Prova de Física Computacional

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<p>Prova 1 - 1/2023 - F́ısica Computacional I (092410)</p><p>Prof. Matheus Paes Lima</p><p>(i) Envie um arquivo com as respostas, indicação dos programas, gráficos, etc. Provas</p><p>sem este arquivo não serão corrigidas.</p><p>(ii) Utilize real*8 para números reais, integer para números inteiros, e implicit none.</p><p>Questão 1 (4.0 pontos) Somatório com métodos numéricos:</p><p>Em 1997 Bailey, Borwein e Plouff descobriram que o número π pode ser calculado por:</p><p>π =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>16n</p><p>(</p><p>4</p><p>(8n+ 1)</p><p>− 2</p><p>(8n+ 4)</p><p>− 1</p><p>(8n+ 5)</p><p>− 1</p><p>(8n+ 6)</p><p>)</p><p>. (1)</p><p>Utilizando esta fórmula, obtenha o resultado de π somando</p><p>(a) 2 termos da série; (b) 10 termos da série.</p><p>Outra formula para calcular π foi descoberta em 1987:</p><p>1</p><p>π</p><p>=</p><p>√</p><p>8</p><p>9801</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(4n)!(1103 + 26390n)</p><p>(n!)43964n</p><p>. (2)</p><p>Utilizando esta fórmula, obtenha o resultado de π somando</p><p>(c) 2 termos da série; (d) 10 termos da série.</p><p>Questão 2 (3.0 pontos) Implementar função arctan(x):</p><p>A função arctan(x) pode ser aproximada pela seguinte série:</p><p>arctan(x) =</p><p>Nmax∑</p><p>n=0</p><p>(−1)nx2n+1</p><p>2n+ 1</p><p>(3)</p><p>Na função acima, considere Nmax = 1000.</p><p>Faça um gráfico da função arctan(x) implementada com a fórmula acima, e compare</p><p>com a função intŕınseca do fortran (atan(x)). Utilize o domı́nio x ∈ [−1, 1], com 100</p><p>subdivisões. Envie o código utilizado, e o gráfico ou arquivo com os dados.</p><p>Questão 3 (3.0 pontos)</p><p>(a) Escreva um programa em Fortran para calcular potenciação de matrizes. Ou seja,</p><p>dada uma matriz qualquer quadrada A, de ordem n, calcular</p><p>Ak = A× . . .×A︸ ︷︷ ︸</p><p>k vezes</p><p>. (4)</p><p>Na expressão acima, k é um número inteiro. Não utilize a função intŕınseca matmul(a,b).</p><p>(b) Calcule A8 para:</p><p>A =</p><p> 1 −1/2 −1/4</p><p>−1/2 1 −1/2</p><p>−1/4 −1/2 1</p><p> (5)</p><p>(c) Uma matriz A periódica de ı́ndice l é tal que Al = A. Calcule o ı́ndice l para:</p><p>A =</p><p> 3 −4 4</p><p>0 −1 0</p><p>−2 2 −3</p><p> (6)</p><p>1</p>