5. Encontre o gradiente de ϕ em coordenadas cilíndricas, sabendo que d~s = drâr + rdθâθ + dzk̂. Em coordenadas cilíndricas, r é a distância perpendicular a partir do eixo do cilindro e θ é o ângulo azimutal em relação a este eixo.

Question

5. Encontre o gradiente de ϕ em coordenadas cilíndricas, sabendo que d~s = drâr + rdθâθ + dzk̂. Em coordenadas cilíndricas, r é a distância perpe...

Ed · Answer

Para encontrar o gradiente de uma função $ \phi $ em coordenadas cilíndricas, usamos a seguinte expressão:

$$
\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial r} \hat{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \hat{e}_\theta + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{e}_z
$$

Aqui, $ \hat{e}_r $, $ \hat{e}_\theta $ e $ \hat{e}_z $ são os vetores unitários nas direções radial, azimutal e axial, respectivamente.

1. **Calcule $ \frac{\partial \phi}{\partial r} $**: Derive $ \phi $ em relação a $ r $.
2. **Calcule $ \frac{\partial \phi}{\partial \theta} $**: Derive $ \phi $ em relação a $ \theta $.
3. **Calcule $ \frac{\partial \phi}{\partial z} $**: Derive $ \phi $ em relação a $ z $.

Substitua esses resultados na expressão do gradiente para obter o gradiente de $ \phi $ em coordenadas cilíndricas.

Física

Exercícios de Física - Vetores e Cálculos

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Exercícios de Física - Vetores e Cálculos

1. Se ~A for um vetor constante e ~r for um vetor que vai desde a origem até o ponto (x, y, z), demonstre que (a) (~r − ~A) · ~A = 0 é a equação de um plano, e que (b) (~r − ~A) · ~r = 0 é a equação de uma esfera.

2. Os vetores (~A = ĵ + 3k̂), (~B = î− 2k̂), e (~C = î+ ĵ + k̂) são linearmente independentes?

3. Demonstre que ~A = î cosα + ĵ sinα, ~B = î cos β + ĵ sin β são vetores unitários no plano xy e formam ângulos α, β com o eixo x.

4. Usando o produto escalar, encontre o coseno do ângulo entre a diagonal principal e uma das arestas de um cubo.

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