Para calcular a área da região situada simultaneamente no interior dos pares de curvas polares fornecidos, você pode usar a fórmula da área em coordenadas polares, que é dada por: \[ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} [f(\theta)]^2 - [g(\theta)]^2 d\theta \] Vamos calcular a área para cada par de curvas: (a) \( r = 3\cos(\theta) \) e \( r = 1 + \cos(\theta) \) Para encontrar os limites de integração \( \alpha \) e \( \beta \), igualamos as duas equações: \[ 3\cos(\theta) = 1 + \cos(\theta) \] \[ 2\cos(\theta) = 1 \] \[ \cos(\theta) = \frac{1}{2} \] \[ \theta = \frac{\pi}{3} \] e \( \theta = \frac{5\pi}{3} \) Agora, podemos calcular a área: \[ A = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{3}} [(3\cos(\theta))^2 - (1 + \cos(\theta))^2] d\theta \] \[ A = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{3}} [9\cos^2(\theta) - (1 + 2\cos(\theta) + \cos^2(\theta))] d\theta \] \[ A = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{3}} [8\cos^2(\theta) - 2\cos(\theta) - 1] d\theta \] \[ A = \frac{1}{2} \left[ \frac{8}{2} \sin(\theta) - 2\sin(\theta) - \theta \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{3}} \] \[ A = \frac{1}{2} \left[ 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3} - (-4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + \frac{\pi}{3}) \right] \] \[ A = \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3} + \frac{\pi}{3} \right] \] \[ A = 2\sqrt{3} - \frac{3\pi}{3} \] Portanto, a área da região para o par de curvas \( r = 3\cos(\theta) \) e \( r = 1 + \cos(\theta) \) é \( 2\sqrt{3} - \frac{3\pi}{3} \).