					e																			;	portanto:
P = Vrms.Irms.cos(θv – θi)
TÓPICO 3 — FATOR DE POTÊNCIA E SUA CORREÇÃO
125
Vimos	também	que:	S = Vrms.Irms.	Essa	equação	é	conhecida	como	a	equação	
para	a	determinação	da	potência	aparente	(S)	e	sua	unidade	é	o	VA.
Portanto:
P = S.cos(θv – θi)
Assim,	podemos	 concluir	 que	 a	potência	média	P	 é	 o	produto	de	dois	
termos,	ou	seja,	S	é	a	potência	aparente	e	cos(θv – θi)	é	o	fator	de	potência.	O	FP	é	
adimensional.
O	fator	de	potência	também	pode	ser	definido	como	a	razão	da	potência	
real	ou	média	pela	potência	aparente,	conforme	mostra	a	equação	seguinte:
O	 fator	de	potência	é	o	cosseno	da	diferença	de	 fase	entre	a	 tensão	e	a	
corrente.	Ele	também	é	denominado	ângulo	de	impedância	de	carga.
2.1 EXEMPLO PRÁTICO 1
Uma	carga	ligada	em	série	drena	uma	corrente	 i(t) = 2 cos(100t + 10o)	A 
quando	 a	 tensão	 aplicada	 é	 v(t) = 100	 cos(100t – 20o)	V.	 Determine	 a	 potência	
aparente	e	o	fator	de	potência	da	carga.	Estabeleça	os	valores	dos	elementos	que	
formam	a	carga	conectada	em	série.
Solução: a potência aparente é dada por:
O	fator	de	potência	é	dado	por:
Sabemos	 que	 o	 FP	 está	 adiantado,	 pois	 a	 corrente	 está	 adiantada	 em	
relação	à	tensão,	uma	vez	que	o	ângulo	de	10	graus	da	corrente	é	positivo	e	o	
ângulo	de	20	graus	da	tensão	é	negativo.
126
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
Nota-se	 que,	 devido	 à	 definição	 alternativa	 do	 fator	 de	 potência	 como	
o	 ângulo	 de	 impedância	 da	 carga,	 ele	 também	 pode	 ser	 obtido	 pelo	 fasor	 de	
impedância	elétrica,	ou	seja:
Na	forma	retangular,	tem-se:
Com	isso,	concluímos	que	a	impedância	de	carga	Z	pode	ser	modelada	
por	um	resistor	de	43,30	[Ω],	em	série,	com	um	capacitor	de:
 
Ou	ainda:
C =	0,4	x	10–3	[F]
Sabemos	que	é	um	capacitor	e	que	devemos	calcular	a	reatância	capacitiva	
porque	o	valor	do	FP	é	positivo.
2.2 EXEMPLO PRÁTICO 2
Uma	carga	industrial	consome	99	kW	com	um	fator	de	potência	de	0,707	
(atrasado)	de	uma	linha	rms	de	330	V.	A	resistência	na	linha	de	transmissão	do	
transformador	de	potência	da	companhia	para	a	planta	é	de	0,08	[Ω].	Determine	
a	potência	que	deve	ser	fornecida	pela	companhia	de	energia	sob	tais	condições	e	
se	o	FP	é	de	algum	modo	modificado	para	0,90	(atrasado).
Solução:	 a	magnitude	da	corrente	elétrica	eficaz	 (Irms)	na	planta	é	dada	
pela	expressão:
A	potência	 que	 será	 fornecida	 pela	 companhia	 de	 energia	 é	 dada	pela	
expressão	matemática:
PS = PL + RL.T..(Irms)2
PS = 99000	+ 0,08.(414,33)2
PS = 112733,55 [W]	ou PS = 112,73355	[kW]
TÓPICO 3 — FATOR DE POTÊNCIA E SUA CORREÇÃO
127
Agora,	com	FP	=	0,90,	tem-se:
Sob	essas	condições,	a	companhia	de	energia	elétrica	deverá	gerar	uma	
potência	elétrica	de:
PS = PL + RL.T..(Irms)2
PS = 99000	+ (0,08).(333,33)2
PS = 107888,71 [W] 
Ou	ainda:
PS = 107,88871 [kW] 
Com	 isso,	 conclui-se	que	uma	pequena	modificação	no	FP	da	carga	de	
0,707	para	0,90	atrasado,	produz	um	efeito	interessante.	Esse	exemplo	mostra	o	
impacto	econômico	do	fator	de	potência	da	carga.
Um	 fator	 de	 potência	 baixo	 na	 carga	 significa	 que	 geradores	 e	 linhas	
devem	ser	capazes	de	conduzir	mais	corrente	a	uma	dada	tensão	e	também	para	
compensar	perdas											na	linha,	o	que	seria	necessário	se	o	FP	da	carga	fosse	
mais	alto	(IRWIN,	2000).	
As	 perdas	 na	 linha	 de	 transmissão	 representam	 energia	 dissipada	 em	
forma	de	calor	e	não	beneficiam	ninguém.	Aseguir,	aprenderemos	uma	técnica	
simples	e	econômica	para	a	correção	do	FP.	
3 CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
Plantas	 industriais	que	necessitam	de	grandes	quantidades	de	potência	
têm	 uma	 ampla	 variedade	 de	 cargas.	 Geralmente,	 as	 cargas	 têm	 um	 fator	
de	potência	 em	 atraso.	Uma	vez	 que	uma	 carga	 típica	pode	 ser	 um	banco	de	
motores	de	indução	ou	qualquer	outro	equipamento	de	alto	valor,	a	técnica	para	
determinar	o	FP	deve	ser	econômica	para	ser	viável.
Para	deduzir	as	equações	para	correção	do	fator	de	potência	em	instalações	
industriais,	consideraremos	o	circuito	mostrado	na	Figura	22,	que	representa	uma	
carga	industrial.
128
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
FIGURA 22 – CIRCUITO PARA CORREÇÃO DE FP
FONTE: <https://www.respondeai.com.br/conteudo/eletrica/circuitos-ca-monofasicos/
correcao-do-fator-de-potencia/2016>. Acesso em: 2 fev. 2021.
Nota-se	 que,	 em	 paralelo	 com	 a	 carga	 industrial,	 há	 um	 capacitor.	 
A	potência	complexa	original	para	a	carga						,	que	denotaremos	como	Santigo , é 
dada	pela	expressão	matemática:
Santigo = Pantigo + jQantigo
Santigo = |Santigo |∠ θantigo
A	nova	potência	complexa	que	resulta	da	adição	do	capacitor	é	dada	pela	
seguinte	expressão:
Snovo = Pantigo + jQnovo
Snovo = |Snovo |∠ θnovo 
Em	que:	o	ângulo	θnovo	é	especificado	pelo	FP	exigido.	A	diferença	entre	as	
potências	complexas	antiga	e	nova	é	resultado	da	adição	do	capacitor	no	circuito,	
por isso:
Scap = Snovo – Santigo
Uma	vez	que	o	capacitor	é	um	elemento	de	circuito	puramente	reativo,	
tem-se	como	expressão	para	a	potência	aparente	capacitiva:
A	 Figura	 23	 mostra	 um	 diagrama	 fasorial	 do	 método	 descrito	 para	 a	
correção	do	fator	de	potência	em	uma	indústria.
TÓPICO 3 — FATOR DE POTÊNCIA E SUA CORREÇÃO
129
FIGURA 23 – TÉCNICA PARA CORREÇÃO DO FP
FONTE: Irwin (2000, p. 451)
3.1 EXEMPLO PRÁTICO 
Uma	carga	 industrial,	 consistindo	em	um	banco	de	motores	de	 indução,	
consome	50	kW	com	um	FP	de	0,8	em	atraso	de	uma	linha	de	220	∠0°	Vrms,	em	60	
Hz.	Para	aumentar	o	FP	para	0,95	em	atraso,	coloca-se	um	banco	de	capacitores	
em	paralelo	com	a	carga.	O	diagrama	desse	circuito	é	mostrado	na	Figura	24.
FIGURA 24 – CIRCUITO PARA CORREÇÃO DO FP
FONTE: Irwin (2000, p. 452)
Solução: a potência na carga é de PL =	 50000[W]	 e	 o	 seu	 ângulo	 é	 de	 
θ = arc	cos(0,8)	∴ θ =	36,87o.	Portanto,	obtém-se:
Q = P.tan(θ) ∴ Q = 50000.tan(36,87o) ∴ Q = 37500 VAr
Com	isso,	tem-se	ainda:
S = P + jQ ∴ S =	50	+ j37,5	[kVA]
130
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
Uma	vez	que	o	FP	exigido	pela	concessionária	de	energia	é	de	0,95,	o	novo	
ângulo	da	potência	de	carga	é	dado	por:
θ = arc	cos(0,95)	∴ θ = 18,19o 
Portanto,	tem-se:
Q = P.tan(θ) ∴ Q = 50000.tan(18,19o)	∴ Q = 16429,5 VAr
Com	isso,	tem-se	ainda:
S = P + jQ ∴ S = 50	+ j16,43 [kVA]
Portanto:
Scap = Snovo – Santigo
Scap = (50 + j37,5) – (50 + j16,43)
Scap = (50 – 50) + (j37,5	– j16,43) 
Scap = 0	+ (j37,5	– j16,43) 
Scap = j21,07	[kVA]
Desse	modo,	foi	possível	encontrar	o	valor	do	capacitor	para	corrigir	o	FP:
Conclui-se	que	o	valor	do	capacitor	é	de,	aproximadamente,	C	=	1155	[µF].
TÓPICO 3 — FATOR DE POTÊNCIA E SUA CORREÇÃO
131
LEITURA COMPLEMENTAR
CUSTO DO CONSUMO DE ENERGIA ELÉTRICA
Charles	Alexander
Matthew	Sadiku
Veremos,	agora,	a	importância	do	fator	de	potência	no	custo	do	consumo	
de	eletricidade.	Cargas	com	fatores	de	potência	baixos	custam	caro	para	manter,	
porque	exigem	correntes	elevadas.	A	situação	ideal	seria	consumir	uma	corrente	
mínima	de	uma	 fonte	de	modo	que	S = P, Q =	 0	 e	 FP	 =	 1.	Uma	 carga	 com	Q 
diferente	de	zero	 significa	que	a	energia	flui	nos	dois	 sentidos	entre	a	 carga	e	
a	 fonte,	gerando	novas	perdas	de	potência.	Em	razão	disso,	as	concessionárias	
de	 energia	 elétrica	 normalmente	 encorajam	 seus	 clientes	 a	 terem	 fatores	 de	
potência	o	mais	próximo	possível	da	unidade	e	penalizam	alguns	clientes	que	
não	aumentam	seus	fatores	de	potência	de	carga.
Concessionárias	de	energia	elétrica	dividem	seus	clientes	em	categorias	
como	 residenciais	 (domésticos),	 comerciais	 e	 industriais,	 ou	 baixa,	 média	 e	
alta	 potências,	 porque	 possuem	 estruturas	 de	 tarifação	 diferentes	 para	 cada	
categoria.	 A	 quantidade	 de	 energia	 consumida	 em	 unidades	 de	 kilowatt-
hora	 (kWh)	 é	 medida	 usando	 um	 medidor	 de	 kilowatt-hora	 instalado	 nas	
dependências	do	cliente.
Embora	 as	 concessionárias	 de	 energia	 elétrica	 usem	métodos	 diversos	
para	cobrar	a	energia	elétrica	consumida,	a	tarifa	ou	o	preço	para	um	consumidor	
geralmente	 é	 composto	 por	 duas	 partes.	 A	 primeira	 é	 fixa	 e	 corresponde	 ao	
custo	 de	 geração,	 transmissão	 e	 distribuição	 de	 eletricidade	 para	 atender	 às	
necessidades	 de	 carga	 dos	 consumidores.	 Essa	 parte	 da	 tarifa	 geralmente	 é	
expressa	 como	 certo	 preço	 por	 kW	 de	 demanda	 máxima,	 ou	 pode	 se	 basear	
em	kVA	de	demanda	máxima,	para	levar	em	conta	o	fator	de	potência	(FP)	do	
consumidor.	Uma	multa	do	FP	pode	ser	imposta	sobre	o	consumidor,	segundo	a	
qual	determinada	porcentagem	da	demanda	máxima	em	kW	ou	kVA	é	alterada	
a	cada	0,01	de	queda	no	FP	abaixo	de	um	valor	predeterminado,	como	0,85	ou	
0,9.	Por	outro	lado,	poderia	ser	dado	um	crédito	de	FP	para	cada	0,01	que	o	FP	
exceder	o	valor	predeterminado.
A	segunda	parte	é	proporcional	à	energia	consumida	em	kWh;	pois	pode	
estar	na	 forma	gradual,	por	exemplo,	os	primeiros	100	kWh	a	um	custo	de	16	
centavos/kWh,	os	próximos	200	kWh	a	um	custo	de	10	centavos/kWh	e	assim	por	
diante.	Portanto,	a	conta	é	estabelecida	de	acordo	com	a	equação	a	seguir:
Custo	Total	=	Custo	Fixo	+	Custo	da	Energia
132
UNIDADE 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
Exemplo numérico: uma	indústria	consome	200	MWh	em	um	mês.	Se	a	
demanda	máxima	for	1.600	kWh,	calcule	a	conta	de	eletricidade	tomando	como	
base	a	seguinte	tarifa	de	duas	partes:
•	 Tarifa	por	demanda:	US$	5,00	por	mês	por	kW	de	demanda	cobrável.
•	 Tarifa	de	energia:	8	centavos	por	kWh	para	os	primeiros	50.000	kWh,	5	centavos	
por	kWh	para	o	restante	da	energia	consumida.
Solução: a	tarifa	de	demanda	é	US$	5,00	×	1.600	=	US$	8.000.	
A	tarifa	de	consumo	de	energia	para	os	primeiros	50.000	kWh	é:	
US$	0,08	×	50.000	=	US$	4.000
O	restante	da	energia	consumida	é	200.000	[kWh]	−	50.000	[kWh]	=	150.000	
[kWh],	e	a	tarifa	de	consumo	de	energia	correspondente	é	US$	0,05	×	150.000	=	
US$	7.500.
Somando	os	resultados	das	equações,	obtemos:
Conta	mensal	total	=	US$	8.000	+	US$	4.000	+	US$	7.500	=	US$	19.500.
Pode	 parecer	 que	 o	 custo	 da	 eletricidade	 é	 muito	 alto.	 Entretanto,	
normalmente,	 isso	 é	 apenas	 uma	 fração	 do	 custo	 total	 de	 produção	 de	 bens	
manufaturados	ou	do	preço	de	venda	do	produto	final.	
FONTE: Adaptado de ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Análise de potência em CA. In: 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: 
Bookman; 2003. p. 385-386. Disponível em: https://www.academia.edu/39796440/Ana_lise_
de_Circuitos_Ele_tricos_com_Aplicac_o_es_Sadiko_1_. Acesso em: 4 fev. 2021.
133
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
•	 A	potência	aparente	pode	ser	definida	como		S = Vrms.Irms.
•	 O	 fator	de	potência	 é	definido	 como	o	 cosseno	da	diferença	de	 fase	 entre	 os	
ângulos	da	 tensão	e	da	corrente.	Também	pode	ser	alternativamente	definido	
como	o	ângulo	da	impedância	de	carga.	Ainda,	o	FP	pode	ser	conceituado	como	
a	razão	entre	a	potência	real	dissipada	na	carga	e	a	potência	aparente	na	carga.
•	 Geralmente,	 para	 corrigir	 o	 fator	 de	 potência,	 utilizamos	 um	 banco	 de	
capacitores.
•	 O	fator	de	potência	é	dito	estar	em	avanço	quando	a	corrente	precede	a	tensão	
(circuitos	capacitivos).
•	 O	fator	de	potência	é	dito	estar	em	atraso	quando	a	corrente	sucede	a	tensão	
(circuitos	indutivos).
•	 O	fator	de	potência	atrasado	de	uma	carga	pode	ser	corrigido	colocando-se	um	
capacitor	em	paralelo	com	a	carga.
Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagempensando em facilitar sua compreensão. Acesse o QR Code, que levará ao 
AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
CHAMADA
134
1	 O	que	é	o	fator	de	potência	e	como	é	calculado?
2	 Como	se	corrige	o	fator	de	potência	em	uma	máquina	elétrica?
3	 O	que	são	bancos	capacitivos?
4	 Uma	carga	de	300	kW	alimentada	por	13	kVrms	opera	520	horas	por	mês,	
com	um	fator	de	potência	de	80%.	Calcule	o	custo	médio	mensal	tomando	
como	base	a	seguinte	tarifa	simplificada:	tarifa	de	consumo	de	energia:	6	
centavos	por	kWh;	multa	por	fator	de	potência:	0,1%	da	tarifa	de	consumo	
de	energia	para	cada	0,01	que	o	FP	cair	abaixo	de	0,85;	e	crédito	por	fator	
de	potência:	0,1%	da	tarifa	de	consumo	de	energia	para	cada	0,01	que	o	FP	
exceder	a	0,85.
5	 Um	forno	de	indução	800	kW	com	fator	de	potência	0,88	opera	20	horas	por	
dia,	durante	26	dias	de	um	mês.	Determine	a	conta	mensal	de	eletricidade	
tomando	como	base	a	tarifa	da	questão	anterior.
6	 A	leitura	mensal	do	medidor	de	uma	fábrica	de	papel	é	a	seguinte:	demanda	
máxima	=	32.000	kW;	energia	consumida	=	500	MWh.	Usando	a	tarifa	de	
duas	partes	do	exemplo	numérico	apresentado	na	Leitura	Complementar,	
calcule	a	conta	mensal	dessa	fábrica	de	papel.
7	 Obtenha	o	fator	de	potência	e	a	potência	aparente	(S)	de	uma	carga	cuja	
impedância	é	de	Z	=	60	+	j40	[Ω],	quando	a	tensão	aplicada	for	v(t)	=	320	cos	
(377t +	100°)	[V].
8	 Dada	uma	carga	Vrms =	110	∠	85o	[V],	Irms = 0,4	∠	15o	[A],	determine	o	fator	de	
potência	e	a	impedância	de	carga.
9	 Determine	o	valor	da	capacitância	em	paralelo	necessária	para	corrigir	uma	
carga	de	140	kVAr	com	FP	de	0,85	(atrasado)	para	um	FP	unitário.	Suponha	
que	a	carga	seja	alimentada	por	uma	linha	de	110	Vrms,	em	60	Hz.
10	Uma	carga	industrial	consome	100	kW	com	um	FP	=	0,707	(atrasado).	A	
tensão	de	linha	de	60	Hz	na	carga	é	de	480	∠	0°	Vrms.	A	resistência	da	linha	
de	 transmissão	 entre	 o	 transformador	 da	 concessionária	 de	 energia	 e	 a	
carga	é	de	0,1	Ω.	Determine	a	economia	de	potência	que	poderia	ser	obtida	
caso	o	FP	fosse	modificado	para	0,94	(atrasado).
AUTOATIVIDADE
135
11	Uma	 carga	 industrial	 consome	88	kW	com	um	FP	 =	 0,707	 (atrasado).	A	
tensão	de	linha	de	60	Hz	na	carga	é	de	480	∠	0°	Vrms.	A	resistência	da	linha	de	
transmissão	entre	o	transformador	da	concessionária	de	energia	e	a	carga	
é	de	0,08	Ω,	conforme	mostra	o	circuito	a	seguir.	Determine	a	potência	que	
deve	ser	fornecida	pela	companhia	de	energia	elétrica.	Além	disso,	calcule	
o	FP	caso	fosse	modificado	para	0,90	(atrasado).
FONTE: Irwin (2000, p. 445)
12	Calcule	o	valor	do	capacitor	necessário	para	modificar	o	fator	de	potência	
do	último	exemplo	prático	para	FP	=	0,95	em	atraso.
136
137
REFERÊNCIAS
ALEXANDER,	C.	K.;	SADIKU,	M.	N.	O.	Análise	de	potência	em	CA.	In: 
ALEXANDER,	C.	K.;	SADIKU,	M.	N.	O.	Fundamentos de circuitos elétricos.	
Porto	Alegre:	Bookman;	2003.	p.	385-386.	Disponível	em:	https://www.academia.
edu/39796440/Ana_lise_de_Circuitos_Ele_tricos_com_Aplicac_o_es_Sadiko_1_.	
Acesso	em:	4	fev.	2021.
CUNHA,	L.	Padrões	brasileiros.	O Setor elétrico,	São	Paulo,	fev.	2010.	
Disponível	em:	https://www.osetoreletrico.com.br/padroes-brasileiros/.	Acesso	
em:	4	fev.	2021.
EDMINISTER,	J.	A.	Circuitos elétricos.	São	Paulo:	McGraw-Hill,	1974.
HAYT,	W.	H.;	KEMMERLY,	J.	E.	Engineering circuit analysis.	New	York:	
McGraw-Hill;	1971.
IRWIN,	J.	D.	Análise de circuitos em engenharia.	São	Paulo:	Pearson	
Education	do	Brasil;	2000.	Disponível	em:	https://www.academia.edu/40301172/
An%C3%A1lise_de_Circuitos_Em_Engenharia_J_David_Irwin_4a_
Edi%C3%A7%C3%A3o.	Acesso	em:	4	fev.	2021.
MOURA,	A.	P.;	MOURA,	A.	A.	F.;	ROCHA,	E.	P.	Engenharia de sistemas de 
potência:	análise	de	circuitos	em	corrente	alternada	para	sistemas	de	potência.	
São	Paulo:	Artliber,	2018.	Disponível	em:	https://artliber.com.br/amostra/
analise_de_circuitos_em_corrente_alternada.pdf.	Acesso	em:	4	fev.	2021.
NILSSON,	J.	W.;	RIEDEL,	S.	Circuitos elétricos.	5.	ed.	Rio	de	Janeiro:	LTC;	1999.
RESPONDE	AÍ.	Correção do fator de potência.	Disponível	em:	https://www.
respondeai.com.br/conteudo/eletrica/circuitos-ca-monofasicos/correcao-do-
fator-de-potencia/2016.	Acesso	em:	4	fev.	2021.
138
139
UNIDADE 3 — 
ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• conhecer, compreender e analisar circuitos trifásicos;
• aplicar as técnicas de análise de circuitos monofásicos em corrente 
alternada em circuitos trifásicos diversos;
• analisar o comportamento de tensões, correntes e potências num circuito 
trifásico equilibrado;
•	 identificar	e	analisar	um	circuito	 trifásico	desequilibrado,	 identificando	
as diferenças em relação aos circuitos equilibrados.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade, 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
TÓPICO 2 – POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS
TÓPICO 3 – CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
140
141
UNIDADE 3
TÓPICO 1 — 
CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
1 INTRODUÇÃO
Em comparação com uma fonte de alimentação CA monofásica, que usa 
dois condutores (fase e neutro), uma fonte trifásica sem neutro pode transmitir 
três	vezes	mais	energia	usando	apenas	1,5	vez	mais	fios	(ou	seja,	três	condutores	
em vez de dois). Assim, a proporção entre a quantidade de material e a capacidade 
de entrega de potência é duplicada.
Sistemas	trifásicos	também	podem	ter	um	quarto	fio,	particularmente	na	
distribuição de baixa tensão. Esse é o condutor neutro. O neutro permite que três 
sistemas monofásicos sejam fornecidos, sendo muito utilizado em residências 
e locais com cargas relativamente pequenas. As conexões são organizadas para 
que, tanto quanto possível em cada grupo, a potência entregue seja a mesma em 
cada fase. Mais adiante, no sistema de distribuição, as correntes geralmente são 
bem equilibradas. 
Os sistemas trifásicos têm propriedades que os tornam muito desejáveis 
em sistemas de distribuição de energia elétrica:
• As correntes de fase tendem a anular umas às outras, somando zero no caso 
de uma carga linear equilibrada. Isso torna possível reduzir o tamanho do 
condutor neutro, porque ele carrega pouca ou nenhuma corrente. Com uma 
carga equilibrada, todos os condutores de fase carregam a mesma corrente e, 
assim, podem ser do mesmo tamanho.
• A transferência de energia para uma carga linear balanceada é mais constante 
num sistema trifásico, o que ajuda a reduzir as vibrações em geradores e motores.
• Sistemas trifásicos podem produzir um campo magnético rotativo com direção 
especificada	 e	magnitude	 constante,	 o	 que	 simplifica	 o	desenho	de	motores	
elétricos, já que nenhum circuito de partida é necessário.
A maioria das cargas domésticas é monofásica. Nas residências em geral, a 
entrada de energia (conjunto de condutores e elementos que conectam o sistema 
elétrico da concessionária a um quadro de distribuição interno) pode ser monofásica, 
bifásica ou trifásica. No entanto, as cargas alimentadas são, em geral, monofásicas. 
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
142
Na maior parte do Brasil, a tensão entre uma fase e o condutor neutro 
(tensão fase-neutro) é de 127 volts, enquanto a tensão entre duas fases é de 220 
volts. No entanto, algumas regiões apresentam tensão fase-neutro de 220 volts 
e tensão fase-fase de 380 volts. A relação entre as tensões fase-neutro e fase-fase 
será estudada mais adiante neste tópico.
2 TENSÕES TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS
Seja um sistema elétrico composto por três fontes de tensão senoidais, 
cujas ondas estão defasadas entre si em 120° elétricos (Figura 1). Se essas três 
fontes de tensão possuem amplitudes de sinal e frequência idênticas, então é 
possível dizer que esse sistemaé trifásico equilibrado.
FIGURA 1 – FORMAS DE ONDA DE UM CIRCUITO TRIFÁSICO EQUILIBRADO 
(SEQUÊNCIA POSITIVA)
FONTE: Os autores
A Figura 1 apresenta três fases, denominadas por A, B e C em tal sequência 
que a fase B está 120° atrasada em relação à fase A, enquanto a fase C está 120° 
atrasada em relação à fase B. Essa sequência de fases é denominada sequência 
de fases ABC ou positiva. As expressões dessas tensões, no domínio do tempo, 
podem ser expressas pelo seguinte sistema de equações:
VA(t) = Vp.sen(ωt)
VB(t) = Vp.sen(ωt – 120o)
VC(t) = Vp.sen(ωt + 120o)
Em que: Vp	é	o	valor	de	pico	da	tensão;	ω	=	2πf	–	frequência	angular.
TÓPICO 1 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
143
Na forma fasorial: 
VA = Vef ∠ 0o
VB = Vef ∠ – 120o = Vef ∠ 240o
VC = Vef ∠ 120o
Em que: Vef = Vp/√2	–	valor	eficaz	(ou	RMS)	da	onda	de	tensão	senoidal.
Existe outra possibilidade de sequência de fases, denominada de sequência 
ACB ou negativa, cujas formas de onda podem ser vistas na Figura 2.
FIGURA 2 – FORMAS DE ONDA DE UM CIRCUITO TRIFÁSICO EQUILIBRADO 
(SEQUÊNCIA POSITIVA)
FONTE: Os autores
Na sequência de fases negativa, as expressões fasoriais da tensão são 
representadas pelo seguinte sistema de equações:
VA = Vef ∠ 0o
VB = Vef ∠ 120o
VC = Vef ∠ – 120o = Vef ∠ 240o
As formas de onda das tensões são importantes para analisar o 
comportamento da tensão em cada instante de tempo, seja no seu valor instantâneo 
ou em relação ao seu ângulo. No entanto, numa análise focada em representação 
fasorial, o mais indicado é a representação das tensões por um diagrama fasorial, 
conforme mostrado na Figura 3.
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
144
FIGURA 3 – DIAGRAMA FASORIAL DAS TENSÕES EM UM SISTEMA TRIFÁSICO EQUILIBRADO: 
(A) SEQUÊNCIA POSITIVA; (B) SEQUÊNCIA NEGATIVA
FONTE: Os autores
A sequência de fases positiva também é conhecida por direta ou ABC, 
enquanto a sequência negativa também é chamada de inversa ou ACB.
NOTA
Conforme visto anteriormente, o sistema fasorial é uma forma de 
representação	gráfica	muito	similar	aos	vetores.	
O tamanho de cada seta representa o módulo da respectiva tensão (ou 
corrente), enquanto o ângulo relativo representa a defasagem angular de cada 
fasor. Nota-se que a leitura dos ângulos no sistema fasorial é feita no sentido 
horário, tomando a fase A como referência (ângulo 0o).
Exemplo 1: considere um sistema de tensões trifásicas equilibradas de 
sequência positiva. Se a tensão na fase B é 70 ∠ 40o V, quais são os fasores de 
tensão das outras fases?
Solução: VA = 70 ∠ 160o V e VC = 70 ∠ 280o V = 70 ∠ – 80o V.
Em	 termos	 práticos,	 o	 que	 define	 a	 sequência	 das	 fases	 num	 sistema	
polifásico é o sentido de giro do gerador trifásico ou a ordem de ligação das fontes 
monofásicas que formam o sistema trifásico. 
TÓPICO 1 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
145
Exemplo 2: repita o Exemplo 1 considerando que o sistema é de sequência 
negativa.
Solução: VA = 70 ∠ 160o V e VC = 70 ∠ 280o	V	=	70	∠ – 80o V.
3 FONTES DE TENSÃO TRIFÁSICAS
Um sistema trifásico real pode ser alimentado por um gerador 
ou transformador trifásico, ou, então, por um conjunto de geradores ou 
transformadores monofásicos interligados. Neste material, consideraremos, 
sobretudo, o estudo de fontes trifásicas compostas por um arranjo de fontes de 
tensão monofásicas.
Assim, basicamente, existem duas formas de ligar fontes de tensão 
monofásicas para compor um sistema trifásico: ligação em Y (ou estrela) e ligação 
em	Δ	(ou	triângulo).	A	Figura	4	apresenta	essas	duas	possibilidades,	considerando	
todas as fontes envolvidas como ideais.
FIGURA 4 – FONTES DE TENSÃO TRIFÁSICAS IDEAIS: (A) LIGAÇÃO Y; (B) LIGAÇÃO Δ
FONTE: Nilsson; Riedel (2009, p. 303)
A Figura 4 ilustra o terminal comum das fontes (A), indicado pela letra 
“n”, denominado de neutro. Esse neutro pode ou não estar disponível para 
conexões externas.
Nas análises disponibilizadas nesta unidade, sempre consideraremos os 
sistemas	de	sequência	positiva,	exceto	se	especificado	o	contrário.
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
146
3.1 FONTE TRIFÁSICA EM Y
Uma fonte de tensão trifásica, montada a partir da interconexão de três 
fontes monofásicas, conforme mostrado na Figura 4 (em A), é denominada fonte 
trifásica em Y (ou em estrela).
Conforme vimos, essa fonte possui um terminal comum, denominado de 
neutro. Se a ligação da fonte trifásica à carga considerar o neutro, o sistema é 
denominado	sistema	trifásico	a	quatro	fios.	Caso	o	neutro	não	seja	utilizado,	o	
sistema	é	denominado	trifásico	a	três	fios.
Para analisar melhor esse tipo de fonte, consideraremos a ilustração de 
uma fonte de tensão trifásica em Y (Figura 5).
FIGURA 5 – FONTE TRIFÁSICA EM Y COM INDICAÇÃO DAS TENSÕES E CORRENTES
FONTE: Os autores
As tensões medidas sobre os terminais de cada fonte, isto é, VAN, VBN e VCN 
são denominadas tensões de fase (ou tensões fase-neutro). O valor em módulo 
dessas tensões é igual entre si, logo:
|VAN |= |VBN | = |VCN |
As tensões consideradas entre duas fases da fonte, VAB, VBC e VCA, 
são denominadas como tensões de linha. Considerando as polaridades (e 
nomenclatura) indicadas, as tensões de linha podem ser calculadas a partir das 
tensões de fase da seguinte forma:
VAB = VAN – VBN 
VBC = VBN – VCN 
VCA = VCN – VAN 
TÓPICO 1 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
147
Podemos fazer a análise da obtenção da tensão de linha a partir da 
diferença de duas tensões de fase, com o auxílio do diagrama fasorial. Observa-
se, na Figura 6, a obtenção da tensão de linha VAB a partir das tensões de fase VAN 
e VBN.
FIGURA 6 – DIAGRAMA FASORIAL DE ALGUMAS DE TENSÕES DE FASE E DE LINHA
FONTE: Os autores
Nessa	 figura,	 para	 simplificação,	 as	 tensões	 de	 fase	 são	 referenciadas	
apenas por VA e VB. A diferença entre os dois vetores, VA e VB, pode ser reescrita 
como a soma do vetor VA com o inverso do vetor VB, ou seja:
VA – VB = VA + (–VB) = VAB
Essa é a operação mostrada nos fasores. Como resultado, temos o fasor 
VAB (uma tensão de linha), que difere das tensões de fase VA e VB em duas 
características básicas: seu módulo e seu ângulo.
Assim, se aplicarmos as técnicas da Álgebra Linear para efetuar essa 
soma vetorial, é possível chegar à conclusão de que o fasor VAB está defasado em 
30° positivos do fasor VA. Nota-se que, no diagrama fasorial, um deslocamento 
no	 sentido	 anti-horário	 significa	 um	 ângulo	 de	 valor	 positivo.	 Em	 termos	 do	
tamanho, o fasor VAB é maior que os fasores VA e VB numa proporção de .
Esse mesmo raciocínio pode ser estendido às demais fases do sistema. 
Logo, considerando um sistema trifásico equilibrado de sequência positiva, cujas 
tensões de fase são:
VA = VF ∠ 0o 
VB = VF ∠ –120o 
VC = VF ∠ 120o
Em que: VF representa o módulo da tensão de fase do sistema (tensão 
fase-neutro).
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
148
As	tensões	de	linha,	escritas	a	partir	das	tensões	de	fase,	ficam	estabelecidas	
como:
O	sistema	de	equações	pode	ser	simplificado	por	uma	única	expressão,	
que relaciona as tensões de fase (VF) e de linha (VL) de um sistema trifásico em Y:
 ou
IMPORTANT
E
As relações, apresentadas anteriormente, consideram um sistema trifásico de 
sequência positiva. Em caso de sequência negativa, os sinais dos ângulos são trocados, 
ou seja:
ou
Exemplo 3: uma fonte trifásica equilibrada ligada em Y possui uma tensão de 
fase VAN = 240 ∠ –30o V. Qual é o fasor da tensão de linha VBC, considerando que 
o sistema possui sequência positiva?
Solução: a relação entre a tensão de fase e de linha para um circuito em Y é 
 . Assim, a tensão de linha VAB pode ser calculada a partir da 
tensão VAN. Dessa maneira:
Por ser de sequência positiva, a tensão VBC está deslocada em –120° da tensão 
VAB. Assim: VBC = 415,69 ∠ –120o V.
Já a análise das correntes é mais simples num sistema com fontes de tensão 
conectadas em Y. As correntes que circulam por cada fonte são denominadascorrentes de fase (IF)	e	as	correntes	que	circulam	pelos	fios,	correntes	de	linha	(IL). É 
fácil perceber, pelo circuito da Figura 6, que as correntes de fase e de linha são iguais. 
Assim, podemos escrever que, para um sistema conectado em Y:
IF = IL
TÓPICO 1 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
149
3.1.1 Análise de um sistema Y-Y
Nesse momento, analisaremos um sistema trifásico equilibrado com 
fonte e carga ligadas em Y. Nessa primeira análise, vamos considerar as fontes 
ideais (sem reatâncias em série na fonte), mas os condutores apresentam uma 
certa impedância Zlinha. 
Assim, nessas condições, um circuito é representado pela Figura 7.
FIGURA 7 – SISTEMA TRIFÁSICO EQUILIBRADO Y-Y
FONTE: Os autores
Os nós A, B, C e N indicam os terminais da fonte de tensão, enquanto os 
nós a, b, c, e n se referem aos terminais de conexão da carga. Logo, o que estiver 
conectado entre dois nós seguidos, por exemplo, A-a, refere-se à linha.
Esse sistema é composto por uma fonte trifásica equilibrada conectada em 
Y e uma carga equilibrada conectada em Y. Além disso, as impedâncias das linhas 
são todas iguais. Deste modo, o sistema num todo é considerado equilibrado.
Considerando que todas as fases são iguais, exceto pela defasagem angular, 
pode-se supor, de forma bastante segura, que as correntes em cada fase também 
serão iguais entre si (em módulo). Logo, tendo o condutor neutro a função de 
servir como retorno da corrente para a fonte, se for considerada a existência de 
três	correntes	de	fase	equilibradas,	podemos	afirmar	que	a	corrente	de	neutro	é	a	
soma das três correntes de fase, estabelecida na forma fasorial:
IN = IAa + IBb + ICc
Se considerarmos que IF é o módulo da corrente em cada fase, então a 
expressão anterior pode ser escrita como:
IN = IF ∠ 0o + IF ∠ – 120o + IF ∠ 120o = 0
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
150
Algebricamente, chegamos à conclusão de que não há corrente no neutro!
Ao analisar a soma fasorial das três correntes (Figura 8), podemos 
comprovar essa constatação. Na Figura 8, percebe-se que as três correntes, ao 
serem alinhadas para efetuar a soma, formam um polígono fechado, ou seja, 
não	 há	 um	 fasor	 resultante	 da	 soma	 das	 três	 fases.	Assim,	 fica	 comprovado,	
visualmente, que, no sistema trifásico equilibrado, a soma das correntes das três 
fases é, de fato, igual a zero.
FIGURA 8 – SOMA FASORIAL DAS TRÊS CORRENTES DE FASE
FONTE: Os autores
Se	a	corrente	no	condutor	neutro	é	nula,	isso	significa	que	não	há	queda	
de tensão entre os nós “N” e “n” do condutor neutro. Eles estão num mesmo 
potencial de tensão. Geralmente, o neutro é tomado como tensão de referência, 
então	podemos	afirmar	que	VN = Vn = 0 ∠ 0° volts. Na verdade, pelo fato de o 
condutor neutro não possuir corrente alguma, ele poderia ser eliminado nesse 
sistema – contudo, consideraremos a sua existência por enquanto.
Em geral, problemas envolvendo sistemas trifásicos costumam necessitar do 
cálculo das correntes do circuito e das quedas de tensão em vários pontos no sistema. 
Uma das formas de proceder seria com a aplicação das técnicas já 
conhecidas de análise de circuitos. Nesse caso, poderíamos aplicar a Lei de 
Kirchoff	das	Correntes	de	Malhas	e,	então,	a	partir	da	análise	das	três	malhas,	obter	
os resultados desejados. No entanto, conforme mencionado anteriormente, pelo 
fato de o sistema ser trifásico e equilibrado, os módulos das tensões e correntes 
são iguais entre as diversas fases, sendo a única diferença o ângulo de defasagem. 
Assim, pode-se realizar a análise para apenas uma das fases e, então, aplicar o 
resultado obtido para as demais apenas tomando o cuidado de ajustar os ângulos 
de defasagem de forma adequada. Essa proposta de análise é realizada sobre um 
circuito	simplificado,	denominado	circuito monofásico equivalente – a seguir, 
verificaremos	essa	técnica.
TÓPICO 1 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
151
3.1.2 Análise pelo circuito monofásico equivalente
Seja o sistema trifásico equilibrado em Y visto anteriormente, considerando-
se os seguintes valores para esse sistema: VA = 220 ∠ 0o V; VB = 220 ∠ –120o V; 
VC = 220 ∠ 120o V.
Zlinha = 0,8 + j1,5	Ω
Zcarga = 39 + j28	Ω
Para calcular as correntes no circuito (IAa, IBb e ICc), as tensões de fase na 
carga (Van, Vbn e Vcn) e de linha na carga (Vab, Vbc e Vca), primeiramente, desenha-se 
o circuito monofásico equivalente daquele sistema, conforme o circuito mostrado 
na Figura 9.
FIGURA 9 – CIRCUITO MONOFÁSICO EQUIVALENTE
FONTE: Os autores
Esse circuito faz referência à fase A do sistema trifásico original e utiliza 
os mesmos valores de tensão na fonte e impedâncias do sistema trifásico original. 
No entanto, há duas importantes alterações que precisam ser consideradas:
• no circuito monofásico equivalente, não se representa a impedância do 
condutor neutro;
• a corrente no condutor neutro não é nula no circuito monofásico equivalente. 
Na	verdade,	é	fácil	de	verificar,	nesse	circuito,	que	a	corrente	de	neutro	é	igual	
à corrente de fase (IN = IAa).
Feitas essas considerações, podemos analisar o circuito monofásico 
equivalente e obter os valores solicitados na proposta do problema. Assim, 
inicialmente, convém calcular a corrente IAa do circuito, que pode ser obtida da 
Lei	de	Ohm:	I	=	V/Z,	em	que	Z é a soma das impedâncias em série do circuito. 
Desse modo, tem-se:
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
152
Uma vez obtido o valor da corrente para a fase A do sistema trifásico, a 
determinação das correntes das fases B e C é bastante simples: basta subtrair e 
somar, respectivamente, 120 graus do ângulo de defasagem de –36,5°, mantendo 
o valor do módulo da corrente. Assim, tem-se:
IBb = IAa – 120o	=	4,44	∠ –156,5o A
ICc = IAa + 120o	=	4,44	∠ 83,5o A
A tensão de fase sobre a carga pode ser calculada pelo produto corrente 
× impedância de carga. Logo, fazendo esse cálculo para a fase A no circuito 
monofásico equivalente, tem-se:
Va = IAa.Zcarga = (4,44 ∠ – 36,5o).(39 + j28) = 213,6 ∠ – 0,82o V
Logo, a obtenção das tensões de fase para B e C pode ser feita seguindo o 
mesmo raciocínio empregado para as correntes:
Vb = Va – 120o = 213,6 ∠ –120,82o V
Vc = Va + 120o = 213,6 ∠ 119,18o V
Já a obtenção das tensões de linha sobre a carga pode ser realizada 
aplicando-se a expressão . Assim:
De modo similar, para as demais tensões:
VBC = 369,9 ∠ –90,82o V
VCA = 369,9 ∠ 149,18o V
Portanto, constata-se que foi possível efetuar a análise do circuito trifásico 
original utilizando a resolução de um circuito mais simples.
3.1.3 Análise de um sistema Y-Δ
Um	 sistema	 trifásico	 Y-Δ	 é	 aquele	 em	 que	 a	 fonte	 está	 conectada	 na	
configuração	Y,	enquanto	a	carga	segue	conectada	em	Δ	(Figura	10).	
TÓPICO 1 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
153
FIGURA 10 – SISTEMA TRIFÁSICO EQUILIBRADO Y-Δ
FONTE: Os autores
Para esse tipo de sistema, em relação à fonte, valem as mesmas 
considerações feitas na análise do sistema Y-Y. No entanto, existem diferenças 
que precisam ser consideradas na carga.
A primeira consideração, nesse caso, é que não existe condutor neutro 
devido	 à	 impossibilidade	 de	 engatá-lo	 na	 carga	 ligada	 em	 Δ	 –	 por	 isso,	 esse	
condutor não é utilizado. No entanto, por se tratar de um sistema trifásico 
equilibrado,	é	seguro	afirmar	que	a	corrente	de	neutro	(se	existisse),	também	aqui,	
seria nula. Então, a não existência do condutor neutro não representa nenhuma 
diferença para análise nesse caso.
Em	relação	às	 tensões	de	carga,	verifica-se	que,	para	uma	determinada	
impedância de carga ZΔ, a tensão de fase (entre fase e neutro, ou melhor, sobre 
os terminais da impedância) e a tensão de linha (entre duas fases) são a mesma. 
Logo,	podemos	afirmar	que,	para	uma	ligação	em	Δ,	a	tensão	de	fase	é	igual	à	
tensão de linha.
VFΔ = VLΔ
No entanto, para as correntes, a situação é diferente. As que circulam 
por cada impedância são as correntes de fase Iab, Icb e Ica, e, se considerarmos a 
sequência positivae a fase “a” como referência (ângulo de defasagem 0°), elas 
podem	ser	especificadas	como:
Iab = Ifase ∠ 0o 
Ibc = Ifase ∠ –120o 
Ica = Ifase ∠ 120o
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
154
As correntes de linha, em termos das correntes de fase, segundo a Lei de 
Kirchhoff	das	correntes,	podem	ser	especificadas	como:
Assim,	 pela	 análise	 do	 sistema	de	 equações	 anterior,	 podemos	 afirmar	
que,	numa	configuração	em	Δ,	a	relação	entre	as	correntes	de	fase	e	de	linha	é	
dada pela expressão:
ou 
As relações de correntes mostradas são válidas para sistemas de sequência 
positiva. No caso de sequência negativa, os ângulos são trocados, ou seja:
ou
ATENCAO
Exemplo 4: a corrente ICA, em uma carga trifásica equilibrada ligada em delta, 
é 8 ∠ –15° A. Se a sequência de fases do sistema for positiva, qual será o valor 
da corrente ICc? 
Solução:	 em	um	sistema	em	Δ,	a	 corrente	 ICA é de fase, enquanto a ICc é de 
linha.	A	 relação	 entre	 as	 correntes	de	 fase	 e	de	 linha	para	uma	 ligação	Δ	é 
 . 
Então temos que: .
Para	 realizar	 a	 análise	 de	 um	 sistema	 Y-Δ,	 podemos	 proceder	 com	 a	
aplicação do método das correntes de malha diretamente no circuito original ou, 
então,	partir	para	uma	simplificação.	
TÓPICO 1 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
155
Não é possível obter o circuito monofásico equivalente diretamente de 
um	 sistema	 em	 que	 as	 cargas	 (ou	mesmo	 a	 fonte)	 estejam	 conectadas	 em	 Δ.	
Logo,	 inicialmente,	é	necessário	converter	a	carga	em	Δ	para	sua	configuração	
Y equivalente. Como o sistema é equilibrado, essa conversão pode ser feita 
conforme a seguinte expressão:
ZY = ZΔ/3
Assim, após converter a carga para Y, procede-se com a obtenção do circuito 
monofásico equivalente e sua análise, conforme já visto anteriormente. O circuito 
monofásico equivalente permite calcular a corrente de linha de uma das fases 
(por exemplo, IAa). Se for necessário saber a corrente de fase que atravessa cada 
impedância, deve-se utilizar o sistema de equações desenvolvido anteriormente.
Para fortalecer o entendimento do que foi apresentado até aqui, vamos 
analisar	o	circuito	trifásico	Y-Δ	da	Figura	10.
Para tanto, consideraremos os seguintes valores: a impedância de linha 
Zlinha = 0,3 + j0,9	Ω;	 a	 impedância	 na	 carga	 vale	ZΔ =	 118,5	 +	 85,8	Ω.	 Podemos	
considerar a tensão na fase A como referência, assim VA = 220∠ 0o V. Vamos realizar 
as seguintes etapas:
• Obtenção do circuito monofásico equivalente do sistema trifásico.
• Cálculo das correntes de linha IAa, IBc e ICc.
• Cálculo das tensões de fase nos terminais da carga.
• Cálculo das correntes de fase da carga.
• Cálculo das tensões de linha nos terminais da fonte.
Solução:
a) Para obter o circuito monofásico equivalente, é necessário, primeiramente, 
obter	o	circuito	em	Y	da	carga,	que	está	conectada	originalmente	em	Δ.
Assim, temos:
Logo, o circuito monofásico equivalente, referenciado à fase A, é mostrado 
na Figura 11:
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
156
FIGURA 11 – CIRCUITO MONOFÁSICO EQUIVALENTE DO CIRCUITO Y-Δ
FONTE: Os autores
b) A corrente de linha da fase A é:
Para as demais fases:
IBb = IAa – 120o	=	4,44	∠ – 156,4o A
ICc = IAa + 120o	=	4,44	∠ 83,4o A
c)	Como	a	carga	está	originalmente	ligada	em	Δ,	não	há	tensão	de	fase	(ou	seja,	
tensão fase-neutro) apenas a tensão de linha (tensão entre duas fases), ou seja, 
as tensões VAB, VBC e VCA. Então, como o circuito monofásico equivalente foi 
obtido a partir de um circuito com carga em Y, de início, calcularemos a tensão 
de fase VAN	sobre	essa	carga	fictícia	em	Y.
Assim, podemos aplicar a Lei de Ohm para encontrar VAN:
VAN = ZY .IAa = (39,5 + j28,6).( 4,44 ∠ – 36,4o)	=	216,52	∠ – 0,49o V
Para convertermos uma tensão de fase para uma tensão de linha num 
circuito em Y, vimos que podemos aplicar a expressão .
Logo, as tensões de linha podem ser assim obtidas:
Assim, estas tensões de linha anteriores representam tanto as tensões de 
linha	quanto	de	fase,	para	a	carga	conectada	em	Δ.
TÓPICO 1 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
157
d) As correntes de fase da carga podem ser calculadas a partir das correntes de 
linha obtidas no item “b”, aplicando a expressão . Assim:
As demais correntes podem ser obtidas apenas alterando o ângulo de fase 
adequadamente:
Ibc = 2,56 ∠ –126,4o A
Ica = 2,56 ∠ 113,6o A
e) As tensões de linha nos terminais da fonte podem ser obtidas diretamente 
do	 valor	 da	 tensão	 de	 fase	 (já	 especificada),	 aplicando-se	 a	 expressão 
 vista anteriormente.
Assim, tem-se:
Desse	modo,	finalizamos	a	análise	do	sistema	Y-Δ	proposto	inicialmente.
3.2 FONTE CONECTADA EM Δ
Quando uma fonte de tensão trifásica é conectada (Figura 12), diz-se que o 
sistema	possui	uma	fonte	ligada	em	Δ.	Nesse	sistema,	as	tensões	de	fase	e	de	linha	
são equivalentes (na verdade, não há tensão de fase, pois não há terminal neutro 
para medir uma tensão fase-neutro).
FIGURA 12 – FONTE TRIFÁSICA LIGADA EM Δ
FONTE: Os autores
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
158
Então,	podemos	afirmar	que,	para	uma	ligação	em	Δ,	VFΔ	=	VLΔ. Já vimos 
essa	expressão	anteriormente,	na	análise	de	uma	carga	ligada	em	Δ.
Por outro lado, as correntes de fase (IAa, IBb e ICc) são diferentes das correntes 
de linha (IAB, IBC e ICA). Conforme já visto anteriormente também para uma carga 
ligada em delta, a relação entre as correntes de fase e de neutro é:
ou
Para realizar a análise de um circuito com fontes ligadas em delta, 
o procedimento é similar aos demais casos vistos. Deve-se obter o circuito 
monofásico equivalente do sistema para realizar os cálculos referentes a uma das 
fases. Após, encontram-se os valores das tensões e correntes para as demais fases, 
considerando-se	as	conversões	fase/linha	vistas	até	aqui.
4 SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS
Nossa proposta de ensino tem como foco o estudo de sistemas trifásicos 
equilibrados. No entanto, não se pode desconsiderar a existência de sistema em 
que não existe o equilíbrio entre as fases. 
Os sistemas trifásicos não equilibrados apresentam, em geral, diferentes 
valores de tensão e corrente nas suas fases, decorrentes, na maioria das vezes, 
de cargas monofásicas conectadas ao sistema, ou mesmo equipamentos com 
funcionamento impróprio. Raramente, o desequilíbrio de fases envolve problemas 
nos ângulos de defasagem entre as fases.
De	modo	geral,	todas	as	simplificações	adotadas	na	análise	dos	circuitos	
trifásicos equilibrados não podem ser utilizadas em sistemas em desequilíbrio. 
Assim, as relações entre tensões e correntes de fase e de linha não são válidas. A 
corrente de neutro também não é nula num sistema trifásico desequilibrado.
Também não é possível utilizar o circuito monofásico equivalente para 
analisar um sistema trifásico desequilibrado. A análise precisa ser feita considerando 
todas as fases do sistema, certamente elevando o grau de complexidade. 
Enfim,	 o	 desequilíbrio	 entre	 as	 fases	 de	 um	 sistema	 é	 totalmente	
indesejável,	pois	dificulta	a	análise	e	diminui	as	vantagens	técnicas	desse	sistema.
159
Neste tópico, você aprendeu que:
• Ao analisar um circuito trifásico equilibrado, o primeiro passo é transformar 
quaisquer	 ligações	 Δ	 em	 seu	 equivalente	 Y,	 de	 modo	 que	 o	 sistema	 fique	
configurado	Y-Y.
• O circuito monofásico equivalente é utilizado para calcular a tensão de fase e 
a corrente de linha de uma das fases do circuito Y-Y original. Geralmente, é 
escolhida a fase a.
• Correntes e tensões das fases b e c são iguais às da fase a, exceto pelo 
deslocamento de fase de 120°. Em sistemas de sequência positiva, a fase b está 
atrasada em relação à fase a (-120°), enquanto a fase c está adiantada em relação 
à fase a (+120°).
• As tensões de linha estão defasadas em ± 30° em relação às tensões defase. 
O sinal positivo está relacionado à sequência de fase positiva e o negativo à 
sequência negativa.
• Em um sistema Y-Y, a relação entre os módulos das tensões de linha e de fase 
é: Vlinha =	√3.Vfase.
•	 Num	sistema	Δ-Δ,	as	correntes	de	linha	estão	defasadas	em	±	30°	em	relação	às	
correntes de fase. O sinal positivo está relacionado à sequência de fase positiva 
e o negativo à sequência negativa.
•	 Num	 sistema	Δ-Δ,	 o	módulo	 da	 corrente	 de	 linha	 é	 √3	 vezes	 o	módulo	 da	
corrente de fase.
RESUMO DO TÓPICO 1
160
1 Qual é a sequência de fase de cada um dos seguintes conjuntos de tensões?
a) va(t) = 127cos(ωt + 54o) V
 vb(t) = 127cos(ωt – 66o) V
 vc(t) = 127cos(ωt + 174o) V
b) va(t) = 6100cos(ωt – 26o) V
 vb(t) = 6100cos(ωt + 94o) V
 vc(t) = 6100cos(ωt – 146o) V
2 Uma	carga	trifásica	ligada	em	Δ	apresenta	uma	corrente	IAC = 10∠ –30o A. 
Considerando que o circuito tem sequência de fases positivas, calcule:
a) As correntes de linha.
b) A impedância da carga, sabendo que VAB = 110 ∠ 0° V.
3	 Considere	o	sistema	trifásico	equilibrado	Y-Y	mostrado	na	figura	a	seguir.	
A tensão de fase nos terminais da carga é de 2.400 volts. A impedância de 
carga Zcarga vale 16 + j12	Ω.	As	impedâncias	da	linha	valem	Zlinha = 0,10 + 
j0,80	Ω.	A	fonte	possui	sequência	de	fases	negativas	(acb)	e	impedância	
interna Zfonte = 0,02 + j0,16	Ω.	Utilize	 a	 tensão	 da	 fase	 a na carga como 
referência e calcule:
a) As correntes de linha IAa, IBb, ICc e INn.
b) As tensões de linha na fonte VAB, VBC e VCA.
FONTE: Os autores
AUTOATIVIDADE
161
4 A tensão de linha VAB nos terminais de uma carga trifásica equilibrada 
ligada	em	Δ	é	4160	∠ 0o V. A corrente de linha IAa é 69,35 ∠ –10o A. 
a) Calcule a impedância de carga ZAB, considerando a sequência de fases 
positiva.
b) Repita o cálculo para uma sequência de fases negativas.
5	 Um	sistema	trifásico	equilibrado	possui	sua	fonte	de	tensão	em	Δ	conectada	a	
uma	carga	 trifásica	 também	em	Δ,	por	condutores	 ideais	 (sem	 impedâncias).	
Sabendo que a tensão VAB = 210 ∠ 0o volts, a sequência de fases é positiva e que 
cada impedância da carga vale ZC = 12 + j9	Ω,	determine	as	correntes	de	linha	e	
de fase na carga.
162
163
UNIDADE 3
TÓPICO 2 — 
POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, analisaremos as potências senoidais em circuitos trifásicos 
equilibrados.	Definiremos	o	cálculo	das	potências	média	e	reativa,	a	partir	dos	
valores de fase e de linha das tensões e correntes. Em seguida, é feita uma análise 
das potências totais de um sistema trifásico, sua relação com as potências de cada 
fase e com o fator de potência.
Ao	final	do	tópico,	é	apresentado	um	método	de	medição	da	potência	em	
circuitos	trifásicos,	utilizando	dois	ou	três	wattímetros.
2 ANÁLISE DAS POTÊNCIAS NUM CIRCUITO TRIFÁSICO
Para analisar as potências num sistema trifásico equilibrado, 
consideraremos o circuito mostrado na Figura 13.
FIGURA 13 – CARGA EQUILIBRADA EM Y PARA OS CÁLCULOS DA POTÊNCIA MÉDIA
FONTE: Os autores
164
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Nesse circuito, é apresentada uma carga ligada em Y com a indicação das 
tensões e correntes pertinentes. O cálculo da potência média (ou potência ativa), 
para qualquer uma das fases desse circuito, pode ser feito utilizando as mesmas 
técnicas vistas nas unidades anteriores.
Assim, a potência média da fase A, PA, pode ser escrita como (na forma 
fasorial):
PA = |Van |.|IAa|.cos(θV(A) – θi(A)) [W] [watts]
Em que: |Van| é o módulo de tensão da fase A; |IAa| é o módulo da corrente 
da fase A; θV(A) é o ângulo da tensão da fase A; θi(A) é o ângulo da corrente da 
fase A.
De maneira similar, para as demais fases, podemos escrever que:
PB = |Vbn|.|IBb|.cos(θV(B) – θi(B)) [W]
PC = |Vcn|.|ICc|.cos(θV(C) – θi(C)) [W]
É importante notar que todas as correntes e tensões fasoriais são escritas 
em	termos	do	valor	eficaz	(RMS)	da	função	senoidal	que	elas	representam.	Além	
disso, num circuito trifásico equilibrado, o módulo da tensão de fase é igual para 
todas as fases, então podemos escrever que:
|Van|=|Vbn| = |Vcn| = VF
Em que: VF representa o módulo da tensão de uma fase qualquer do 
circuito.
De maneira similar, para a corrente podemos fazer a mesma consideração, 
sendo IF o módulo da corrente de uma das fases do circuito:
|IAa| = |IBb| = |ICc| = IF
Ainda	considerando	que	o	circuito	trifásico	é	equilibrado,	é	seguro	afirmar	
que as diferenças entre os ângulos de fase da tensão e da corrente são iguais de 
uma fase para outra.
θV(A) – θi(A) = θV(B) – θi(B) = θV(C) – θi(C) = ϕ
Em	que:	ϕ	 (letra	 grega	phi) representa o ângulo de defasagem entre a 
tensão e a corrente em uma fase qualquer do sistema trifásico. 
TÓPICO 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS
165
Com essas considerações, podemos concluir que a potência média, em 
cada uma das fases, é igual, ou seja: PA = PB = PC = PF. Considerando que PF é a 
potência média de uma fase qualquer do circuito trifásico, bem como as análises 
feitas anteriormente, podemos reescrever a expressão da potência média para 
uma fase qualquer do sistema da seguinte forma:
PF = |VF|.|IF|.cosϕ [W]
A potência média total (PT) fornecida à carga é a soma das potências 
médias de cada fase PT = PA + PB + PC. Contudo, sabemos que a potência média em 
cada fase é igual, então podemos escrever que:
PT = 3.PF = 3.|VF|.|IF|.cosϕ
Podemos escrever também a expressão da potência média total em função 
dos valores das correntes e das tensões de linha do circuito, lembrando que, em 
uma	configuração	em	Y,	temos:																		e											.	Reescrevendo	a	expressão	 
da potência média total em termos dos valores de linha temos que:
Finalmente:
É importante destacar que, independentemente de a potência média ser 
calculada em termos dos valores de fase ou de linha, o ângulo de defasagem ϕ será sempre 
referente à tensão e à corrente de fase.
IMPORTANT
E
166
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Exemplo 5: considere uma carga trifásica e equilibrada ligada em Y, conforme 
mostrado	 na	 figura	 a	 seguir.	 Sabendo	 que	 a	 corrente	 de	 linha	 IAa é igual a 
23,6 ∠ –26o A e a tensão de linha Vab vale 230 ∠ 40,5o V, calcule a potência média 
total entregue à carga.
Solução: para calcular a potência entregue à carga precisamos saber o ângulo 
de	defasagem	ϕ	entre	a	tensão	de	fase	e	a	corrente	de	fase	para	uma	das	fases	
do circuito.
Assim, a tensão de fase VAN é calculada por:
Por	 ser	 uma	 configuração	 em	Y,	 as	 correntes	de	 linha	 e	de	 fase	 são	 iguais:	 
IL = IF = 23,6 A.
Em seguida, podemos calcular o ângulo de defasagem como:
Φ = 40,5	–	(–26,0)	=	66,5o
Logo, a potência total é de:
PT = 3.PF	=	3.|VF|.|IF|.cosϕ	=	3.(132,79).(23,6).cos(66,5o)	=	3748,85	W
De modo alternativo, poderíamos calcular a potência média total a partir dos 
valores de linha:
2.1 DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA REATIVA E DA 
POTÊNCIA COMPLEXA 
Podemos seguir o mesmo raciocínio utilizado para a determinação da 
potência média total para o cálculo das potências reativa total e complexa total 
de um sistema trifásico equilibrado. Assim, seja a potência reativa de uma fase QF 
definida	por:
QF = |VF|.|IF|.senϕ [VAR]
Então, considerando que todas as fases consomem o mesmo valor de 
potência	reativa,	podemos	afirmar	que	a	potência	reativa	total	QT consumida pela 
carga é de:
QT = 3.QF = 3.|VF|.|IF|.senϕ
TÓPICO 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS
167
Também podemos efetuar o cálculo de QT pelos valores de linha:
A potência complexa SF para uma das fases do circuito pode ser calculada 
por:
SF = VF .IF * = PF + jQF
Em que: IF* é o valor conjugado da corrente de fase.
 Então, pelo mesmo raciocínio já empregado, a potência complexa total da 
carga é igual ao valor da potência complexa de uma das fases multiplicado por 3, 
conforme a expressão a seguir:
A potência complexa total pode ser expressa da forma retangular, 
destacando as potências média e reativa totais do circuito:
ST = PT + jQT
Pode ser representada na forma polar, em que faz referênciaao seu 
módulo, |ST|,	e	ao	ângulo	de	defasagem	ϕ:
ST =|ST|∠(ϕ)
Em que: , conhecido como potência aparente total 
do circuito. 
Por	 fim,	 resta	 analisarmos	 o	 fator	 de	 potência	 total	 da	 carga.	 Vimos	
anteriormente	que	a	definição	de	fator	de	potência	(FP)	é:
FP = cosϕ
Num	circuito	trifásico	equilibrado,	o	ângulo	de	defasagem	ϕ	é	igual	para	
todas as fases. Assim, o fator de potência para uma fase ou para o sistema todo 
é	o	mesmo.	Esse	conceito	fica	mais	bem	ilustrado	na	Figura	14,	que	apresenta	o	
diagrama fasorial das potências.
168
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
FIGURA 14 – ÂNGULO DE DEFASAGEM PARA A POTÊNCIA DE UMA FASE E PARA 
AS POTÊNCIAS TOTAIS
FONTE: Os autores
Conforme pode ser comprovado pelo diagrama, ao efetuar as somas das 
potências (reativas e médias) de um circuito trifásico equilibrado, o ângulo de 
defasagem	ϕ	não	é	alterado.
Para auxiliar na compreensão desses conceitos, analisaremos o exemplo 
a seguir.
Exemplo 6: considere a carga trifásica equilibrada ligada em Y apresentada na 
figura	a	seguir.
CARGA EM Y PARA RESOLUÇÃO
FONTE: Os autores
Com tensão de linha Vab = 173,2 ∠ 0o V e impedância, por fase, de ZY = 3 + j4	Ω,	
com sequência de fases positiva.
TÓPICO 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS
169
Calcule:
a) A potência média para cada fase e a potência média total.
b) A potência reativa para cada fase e a potência reativa total.
c) A potência aparente para cada fase e a potência aparente total.
d) O fator de potência da carga.
Solução:
a) Para calcular a potência média, precisamos conhecer a tensão de fase e 
corrente de fase do circuito. 
A tensão de fase a-n é:
A corrente de fase IAa pode ser calculada sobre a carga:
O ângulo de defasagem pode ser calculado como:
ϕ= – 30	–	(–	83,13)	=	53,13o
Então, podemos calcular a potência média de cada fase:
PF =	|VF|.|IF|.cosϕ	=	100.20.cos(53,13o)	=	1.200	W
A potência média total é:
PT = 3.PF = 3.600 W
b) A potência reativa de uma das fases pode ser calculada por:
QF =	|VF|.|IF|.senϕ	=	100.20.sen(53,13o)	=	1.600	VAR
A potência reativa total é:
QT = 3.QF	=	4.800	VAR
c) A potência aparente para uma fase pode ser calculada por:
|SF| =	|VF|.|IF|	=	100.20	=	2.000	VA
170
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Ou da seguinte forma:
Já a potência aparente total é:
|ST| =	3|SF|	=	6.000	VA
d) O fator de potência é o cosseno do ângulo de defasagem:
FP = cosϕ = cos53,13o = 0,60
No próximo exemplo, veremos uma situação envolvendo a existência de 
duas cargas trifásicas distintas. 
Exemplo 7:	considere	o	sistema	trifásico	com	uma	carga	em	Δ	e	outra	em	Y	na	
figura	a	seguir.	Cada	uma	das	cargas	é	equilibrada.	
CIRCUITO TRIFÁSICO COM DUAS CARGAS
FONTE: Os autores
Calcule a potência média, reativa e aparente e o fator de potência para cada carga 
e	total	para	esse	sistema	(total	=	considera	as	duas	cargas	simultaneamente).	
Solução: para realizar essa análise, inicialmente, é recomendável obter o 
sistema	Y	equivalente	da	carga	ligada	em	Δ.	Assim,	sabemos	que:
TÓPICO 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS
171
As	 fases	 não	 são	 especificadas,	 por	 isso,	 podemos	 fazer	 nossas	 próprias	
indicações. Consideraremos que a tensão de linha VAB é de 200 ∠ 0o V. 
Desse modo, a tensão de fase VA pode ser calculada por:
Cálculos referentes à carga em Y
A corrente de uma fase na carga em Y é de:
O ângulo de defasagem tensão-corrente é de: ϕY	=	–30	–	(–66,87)	=	36,87o.
Assim, a potência média total para a carga Y vale:
PT–Y = 3.|VF|.|IF-Y|.cosϕ = 3.(115,47).(23,09).cos(36,87o) = 6.398,9 W
Já a potência reativa total para a carga Y vale:
QT–Y = 3.|VF|.|IF-Y|.senϕ = 3.(115,47).(23,09).sen(36,87o) = 4.799,2 VAR
A potência complexa total da carga Y pode ser calculada por:
|SF–Y| = 3.|VF|.|IF-Y| = 3.(115,47).(23,09) = 7.998,6 VAR
O fator de potência para a carga em Y vale:
FPY = cosϕY = 0,80 (indutivo ou atrasado)
Cálculos para a carga em Δ
inicialmente,	obteremos	transformar	a	carga	Δ	em	seu	equivalente	em	Y.	
O índice “Y2” serve para não haver confusão em relação a outra carga em Y 
do sistema.
A corrente de uma fase na carga em Y2 é:
 
O ângulo de defasagem tensão-corrente é: ϕY2	=	– 30 – 23,16	=	– 53,16o
172
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Assim, a potência média total para a carga Y2 vale:
PT-Y2	=	3.|VF|.|IF-Y2|.cosϕ = 3.(115,47).(34,61).cos(–53,16o) = 7.188,5 W
Já a potência reativa total para a carga Y vale:
QT-Y = 3.|VF|.|IF-Y|.senϕ = 3.(115,47).(34,61).sen(–53,16o) = –9.595,2 VAR
A potência complexa total da carga Y pode ser calculada por:
|SF-Y2|	=	3.|VF|.|IF-Y2|	=	3.(115,47).(34,61)	=	11.989,25	VA
QT-Y = 3.|VF|.|IF-Y|.senϕ = 3.(115,47).(34,61).sen(–53,16o) = –9.595,2 VAR
O	fator	de	potência	para	a	carga	em	Δ	(Y2)	vale:
FPY2 = cosϕY2	=	0,60	(capacitivo	ou	adiantado)
As potências para as duas cargas juntas ficam assim:
PT = PT-Y + PT-Y2 = 6.398,9 + 7.188,5 = 13.587,4 W
QT = QT-Y + QT-Y2 = 4.799,2 – 9.595,2 = – 4.796 VA
A potência aparente total é:
O fator de potência total pode ser calculado por:
FPT = PT /|ST|= (13.587,4)/(14.409,0) = 0,943 capacitivo (ou adiantado)
3 WATTÍMETROS E LEITURA DE POTÊNCIA
A potência média absorvida por uma carga pode ser medida por um 
instrumento chamado wattímetro. 
A	Figura	15	mostra	um	wattímetro	que	consiste,	essencialmente,	em	duas	
bobinas: a bobina de corrente e a bobina de tensão (ou de potencial).
TÓPICO 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS
173
FIGURA 15 – CIRCUITO INTERNO DE UM WATTÍMETRO
FONTE: Adaptada de <http://engineering.electrical-equipment.org/wp-content/
uploads/2015/04/Wattmeter.jpg>. Acesso em: 22 nov. 2020.
Uma bobina de tensão com uma impedância muito alta (idealmente 
infinita)	 está	 conectada,	 em	 paralelo,	 com	 a	 carga	 (Figura	 16)	 e	 responde	 à	
tensão de carga. A bobina de corrente age como um curto-circuito, por causa 
de sua baixa impedância, enquanto a bobina de tensão se comporta como um 
circuito aberto, em razão de sua alta impedância. Como resultado, a presença 
do	wattímetro	não	perturba	o	circuito	nem	interfere	na	medição	de	energia.
FIGURA 16 – LIGAÇÃO DO WATTÍMETRO À CARGA
FONTE: Adaptada de <https://1.bp.blogspot.com/-FVpGsPMCvRg/XlUTH7O4VkI/AAAAAAAAFHs/Z-
SvxKpgwZkjyzwYreRwQEQoysVldQacACEwYBhgL/s1600/f2_how_does_wattmeter_work.jpg>. 
Acesso em: 22 nov. 2020.
174
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Quando as duas bobinas são energizadas, a inércia mecânica do 
sistema	móvel	produz	um	ângulo	de	deflexão	proporcional	ao	valor	médio	do	
produto v(t) × i(t). Esse comportamento é mais bem explicado por Nilsson e 
Riedel (2009, p. 313):
A	 deflexão	 do	 ponteiro	 ligado	 à	 bobina	 móvel	 é	 proporcional	 ao	
produto	 entre	 o	 valor	 eficaz	 da	 corrente	 na	 bobina	 de	 corrente,	
o	 valor	 eficaz	 da	 tensão	 nos	 terminais	 da	 bobina	 de	 potencial	 e	 o	
cosseno do ângulo de fase entre a tensão a corrente. A direção da 
deflexão	do	ponteiro	depende	do	sentido	instantâneo	da	corrente	na	
bobina de corrente e da polaridade da tensão aplicada à bobina de 
potencial. Assim, cada bobina tem um terminal com uma marca de 
polaridade – normalmente um sinal positivo (+) – porém, às vezes é 
utilizado o sinal (±).
Se a corrente e a tensão da carga forem v(t)	=	Vm	 cos(ωt	+	θv) e i(t)	=	 Im 
cos(ωt	+	θi), seus	fasores	(em	valores	eficazes)	correspondentes	são:
Então,	o	wattímetro	mede	a	potência	média	dada	por:
P = |Vrms||Irms |cos(θv – θi) = Vrms Irms cos (θv – θi)
Como	 mostrado	 nessa	 equação,	 cada	 bobina	 do	 wattímetro	 tem	 dois	
terminais	com	um	±	marcado.	Para	garantir	a	deflexão	para	cima,	o	terminal	±	da	
bobina de corrente deve ser ligado mais próximo à fonte, enquanto o terminal ± 
da bobina de tensão é conectado à mesma linha da bobina de corrente. Reverter 
ambas	as	conexões	das	bobinas	ainda	resulta	em	deflexão	positiva.	No	entanto,	
reverter	uma	bobina,	mas	não	 a	 outra,	 resulta	 em	deflexão	negativa,	 o	 que	 se	
traduz	em	não	haver	leitura	de	wattímetro.
3.1 LIGAÇÃO DE UM WATTÍMETRO AO CIRCUITOELÉTRICO
A seguir, veremos um exemplo resolvido, para aprofundar o entendimento 
do	funcionamento	de	um	wattímetro.
TÓPICO 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS
175
Exemplo 8:	encontre	a	leitura	do	wattímetro	do	circuito	da	figura	a	seguir:
MEDIÇÃO DA POTÊNCIA EM UM CIRCUITO MONOFÁSICO
FONTE: <http://twixar.me/yNzm>. Acesso em: 22 nov. 2020.
Solução:	na	figura,	o	wattímetro	lê	a	potência	média	absorvida	pela	impedância	
(8	–	j6)	Ω	porque	a	bobina	de	corrente	está	em	série	com	a	impedância,	enquanto	
a bobina de tensão está em paralelo a ela. A corrente através do circuito é:
A	tensão	através	da	(8	–	j6)	Ω	impedância	é:
A potência complexa é: 
Assim,	o	wattímetro	lê:	P = Re(S) = 423,7 W.
Um	 único	 wattímetro	 pode	 fazer	 a	 medição	 da	 potência	 média	 num	
circuito trifásico equilibrado, uma vez que as potências são iguais em cada fase. 
Assim,	a	potência	total	do	circuito	será	a	leitura	do	wattímetro	multiplicada	por	3.
No	 entanto,	 dois	 ou	 três	wattímetros	monofásicos	 são	necessários	para	
medir a potência se o sistema trifásico estiver desequilibrado.
176
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
3.2 MEDIÇÃO DE ENERGIA TRIFÁSICA
O	 método	 de	 medição	 de	 energia	 com	 três	 wattímetros	 (Figura	 17)	
funcionará independentemente de a carga estar equilibrada ou desequilibrada, 
ou de ela estar ligada em estrela ou triângulo.
FIGURA 17 – MEDIÇÃO DA POTÊNCIA NUM SISTEMA TRIFÁSICO COM TRÊS WATTÍMETROS
FONTE: Adaptada de <https://1.bp.blogspot.com/-g_rqCZ5etj4/Xn9dWEmlH8I/AAAAAAAAFk0/z-SR
83gCSUw1MSJwQydMXizGVXHG86WJACLcBGAsYHQ/s320/f1_three_phase_measurement.jpg>. 
Acesso em: 22 nov. 2020.
O	método	dos	três	wattímetros	é	adequado	para	a	medição	de	energia	em	
um sistema trifásico em que o fator de potência está em constante mudança. A 
potência	média	total	é	a	soma	algébrica	das	leituras	de	três	wattímetros:
PT = P1 + P2 + P3
Em que: P1, P2 e P3	 correspondem	às	 leituras	dos	wattímetros	W1,	W2 e 
W3, respectivamente. Observa-se que o ponto comum ou de referência “o”, na 
Figura 17, é selecionado arbitrariamente. Se a carga estiver conectada em Y, 
normalmente, o ponto “o” é conectado junto ao neutro.
Para uma carga ligada à delta, o ponto “o” pode ser conectado a qualquer 
ponto. Se o ponto o estiver conectado ao ponto b, por exemplo, a bobina de tensão 
no	wattímetro	W2 lê zero e P2 = 0,	indicando	que	o	wattímetro	W2 não é necessário. 
Assim,	dois	wattímetros	são	suficientes	para	medir	a	potência	total.
O	método	dos	dois	wattímetros	é	o	mais	utilizado	para	medição	de	energia	
trifásica.	Os	dois	wattímetros	devem	estar	devidamente	conectados	a	quaisquer	
duas fases, como mostrado na Figura 18.
Observa-se	que	a	bobina	de	corrente	de	cada	wattímetro	mede	a	corrente	
da linha, enquanto a respectiva bobina de tensão está conectada entre essa linha 
e uma outra tomada como referência (no caso, a fase b). 
TÓPICO 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS
177
FIGURA 18 – MEDIÇÃO DA POTÊNCIA MÉDIA DE UM SISTEMA TRIFÁSICO, UTILIZANDO 
DOIS WATTÍMETROS
FONTE: Os autores
Observa-se, também, que o terminal ± da bobina de tensão está conectado 
à linha na qual a bobina de corrente correspondente está conectada.
Embora	 os	 wattímetros	 individuais	 não	 leiam	 a	 potência	 de	 uma	 fase	
específica,	a	soma	algébrica	das	leituras	de	dois	wattímetros	equivale	à	potência	
média total absorvida pela carga nas três fases.
PT = P1 + P2
É importante observar que o método funciona para um sistema trifásico 
equilibrado. Considera-se a carga equilibrada e conectada em Y (Figura 19), com 
o	objetivo	de	aplicar	o	método	de	dois	watts	para	encontrar	a	potência	média	
absorvida pela carga, supondo que a fonte esteja na sequência abc e a impedância 
de carga seja ZY = |ZY|∠φ.
FIGURA 19 – MÉTODO DOS DOIS WATTÍMETROS APLICADOS A UMA CARGA TRIFÁSICA 
EQUILIBRADA EM Y
FONTE: Os autores
178
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Devido à impedância de carga, cada bobina de tensão está adiantada 
em	relação	a	sua	bobina	de	corrente	por	φ,	de	modo	que	o	fator	de	potência	é	
cosφ. Vale lembrar que cada tensão de linha está adiantada em relação à tensão 
de fase em 30°.
O ângulo da tensão de linha Vab é φ + 30o, e a potência média lida pelo 
wattímetro	W1 é:
P1	=	Re[VabIa*] = VabIacos(θ + 30o) = VLIL cos(θ + 30o)
Da mesma forma, podemos mostrar que a potência média lida pelo 
wattímetro	2	é:
P2	=	Re[VcbIc*]	=	VcbIccos(θ	–	30o)	=	VLILcos(θ	–	30o)
Agora, usamos as seguintes identidades trigonométricas nas duas 
expressões	das	potências	definidas	anteriormente:
cos(A + B) = cosA .cosB – senA .senB 
cos(A – B) = cosA .cosB + senA .senB
O que resulta em:
P1 + P2 = VLIL[cos(θ + 30o) + cos(θ – 30o)]
VLIL[cosθ . cos30o – senθ . sen30o + cosθ . cos30° + senθ . sen30o)]
= VL . IL. 2 . cos30o . cosθ
= √3. VL . IL .cosθ
Assim, o termo 2.cos30° = √3 demonstra que a soma das leituras dos dois 
wattímetros,	de	fato,	resulta	na	potência	média	total	do	sistema,	ou	seja,
PT = P1 + P2
De modo similar, podemos escrever que a diferença entre as leituras dos 
wattímetros	é	de:
P1 – P2 = VLIL[cos(θ + 30o) – cos(θ – 30o)]
VLIL[cosθ . cos30o – senθ . sen30o – cosθ . cos30° – senθ . sen30o)]
= VL . IL. 2 . sen30o . senθ
= VL . IL .senθ
TÓPICO 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS
179
Nessa expressão, o termo 2.sen30° é igual a 1, o que mostra que a diferença 
das	leituras	dos	wattímetros	é	proporcional	à	potência	reativa	total	ou:
QT =	√3	(P2 – P1)
PT = P1 + P2 
A potência aparente total pode ser obtida por:
Se	dividirmos	as	duas	expressões	que	definem	QT e PT, podemos encontrar 
o ângulo de defasagem:
A partir desse ângulo, obtemos o fator de potência, pois FP = cosφ. Assim, 
o	método	de	dois	wattímetros	não	só	fornece	o	total	ativo	e	reativo,	mas	também	
pode ser usado para calcular o fator de potência.
Da análise das equações anteriores, é possível concluir que:
• Se P2 = P1, a carga é resistiva.
• Se P2 > P1, a carga é indutiva.
• Se P2 < P1, a carga é capacitiva.
Embora esses resultados sejam derivados de uma carga equilibrada 
conectada em Y, eles são igualmente válidos para uma carga conectada a delta 
equilibrada.	No	entanto,	o	método	de	dois	watts	não	pode	ser	usado	para	medição	
de	energia	em	um	sistema	de	quatro	fios	trifásico,	a	menos	que	a	corrente	através	
da	linha	neutra	seja	zero.	Portanto,	usamos	o	método	de	três	watts	para	medir	a	
potência	real	em	um	sistema	de	quatro	fios	trifásico.
Analisaremos	 alguns	 exemplos	 com	medição	 trifásica	 por	 wattímetros	
para reforçar o entendimento desse conteúdo.
180
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
O exemplo a seguir também ilustra a utilização do método dos dois 
wattímetros.
SISTEMA TRIFÁSICO EM Y COM TRÊS WATTÍMETROS
FONTE: Os autores
a)	Calculamos	as	leituras	dos	wattímetros	da	seguinte	forma:
P1 = VAN . Ia*. cos(θVan – θIa) = 100 × 6,67 × cos(0o – 0o) = 667 W
P2 = VBN . Ib* . cos(θVbn – θIb) = 100 × 8,94 × cos(120o – 93,44o) = 800 W
P3 = VCN . Ic* . cos(θVcn – θIc) = 100 × 10 × cos(–120o + 66,87o) = 600 W
b) A potência total absorvida é de:
PT = P1 + P2 + P3	=	2.067	W
Exemplo 9:	três	wattímetros	W1, W2 e	W3 estão conectados, respectivamente, às 
fases a, b e c para medir a potência total absorvida por uma carga desequilibrada 
conectada em Y, considerando as tensões: VAN = 100∠0° V; VBN = 100∠120° V 
e VCN = 100∠–120° V. Já as correntes são: Ia = 6,67∠0° A; Ib = 8,94∠93,44° A e 
Ic = 10∠–66,87° A.
Determine:
a)	As	leituras	dos	wattímetros.	
b) A potência total absorvida.
Solução:	supondo	que	os	wattímetros	estejam	devidamente	conectados	como	
na	figura	a	seguir
TÓPICO 2 — POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS
181
Exemplo 10: um sistema trifásico equilibrado tem suas potências médias 
lidas	através	do	método	dos	dois	wattímetros.	Um	dos	instrumentos	produz	
a leitura P1	=	1.560	W	e	o	outro	P2	=	2.100	W,	quando	conectados	a	uma	carga	
ligada em delta.
Se a tensão da linha for de 220 V, calcule: 
a) A potência média por fase. 
b) A potência reativa por fase.
c) O fator de potência.
Solução:podemos	aplicar	os	valores	registrados	pelos	wattímetros.
a) A potência média total é: 
PT = P1 + P2	=	1560	+	2100	=	3.660	W
A potência média por fase é, então, de:
PF = PT/3	=	1.220 W
b) A potência reativa total é de:
QT =	√3(P2 – P1)	=	√3.(2100	–	1560)	=	935,3	VAR
Desse modo, a potência reativa por fase é de:
QF = QT/3	=	311,77 VAR
c) O ângulo de defasagem é de:
ϕ = arctg(Q /P )	=	935,3/3660	=	14,33o
Portanto, o fator de potência é de:
cos(14,33o)	=	0,969 atrasado (pois P2 > P1)
O exemplo, a seguir, apresenta outra situação envolvendo a medição de 
potência	num	sistema	trifásico	pelo	método	dos	dois	wattímetros.
182
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Exemplo 11:	a	carga	equilibrada	trifásica	da	figura	a	seguir	tem	impedância	
por fase de ZY = 8 + j6	Ω.	Se	a	carga	estiver	conectada	a	uma	tensão	de	linha	de	
208 V,	calcule	as	leituras	dos	wattímetros	W1 e W2 e encontre PT e QT.
FONTE: Os autores
Solução: considerando a tensão na fase ab como referência (ângulo 0°), o fasor 
VAB	fica	definido	por:	VAB	=	(208/√3)∠0o V = 120,08∠0o V.
A corrente de linha na carga é de:
O ângulo de defasagem é de: ϕ	=	0o – (–36,87o)	=	36,87o. 
Então:
P1	=	VL . IL . cos(ϕ + 30o)	=	208	×	12	×	cos(66,37o)	=	980,48	W
P2	=	VL . IL . cos(ϕ – 30o)	=	208	×	12	×	cos(6,37o)	=	2.478,1	W
Assim,	o	wattímetro	1	lê	980,48	W,	enquanto	o	wattímetro	2	lê	2478,1	W.	Como	
P2 > P1, a carga é indutiva (o que pode ser comprovado pela própria carga). 
Logo, a potência total do sistema é de:
PT = P1 + P2 =	3.549	W
Já a potência reativa total é de:
QT	=	√3(P2 – P1)	=	2.549	VAR
183
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• As técnicas para calcular as potências média, reativa e complexa, por fase, são 
iguais àquelas estudadas para circuitos monofásicos.
• Num circuito trifásico equilibrado, a potência (média, reativa ou complexa) de 
todo o sistema é igual à potência de uma das fases multiplicada por 3.
•	 Um	wattímetro	é	um	instrumento	que	mede	a	potência	média	entregue	a	uma	
carga. Ele é composto por uma bobina de corrente e uma de potencial.
• É possível medir a potência média total em um circuito trifásico utilizando 
apenas	dois	wattímetros	de	modo	apropriado.
184
1 Um sistema elétrico equilibrado Y-Y é composto por um gerador com 
tensão de linha de 208 V, que se conecta a uma carga com uma impedância 
Zc =	10	–	j10	Ω	por	fase.	Calcule	o	módulo:
a) Da tensão de fase do gerador.
b) Da tensão de fase na carga.
c) Da corrente de fase na carga.
d) Da corrente de linha.
2 Um sistema trifásico equilibrado Y-Y possui a fonte conectada em sequência 
positiva. A tensão fase-neutro da fase A é VAN	=	120∠0° V. A carga é formada 
por uma impedância ZY	=	9	+	j12	Ω.	Determine:
a) As tensões de fase.
b) As correntes de fase.
c) O módulo das correntes de linha.
d) O módulo das tensões de linha.
3	 Uma	carga	trifásica	equilibrada	em	Δ	possui	uma	impedância	ZΔ	=	6,8	+	j14 
Ω	por	fase.	Essa	carga	está	conectada	a	uma	fonte	trifásica	em	Y	com	tensão	
de linha de 208 V. Calcule o módulo:
a) Da tensão de fase no gerador.
b) Da tensão de fase na carga.
c) Da corrente de fase da carga.
d) Da corrente de linha.
4	 Um	sistema	Δ-Δ,	com	sequência	de	 fases	positiva,	possui	uma	tensão	de	
linha VAB =	100∠0°V. A carga é formada por impedâncias ZΔ	=	20	–	 j20	Ω.	
Considere as fontes de tensão e as linhas que conectam a fonte à carga como 
ideais. Determine:
a) As tensões de fase na carga.
b) Determine as correntes de fase na carga.
c) Determine o módulo das correntes de linha.
5	 Dois	wattímetros	 estão	 conectados	de	 forma	a	medir	 a	potência	de	uma	
carga trifásica equilibrada. As leituras dos instrumentos são W1	=	8	kW e 
W2	=	4	kW. Determine:
a) A potência média total consumida.
b) O fator de potência da carga.
AUTOATIVIDADE
185
UNIDADE 3
TÓPICO 3 — 
CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS
1 INTRODUÇÃO
Até o momento, analisamos os sistemas trifásicos equilibrados e 
verificamos	 todas	 as	 relações	 de	 tensão,	 corrente	 e	 potências	 que	 decorrem	
da análise de um sistema desse tipo. No entanto, em situações reais, muitos 
sistemas apresentam características elétricas distintas entre as fases oriundas, 
tanto das cargas quanto das fontes de tensão. Esses sistemas são denominados 
desequilibrados ou desbalanceados.
Neste tópico, analisaremos o comportamento dos sistemas trifásicos 
desequilibrados com foco nas diferenças que o desequilíbrio causa no 
comportamento geral do sistema.
2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS PARA SISTEMAS 
DESEQUILIBRADOS
Uma técnica especial para lidar com sistemas trifásicos desequilibrados 
é o método das Componentes Simétricas, que está além do escopo deste livro 
e será estudado futuramente em disciplinas voltadas para sistemas de energia 
(sistemas de potência).
O desequilíbrio de um sistema pode ser causado por duas situações 
possíveis: 
•	 as	 tensões	da	 fonte	não	 são	 iguais	em	magnitude	e/ou	possuem	ângulos	de	
defasagem diferentes de 120° elétricos;
• as impedâncias de carga são desiguais.
Assim, um sistema polifásico desequilibrado é decorrente de fontes de 
tensão	desequilibradas	ou	de	uma	carga	desequilibrada.	Para	simplificar	a	análise,	
assumiremos fontes de tensão equilibradas, mas uma carga desequilibrada. Esse 
tipo de situação abrange a maioria dos casos envolvendo circuitos desequilibrados.
Sistemas trifásicos desequilibrados podem ser resolvidos pela aplicação 
direta	da	análise	por	malhas	e/ou	análise	nodal.
186
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
A Figura 20 mostra um exemplo de um sistema trifásico desequilibrado, 
que consiste em uma fonte de tensão trifásica equilibrada (não mostrada na 
figura)	e	uma	carga	conectada	em	Y	desequilibrada	(Figura	20).
FIGURA 20 – CARGA TRIFÁSICA DESEQUILIBRADA
FONTE: <https://1.bp.blogspot.com/-yEgSpYnlLQM/Xny2C6mZQBI/AAAAAAAAFiU/ktRkiu22easlK-
CsXD7lzjUQJqLAHNMVwCLcBGAsYHQ/s1600/f1_unbalanced_three_phase_system.jpg>. 
Acesso em: 1 dez. 2020.
Como a carga é desequilibrada, ZA, ZB e ZC não são iguais. As correntes de 
linha são determinadas pela Lei de Ohm como:
Ia = VAN /ZA
Ib = VBN /ZB
Ic = VCN /ZC
Esse conjunto de correntes de linha desequilibrada produz uma corrente 
no condutor neutro que não é zero, como em um sistema equilibrado.
A	aplicação	da	Lei	de	Kirchhoff	das	Correntes	no	nó	N	expressa	a	corrente	
de neutro (In) como:
In = – (Ia + Ib + Ic)
Em	um	sistema	de	três	fios	em	que	o	condutor	neutro	está	ausente,	ainda	
podemos encontrar as correntes de linha Ia, Ib e Ic usando análise de malha.
TÓPICO 3 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS
187
No	nó	N,	a	Lei	de	Kirchhoff	das	Correntes	deve	ser	satisfeita	para	que 
Ia + Ib + Ic	=	0	nesse	caso.	O	mesmo	poderia	ser	feito	para	um	sistema	de	∆-Y,	Y-∆	
ou	∆-∆	de	três	fios.
Na transmissão de energia de longa distância, são utilizados condutores 
em	compostos	de	três	(múltiplos	sistemas	de	três	fios),	com	a	própria	terra	agindo	
como o condutor neutro.
O cálculo da energia em um sistema trifásico desequilibrado requer que 
encontremos a energia em cada fase. A potência total não é simplesmente três 
vezes a potência em uma fase, mas a soma das potências nas três fases. 
A seguir, veremos um exemplo de cálculo de sistema trifásico 
desequilibrado.
Exemplo 12:	considere	a	carga	Y	desequilibrada	da	figura	anterior	com	tensões	
equilibradas de 100 V e a sequência ACB. Calcule as correntes de linha e a 
corrente no neutro. Considere que: ZA	=	15	Ω,	ZB =	10	+	j5	Ω,	ZC	=	6	–	j8	Ω.
Solução: pela Lei de Ohm, as correntes nas linhas podem ser calculadas como:
Já	a	corrente	de	neutro	pode	ser	obtida	pela	expressão	definida	anteriormente:
In =	–	(Ia + Ib + Ic)	=	10,06	∠ 178,4o A
Assim,	 verificamos	 que,	 de	 fato,	 num	 sistema	 trifásico	 em	 desequilíbrio,	 a	
corrente no condutor neutro não é nula.
Exemplo 13:	para	o	circuito	desequilibrado	da	figura	a	seguir,	encontre:	
a) As correntes de linha. 
b) A potência total complexa absorvida pela carga. 
c) A potência total complexa fornecida pela fonte.
188
UNIDADE 3 — ANÁLISEDE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
CIRCUITO Y-Y COM CARGA DESEQUILIBRADA
FONTE: <http://twixar.me/0K5m>. Acesso em: 1 dez. 2020.
Solução:
 
a) Utilizamos a análise de malha para encontrar as correntes necessárias. Para 
 a malha 1, temos:
(120 ∠ – 120o) – (120 ∠ 0o) + (10 + j5) . I1 – 10I2	=	0
Simplificando:
(10 + j5) . I1 – 10I2	=	207,85	∠ 30o
Para a malha 2:
(120 ∠ 120o) – (120 ∠ – 120o) + (10 – j10)I2 – 10I1	=	0
Simplificando	a	expressão:
– 10I1 + (10 – j10)I2	=	207,85	∠ – 90o
As duas equações formam um sistema que pode ser resolvido matricialmente 
por:
Para esse sistema, qualquer técnica de resolução pode ser empregada. Se a 
resolução for feita manualmente, pode-se aplicar a Regra de Cramer. Outra 
possibilidade, mais recomendada para esses casos, é a utilização de uma 
calculadora	 científica.	 Como	 nosso	 foco	 não	 é	 mostrar	 a	 resolução	 de	 um	
sistema de equações em si, consideraremos diretamente as respostas do 
sistema anterior, que são os valores das correntes das malhas I1 e I2.
TÓPICO 3 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS
189
I1	=	56,78	∠ 0o A
I2	=	42,75	∠ 24,9o A
As correntes de linha são:
Ia	=	I1	=	56,78	∠ 0o A
Ib	=	I2 – I1	=	25,46	∠ 135o A
Ic	=	I2	=	42,75	∠ – 155,1o A
b) Calculamos a potência complexa absorvida pela carga. Para a fase A, temos: 
SA = |Ia|² . ZA	=	(56,78)²	.	(j5)	=	j16 . 120 VA
Para a fase B:
SB = |Ib|² . ZB =	(25,46)²	.	(10)	=	6.480	VA
Já para a fase C:
SC = |Ic|² . ZC = (42,75)² . (– j10)	=	– j18.276 VA
A potência complexa total absorvida pela carga (SL) é de:
SL = SA + SB + SC = 6.480 – j2.156 VA
c)	Podemos	confirmar	esse	resultado	encontrando	a	potência	 fornecida	pela	
fonte. Para a fonte de tensão na fase A:
Sa = – Van.Ia* = – (120 ∠ 0o)	.	(56,78)	=	– 6.813,6 VA
Para a fonte na fase B:
Sb = – Vbn . Ib* = – (120 ∠ –120o) . (25,46 ∠ –135o)	=	790	– j2 . 951,1 VA
Para a fonte na fase C:
Sc = – Vcn . Ic* = – (120 ∠ 120o) . (42,75 ∠ 155,1o)	=	– 456,03 + j5 . 109,7 VA
A potência complexa total fornecida pela fonte trifásica (SS) é de:
SS = Sa + Sb + Sc = – 6.480 + j2156 VA
Assim,	verifica-se	que Ss + SL = 0,	o	que	confirma	o	princípio	da	conservação	de	
energia para o circuito estudado.
190
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
3 ANÁLISE DE SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS
Nesse momento, analisaremos o sistema trifásico (Figura 21) composto 
por	 uma	 fonte	 equilibrada	 em	 Y	 ligada	 a	 quatro	 fios	 a	 uma	 carga	 em	 Y	
desequilibrada. Ressalta-se que não é possível trabalhar a partir do circuito 
monofásico equivalente por causa do desequilíbrio das fases. Assim, veremos a 
análise do circuito original utilizando o método das correntes de malha.
FIGURA 21 – CIRCUITO Y-Y DESEQUILIBRADO
FONTE: Os autores
Nesse circuito, consideraremos as seguintes características: a sequência de 
fases é positiva; a tensão da fase A é VA =	220	∠ 0o V; a impedância de cada uma 
das quatro linhas é Zlinha	=	0,5	+	j0,8	Ω;	as	impedâncias	de	carga	são:	ZA =	3	+	j4	Ω,	 
ZB =	6	 –	 j6	Ω	e	ZC	 =	 4	 +	 j2	Ω.	Para	 conhecer	 as	 correntes	nas	quatro	 linhas	 e	 a	
potência	complexa	entregue	pela	fonte,	inicialmente	deve-se	definir	as	correntes	
de malha I1, I2 e I3, conforme mostrado na Figura 22.
FIGURA 22 – DEFINIÇÃO DAS CORRENTES DE MALHA NO CIRCUITO
FONTE: Os autores
TÓPICO 3 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS
191
Em	seguida,	obtemos	o	conjunto	de	equações	que	definem	esse	sistema	
desequilibrado:
Resolvendo esse sistema, chegamos aos seguintes valores para as correntes 
de malha:
I1	=	33,60	∠ –56,17o A
I2	=	13,86	∠ –89,72o A
I3	=	42,36	∠ –86,33o A
As correntes nas linhas do circuito podem ser calculadas a partir dessas 
correntes de malha. Analisando o sentido das correntes no circuito, temos:
IAa	=	–	I1	=	33,60	∠ 123,86o A
IBb	=	I2 – I3	=	28,54	∠ 95,32o A
ICc	=	–	I3	=	42,36	∠ 93,67o A
INn	=	I1 – I2	=	23,34	∠ –37,01o A
As potências complexas das fontes de cada fase podem ser calculadas 
como:
SA = VA . IAa*	=	220	∠ 0o × 33,60 ∠ 123,86o	=	7.392	∠ –123,86o VA
SB = VB . IBb*	=	6.278,8	∠ 144,68o VA
SC = VC . ICc*	=	9.319,2	∠ 26,33o VA
A potência complexa total é: 
ST = SA + SB + SC = 1.852,6 ∠ 118,69o VA
Deve-se repetir a análise para o mesmo circuito, mas sem a presença do 
condutor neutro.
192
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
FIGURA 23 – CIRCUITO Y-Y DESEQUILIBRADO SEM NEUTRO
FONTE: Os autores
SA = VA . IAa*	=	220	∠ 0o × 23,70 ∠ –51,73o	=	5.214,0	∠ –51,73o VA
SB = VB . IBb*	=	220	∠ –120o × 31,82 ∠ –96,95o	=	7.000,4	∠ 143,5o VA
SC = VC . ICc*	=	220	∠ 120o × 51,36 ∠ –102,15o	=	11.299	∠ –137,85o VA
ST =	13.135,2	∠ –145,12o VA
No próximo exemplo, analisaremos um sistema trifásico desequilibrado 
com	carga	em	Δ.
Exemplo 14:	um	sistema	trifásico	a	três	fios,	com	tensão	de	linha	de	240	volts,	
sequência de fases ABC, possui uma carga conectada em delta com as seguintes 
impedâncias: ZAB =	10	∠ 0o	Ω,	ZBC	=	10	∠ 30o	Ω	e	ZCA	=	15	∠ –30o	Ω.	Calcule	as	três	
correntes de linha IA, IB e IC, e desenhar seu diagrama fasorial.
CIRCUITO TRIFÁSICO DESEQUILIBRADO COM CARGA EM DELTA
FONTE: Os autores
TÓPICO 3 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS
193
Resolução: as correntes de fase podem ser calculadas como:
 
Já as correntes de linha podem ser calculadas a partir das correntes de fase, 
aplicando-se	a	Lei	de	Kirchhoff	das	correntes:
IA = IAB + IAC = 24 ∠ 120o – 16 ∠ 270o = 38,7 ∠ 108,1o A
IB = IBA + IBC = –24120o + 24 ∠ –30o = 46,4 ∠ – 45o A
IC = ICA + ICB = 16270o – 24 ∠ –30o = 21,2 ∠ 190,9o A
O	diagrama	fasorial	fica	representado	conforme	a	figura	a	seguir:
DIAGRAMA FASORIAL DAS CORRENTES E TENSÕES
FONTE: Os autores
O próximo exemplo apresenta um circuito desequilibrado com carga em 
Y	a	quatro	fios.
194
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Exemplo 15:	 um	 circuito	 trifásico	 a	 quatro	 fios,	 sequência	 CBA,	 com	
carga ligada em Y possui as seguintes tensões de fase: VAN = 120 ∠ –90o V, 
VBN = 120 ∠ 30o V, e VCN = 120 ∠ 150o V. As impedâncias são: ZA =	6	Ω,	ZB = 5,20 + 
j3,00	Ω	e	ZC = 3,54 + j3,54	Ω.	Calcule	as	correntes	das	fases	A,	B,	C	e	do	neutro,	
e desenhe o diagrama fasorial.
CIRCUITO TRIFÁSICO DESEQUILIBRADO A QUATRO FIOS COM CARGA EM Y
FONTE: Os autores
Solução: as correntes nas fases podem ser calculadas por:
 
A corrente IN é a soma fasorial das três correntes de fase:
IN = – (IA + IB + IC)	=	14,1 ∠ –166,9° A
Já o diagrama fasorial das tensões e correntes do circuito é apresentado na 
figura:
TÓPICO 3 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS
195
DIAGRAMA FASORIAL DO CIRCUITO Y A QUATRO FIOS DESEQUILIBRADO
FONTE: Os autores
Sobre esse sistema, podemos concluir que:
• a corrente no neutro não é nula quando a carga é desequilibrada;
• as tensões aplicadas sobre a carga de cada fase são iguais em módulo (as 
tensões são equilibradas);
• as correntes em cada fase possuem módulos diferentes e seu ângulo de 
defasagem entre fases não é 120°.
O próximo exemplo mostra um circuito trifásico sem neutro, com carga 
desequilibrada conectada em Y.
196
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Exemplo 16:	para	o	circuito	da	figura	a	seguir,	calcule	as	tensões	sobre	cada	
impedância de carga, as correntes de fase e também a tensão entre o neutro da 
fonte “N” e o ponto comum às impedâncias “O”. 
Dados: as tensões de linha são VAB =	 208	∠ 240o V e VBC =	 208	∠ 0o V, e as 
impedâncias são ZA =	6	∠ 0o	Ω;	ZB	=	6	∠ 30o	Ω	e	ZC	=	5	∠ 45o	Ω.
CIRCUITO DESEQUILIBRADO COM CARGA EM Y SEM NEUTRO
FONTE: Os autores
Solução: esse circuito pode ser facilmente resolvido aplicando-se a Lei das 
Correntes	de	Malha	(indicadas	por	I1	e	I2	da	figura).
Assim, a partir dessas duas malhas, é possível montar o seguinte sistema de 
equações:
Desse	sistema,	obtém-se	I1	=	23,3	∠ 261,1o A	e	I2	=	26,5	∠ –63,4o A.
As	correntes	de	cada	fase/linha	podem	ser	calculadas:
IA = I1 = 23,3 ∠ 261,1o A
IB = I2 – I1 = 15,45 ∠ –2,5o A
IC = –I2 = 26,5 ∠ 166,6o A
TÓPICO 3 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS
197
As tensões sobre cada impedância da carga podem ser calculadas pela 
aplicaçãoda Lei de Ohm:
VAO = IA . ZA = 139,8 ∠ 261,1o V
VBO = IB . ZB = 92,7 ∠ 27,5o V
VCO = IC . ZC = 132,5 ∠ 161,6o V
A tensão VON pode ser calculada pela soma das quedas de tensão de um 
caminho qualquer no circuito. Por isso, vamos utilizar o circuito parcial 
mostrado	na	figura	a	seguir,	bem	como	a	fase	A	para	a	obtenção	de	VON.
CIRCUITO DE APOIO PARA O CÁLCULO DE V
ON
FONTE: Os autores
Assim, iniciando a soma das tensões pelo ponto N e seguindo o sentido 
horário, temos:
– VAN + VAO + VON = 0
Isso nos leva a concluir que:
VON = VAN – VAO = 28,1 ∠ 39,8o V
Assim,	fica	claro	que,	num	circuito	trifásico	desequilibrado	com	cargas	em	Y	
sem	neutro,	as	tensões	aplicadas	sobre	as	cargas	também	ficam	desequilibradas.	
Além disso, o ponto em comum das cargas (ponto O) apresenta uma diferença 
de tensão em relação ao neutro da fonte (ponto N).
198
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
LEITURA COMPLEMENTAR
A GUERRA DAS CORRENTES – UMA GUERRA QUE MUDOU A 
ENERGIA DO MUNDO
Joabson João
Conhecendo as correntes
A	 Corrente	 Contínua	 é	 a	 eletricidade	 que	 flui	 constantemente	 de	 um	
polo a outro (do negativo para o positivo), seu exemplo é observado em pilhas e 
baterias.
Os sistemas de Corrente Contínua, por serem de maior tensão, devem ser 
monitorados de perto, para evitar o fenômeno conhecido como “Arco Voltaico”, 
que,	 com	 uma	 pequena	 falha	 do	 equipamento,	 como	 um	 cabo	 danificado	 ou	
conexão	elétrica	 solta,	 representa	um	risco	 significativo	de	 incêndio	e	 choques	
elétricos – tal fenômeno pode ocorrer pelo fato da corrente ser constante é difícil 
de pará-la.
A primeira central elétrica foi construída em 1882, em Nova York, por 
Thomas	Edison,	usando	Corrente	Contínua.	A	energia	flui	do	gerador	direto	para	
as casas, com baixa tensão. No entanto, a distância entre as casas e a usina era 
de, no máximo, 800 metros. A Corrente Contínua perde potência com a distância 
e exige cabos mais robustos, que, por necessitarem ser de cobre puro, torna o 
sistema caro.
Na Corrente Alternada, os polos são invertidos dezenas de vezes por 
segundo, e a eletricidade corre em zigue-zague.
A guerra das correntes
Tesla fora empregado da Companhia de Iluminação Edison entre 1882 
e 1885. Em 1885, ele tentou apresentar seu revolucionário projeto de Motor de 
Corrente Alternada para Edison, junto a todo um novo esquema de geração e 
distribuição – mas foi em vão. 
Em 1886, Edison ofereceu a Tesla 50 mil dólares se conseguisse melhorar 
seus geradores de Corrente Contínua. Tesla trabalhou obsessivamente e entregou 
os resultados. Ao cobrar a fatura, ouviu de Edison que era brincadeira: “Tesla, 
você não entende o humor americano”. Imediatamente, Tesla apresentou sua 
demissão.	Edison,	no	fundo,	estava	muito	mais	preocupado	com	Westinghouse,	
um concorrente direto nos negócios, do que com Tesla.
TÓPICO 3 — CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS
199
Em 15 de abril de 1888, um menino topou com um cabo solto pela 
tempestade e foi eletrocutado. “Na primavera de 1888, a morte por cabo elétrico 
se tornou, pela primeira vez, uma imensa preocupação da imprensa nova-
iorquina”,	afirma	Jill	Jonnes.	Além	da	morte	do	menino,	diversos	trabalhadores,	
tentando entender o emaranhado, também morreram e esses cabos perigosos 
eram da Corrente Alternada, e a população começaria a associar a eletricidade de 
alta tensão com perigo e morte.
Em 5 de junho de 1889, o engenheiro Harold Brown iniciou sua cruzada 
aparentemente pessoal contra a Corrente Alternada, lançando um artigo no New 
York Post: “A única desculpa para o uso da fatal Corrente Alternada é que livra a 
companhia que a opera de gastar uma grande quantidade de dinheiro nos cabos 
de cobre mais pesados, necessários para a iluminação incandescente”. Contudo, 
em 25 de agosto de 1889, Brown seria desmascarado. Num artigo no New York 
Sun, foi revelado que ele estava sendo patrocinado por Edison. Todavia, a guerra 
continuou.
Fim da disputa
A	execução	de	William	Kemmler,	na	Cadeira	Elétrica,	foi	o	auge	da	Guerra	
das Correntes. O fracasso da eletrocussão, em se provar um meio “humano” para 
executar criminosos, foi uma vitória para seus patrocinadores. 
Executivos	da	Companhia	de	Iluminação	Edison	fizeram	uma	proposta	
maliciosa,	reproduzida	pela	imprensa.	“Como	o	dínamo	de	Westinghouse	será	
usado para o propósito de executar criminosos, por que não dar a ele o benefício 
desse fato nas mentes do público e falar em um criminoso ser westinghousado?”. 
Com a Cadeira Elétrica, “os executivos de Edison saboreavam a mais monstruosa 
das vitórias na Guerra das Correntes”, comenta Jill Jonnes. 
No entanto, a batalha já estava quase perdida. Acumulando prejuízos, 
pressionados	pelo	 setor	financeiro	de	 sua	 empresa,	pois	 já	 reconheciam	que	 a	
derrota era certa. Edison nunca aceitou a derrota para a Corrente Alternada, até 
que, em 1889, pela fusão de várias empresas, foi formada a Edison General Electric, 
a qual ele perdeu seu controle acionário. Contra sua vontade, a subsidiária Edison 
Machine	Works	 começou	 a	 desenvolver	 equipamento	 de	 Corrente	Alternada.	
Em abril de 1892, sua companhia foi fundida com a Thomson-Houston, que 
trabalhava com Corrente Alternada. A nova empresa foi chamada de General 
Electric, sem Edison.
Um	mês	 depois	 da	 fusão,	Westinghouse	 ganhou	 da	General	 Electric	 a	
concorrência para iluminar a Feira Mundial de Chicago. O sucesso levou a sua 
companhia a ter autorização para criar a Usina Hidroelétrica de Niagara Falls, 
concluída com a colaboração de Tesla.
200
UNIDADE 3 — ANÁLISE DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Foi um imenso triunfo da engenharia, que abriu espaço para a 
universalização da Corrente Alternada. “A Guerra das Correntes terminava”, 
afirma	Jill	 Jonnes.	“George	Westinghouse,	Nikola	Tesla	e	a	Corrente	Alternada	
venceram. O mundo estava prestes a mudar para sempre”. 
No	fim	da	década	de	1890,	a	Corrente	Contínua	já	havia	perdido	totalmente	
a Guerra das Correntes, pois as maiores nações do mundo já investiam pesado na 
Corrente Alternada.
“Uma das maiores vantagens comerciais da Corrente Alternada era o fato 
de ela permitir a transmissão de energia a longa distância, algo que a Corrente 
Contínua	de	Edison	não	podia	fazer”	(M.	SCHIFFER,	POWER	STRUGGLEs,	2008).
FONTE: Adaptado de <https://dunapress.org/2020/02/08/a-guerra-das-correntes-uma-guerra-
-que-mudou-a-energia-do-mundo/>. Acesso em: 1 dez. 2020.
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RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• Um sistema trifásico pode ser desequilibrado devido a diferenças na carga ou 
na fonte. O desequilíbrio nas cargas é a situação mais comum.
• Num sistema trifásico desequilibrado com neutro, a corrente de neutro não é 
nula.
• Mesmo que as tensões fornecidas pela fonte trifásica sejam equilibradas, um 
sistema com cargas em desequilíbrio pode causar o aparecimento de diferentes 
tensões nas cargas de cada fase.
• Num sistema trifásico desequilibrado, não pode ser analisado pelo circuito 
monofásico equivalente. Para esses casos, é necessário utilizar as técnicas de 
análise nodal ou por malhas.
• O desequilíbrio num sistema trifásico também afeta as potências em cada fase. 
Assim, a potência total (na carga ou na fonte) só pode ser calculada a partir da 
soma das potências de cada fase.
Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem 
pensando em facilitar sua compreensão. Acesse o QR Code, que levará ao 
AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
CHAMADA
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1	 Considere	o	sistema	trifásico	desequilibrado	da	figura	a	seguir:	
FONTE: Boylestad (2012, p. 861)
a) Calcule o módulo das tensões em cada fase na carga.
b) Calcule o módulo das correntes em cada fase na carga.
c) Determine a potência média, reativa, aparente e o fator de potência do 
sistema.
d) Determine as correntes de fase.
e) Utilizando os resultados do item c, calcule a corrente no neutro.
2	 Para	o	sistema	trifásico	de	três	fios	mostrado	na	figura	a	seguir,	determine	
as correntes de linha IA, IB e IC.
FONTE: Adaptadade Boylestad (2012, p. 861)
AUTOATIVIDADE
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3 Considere o circuito trifásico com uma carga desequilibrada conectada em 
delta	da	figura	a	seguir:
FONTE: Os autores
Determine:
a) As correntes de fase IBA, IAC e ICB.
b) As correntes de linha IA, IB e IC.
c) O diagrama fasorial das correntes e tensões.
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REFERÊNCIAS
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 12. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall; 2012.
NILSSON,	J.	W.;	RIEDEL,	S.	Circuitos elétricos. 8. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall; 2009.
UNBALANCED three-phase systems full analysis. Wira Electrical. [S. l.], c2020. 
Disponível	em:	https://wiraelectrical.com/unbalanced-three-phase-systems/.	
Acesso em: 2 dez. 2020.