4. Usando o produto escalar, encontre o coseno do ângulo entre a diagonal principal e uma das arestas de um cubo.

Para encontrar o cosseno do ângulo entre a diagonal principal de um cubo e uma de suas arestas, siga os passos abaixo: 1. Defina as coordenadas: Considere um cubo com arestas de comprimento \( a \). As coordenadas dos vértices podem ser: - Aresta: \( (0, 0, 0) \) a \( (a, 0, 0) \) - Diagonal principal: \( (0, 0, 0) \) a \( (a, a, a) \) 2. Calcule os vetores: - Vetor da aresta: \( \vec{u} = (a, 0, 0) \) - Vetor da diagonal: \( \vec{v} = (a, a, a) \) 3. Calcule o produto escalar: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot a + 0 \cdot a + 0 \cdot a = a^2 \] 4. Calcule as magnitudes dos vetores: - \( |\vec{u}| = a \) - \( |\vec{v}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3} \) 5. Use a fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Portanto, o cosseno do ângulo entre a diagonal principal e uma das arestas do cubo é \( \frac{1}{\sqrt{3}} \).