Para resolver essa questão, precisamos usar o fato de que se \( x = -2 \) é uma raiz do polinômio \( p(x) = x^3 + 2x^2 + x + 2 \), então \( p(-2) = 0 \). Vamos calcular \( p(-2) \): \[ p(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 + (-2) + 2 \] \[ = -8 + 2 \cdot 4 - 2 + 2 \] \[ = -8 + 8 - 2 + 2 \] \[ = 0 \] Portanto, \( x = -2 \) é realmente uma raiz. Agora, sabemos que \( x = a - i \) também é uma raiz. Como os coeficientes do polinômio são reais, se \( a - i \) é uma raiz, então sua conjugada \( a + i \) também deve ser uma raiz. Assim, temos três raízes: \( -2 \), \( a - i \) e \( a + i \). O polinômio pode ser expresso como: \[ p(x) = (x + 2)(x - (a - i))(x - (a + i)) \] O produto das raízes complexas pode ser simplificado: \[ (x - (a - i))(x - (a + i)) = (x - a + i)(x - a - i) = (x - a)^2 + 1 \] Portanto, podemos reescrever o polinômio como: \[ p(x) = (x + 2)((x - a)^2 + 1) \] Agora, expandindo: \[ p(x) = (x + 2)(x^2 - 2ax + a^2 + 1) \] Para encontrar \( a \), precisamos igualar os coeficientes do polinômio original \( x^3 + 2x^2 + x + 2 \) com o polinômio expandido. O termo \( x^2 \) do polinômio expandido é \( -2a + 2 \). Para que isso seja igual a 2 (coeficiente de \( x^2 \) no polinômio original), temos: \[ -2a + 2 = 2 \] \[ -2a = 0 \implies a = 0 \] Assim, a resposta correta é: D) a = 0.