Para resolver o problema de valor inicial (PVI) utilizando o método de Euler, vamos seguir os passos: 1. Definição das variáveis: - \( y' = z \) - \( z' = 4z - 3y - x \) 2. Condições iniciais: - \( y(0) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \) - \( z(0) = \frac{7}{3} \) 3. Escolha do passo: - \( h = 0,25 \) 4. Iteração do método de Euler: - Para cada passo \( n \): - \( y_{n+1} = y_n + h \cdot z_n \) - \( z_{n+1} = z_n + h \cdot (4z_n - 3y_n - x_n) \) - Atualizar \( x_n = x_n + h \) 5. Cálculo dos valores: - Começamos com \( x_0 = 0 \), \( y_0 = \frac{1}{3} \), \( z_0 = \frac{7}{3} \). Agora, vamos calcular os primeiros passos: - Passo 1 (\( n = 0 \)): - \( y_1 = y_0 + h \cdot z_0 = \frac{1}{3} + 0,25 \cdot \frac{7}{3} = \frac{1}{3} + \frac{7}{12} = \frac{4}{12} + \frac{7}{12} = \frac{11}{12} \) - \( z_1 = z_0 + h \cdot (4z_0 - 3y_0 - x_0) = \frac{7}{3} + 0,25 \cdot \left(4 \cdot \frac{7}{3} - 3 \cdot \frac{1}{3} - 0\right) \) - \( = \frac{7}{3} + 0,25 \cdot \left(\frac{28}{3} - 1\right) = \frac{7}{3} + 0,25 \cdot \frac{25}{3} = \frac{7}{3} + \frac{25}{12} \) - \( = \frac{28}{12} + \frac{25}{12} = \frac{53}{12} \) - Atualizando \( x_1 = 0 + 0,25 = 0,25 \) - Passo 2 (\( n = 1 \)): - \( y_2 = y_1 + h \cdot z_1 = \frac{11}{12} + 0,25 \cdot \frac{53}{12} = \frac{11}{12} + \frac{53}{48} \) - \( = \frac{44}{48} + \frac{53}{48} = \frac{97}{48} \) - \( z_2 = z_1 + h \cdot (4z_1 - 3y_1 - x_1) = \frac{53}{12} + 0,25 \cdot \left(4 \cdot \frac{53}{12} - 3 \cdot \frac{11}{12} - 0,25\right) \) - \( = \frac{53}{12} + 0,25 \cdot \left(\frac{212}{12} - \frac{33}{12} - 0,25\right) \) - Calcule e atualize \( x_2 = 0,25 + 0,25 = 0,5 \). Continue esse processo para os passos seguintes até o valor desejado de \( x \). Se precisar de mais passos ou detalhes, é só avisar!